Приложение Ж. Дюамель

Повторим формулу для y_?(t) и применим к интегралу из этой формулы обобщенную теорему о среднем:

где с₀ — число, 0< с₀

Заметим, что когда ??0, сила q_?(t) и импульс этой силы действуют на участке времени, стремящемся к нулю (в то же время по предположению для любого ? J_?(t)=1). Поэтому функцию можно назвать функцией влияния мгновенного импульса интенсивности 1, действующего в момент t=0.

(или мгновенным ударом). Примером служит резкий удар кием по биллиардному шару.

Итак, решение v(t) задачи Коши (II) есть функция влияния мгновенного импульса силы интенсивности 1.
Теперь разъясним физический смысл формулы Дюамеля. Для этого разделим интервал времени (0, t) на n равных частей точками Длину каждого из участков разбиения обозначим через Рассмотрим n задач

Каждая из функций z_i представляет собой функцию влияния мгновенного импульса интенсивности Записав z_i как используем начальные условия и найдем тем же способом, каким мы это уже делали в случае решения задачи (II), что

Вернемся к формуле Дюамеля (11). В нашем случае

Воспользуемся определением интеграла по отрезку и запишем

Напомним, что

q(t) — непрерывно действующая на систему сила, а импульс этой силы. Значит, y(t) — функция влияния импульса непрерывно действующей силы.

Если n достаточно велико, а значит, промежутки времени малы, можно с большой точностью считать, что

Эта последняя формула показывает, что функция влияния импульса непрерывно действующей силы есть сумма (суперпозиция, наложение) функций влияния мгновенных импульсов (принцип Дюамеля); как уже было сказано, каждое из слагаемых z_i представляет собой функцию влияния мгновенного импульса интенсивности в момент t=?_i.

После перехода к пределу получаем ( формула (11)) точное значение y(t) в виде интеграла (континуальной суммы). Этот интеграл называется интегралом Дюамеля.

В формуле (13) суть метода импульсов.

Если рассматриваются задачи Коши I и II для уравнения Ly?y”+p₁y’+p₀y=q(t), то формула Дюамеля имеет вид

где v(t) — решение задачи

Итак, мы 1) решили задачу Коши I методом вариации произвольных постоянных; 2) полученную для y(t) формулу переписали в виде интеграла Дюамеля; 3) придавая функциям q(t), y(t), v(t) физический смысл, показали, что метод вариации можно рассматривать как метод импульсов.

Формула Дюамеля при этом связывает между собой решение задачи Коши I для неоднородного уравнения с однородными начальными условиями с задачей Коши II для однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному, в которой сама функция (v(t)) в начальный момент времени равна нулю, а производная v’(0)=1. Здесь v’(0) — скорость, которая сообщается системе при t=0.
п.3 Линейные динамические системы Будем понимать под динамической системой всякую систему, которая изменяется во времени. Примерами таких систем служат электрические цепи, система автоматического регулирования (САР). Последняя может автоматически, без вмешательства человека, поддерживать заданное значение какой-либо регулируемой величины ( например, в работе двигателя самолета).

Дифференциальное уравнение — наиболее общий инструмент описания системы связанных физических элементов, образующих техническое устройство или объект, который, во-первых, способен воспринимать внешнее воздействие q(t); а во-вторых, характеризуется некоторой выходной величиной y(t), зависящей от q(t).

Есть ряд свойств, присущих только линейным системам. Одно из важнейших– справедливость принципа суперпозиции: если функция u_i, i=1,…,n, является частным решением линейного дифференциального уравнения Lu=q_i(t), i=1,…,n (обыкновенного или с частными производными), то сумма является решением уравнения В дальнейшем мы поговорим об этом принципе подробнее и поясним его связь с принципом Дюамеля.

y — координата точки на оси Oy и начало координат совпадает с положением равновесия точки. Пусть при этом на точку действуют сила сопротивления среды, пропорциональная скорости,

и сила –by, b>0, притягивающая ее к началу координат. Такое движение можно представить себе физически как движение материальной точки в сопротивляющейся среде, например в жидкости или газе, под влиянием упругой силы пружины, действующей по закону Гука. Этот закон состоит в том, что упругая сила действует в сторону положения равновесия точки и пропорциональна уклонению от положения равновесия.

Пусть еще на рассматриваемую материальную точку действует направленная по оси Oy периодическая сила, равная q(t). Тогда дифференциальное уравнеие движения точки запишется в виде

Полагая m=1, найдем по формуле Дюамеля закон колебания точки y=y(t), если y(t) удовлетворяет этому уравнению при Известно, что в начальный момент времени t=0 точка находилась в покое (y(0)=0) и ее скорость y’(0)=0.

Р е ш е н и е. Сначала решим задачу Коши для однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному:

Характеристическое уравнение для уравнения L₂v=0: r²+5r+6r=0. Корни этого уравнения r₁ =-3, r₂=-2.Общее решение уравнения L₂v=0: Используя начальные условия, получим так что окончательно

Теперь по формуле Дюамеля найдем решение задачи Коши с однородными начальными условиями:

Имеем

Применяя формулу интегрирования по частям к каждому из интегралов

Получим

Функция

свободная составляющая функции y(t). Функция

ее вынужденная составляющая. Поскольку при t??? z₁(t)??, при достаточно больших значениях полагают

На практике за принимают тот момент времени, когда величина амплитуды свободной составляющей равна максимального отклонения свободной составляющей от положения равновесия. Колебания точки при по формуле y(t)=z₁(t)+z₂(t) определяют переходный режим. Колебания точки при по формуле y(t)?z₂(t) определяют установившийся режим.

К переходному режиму приводит воздействие на материальную точку внешней силы q(t)=sin3t, которая начинает действовать с момента t=0. В установившемся режиме колебания оказываются гармоническими, как и воздействие q(t)=sin3t.

Этот рисунок взят с сайта <1.2.4. О методах описания линейных систем. Федосов Б.Т.> Он иллюстрирует решение задачи, аналогичной той, которую мы только что рассмотрели, но с другими коэффициентами уравнения и другим аргументов синуса в правой части. Не принимая во внимание числовые значения, отмеченные на координатных осях, проследим по рисунку за характером поведения кривых. Синяя линия– график внешней периодической возмущающей силы (у нас q(t)). Зеленая линия– график свободной составляющей ( у нас z₁(t)). Малиновая линия– график вынужденной составляющей ( у нас z₂(t)), синусоида

с тем же периодом, что у вынужденной внешней силы, но не совпадающая с ней по фазе). Красная линия, решение, отклик (у нас график функции y(t), до некоторого момента представляющий собой сумму z₁+z₂, а начиная с некоторого момента, фактически совпадающий с z₂).
Пример 2. К источнику с Э.Д.С., равной e(t)=Esin?t (E и ? — некоторые положительные постоянные), подключается контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивности L и емкости С. Найти ток i=i(t) в цепи в момент времени t, если в начальный момент времени t=0 ток в контуре и заряд конденсатора равны нулю.
В нашем случае сопротивление R отсутствует.

Рис 1
Р е ш е н и е. По закону Кирхгофа Э.Д.С. в цепи равна сумме падений напряжения на индуктивности и емкости: e(t)=u_L+u_C. При этом

Так что

Продифференцируем это уравнение по t и получим:

В нашем случае это приводит к уравнению

По условию i(0)=0. Поэтому из равенства (14) получаем, что Поставленная задача свелась к отысканию решения задачи Коши

Решением вспомогательной задачи Коши

является функция

В теории электрических цепей функция v(t) называется импульсной передаточной функцией.

По формуле Дюамеля

где

В этой сумме слагаемое есть свободная составляющая колебания тока в цепи. А слагаемое Acos?t порождено Э.Д.С. e(t) и имеет ту же частоту, что и
Интеграл Дюамеля широко используется в теории сигналов и электрических цепей [2]; при этом метод решения задач с его помощью носит название метода интеграла наложения Дюамеля. В геофизике Земли его используют при исследовании земной коры, опираясь на принцип суперпозиции. Этот принцип в геофизике носит название принципа наложения: если в среде имеются возмущения, создаваемые различными причинами, то каждое из них распространяется и существует независимо от другого. Общее возмущение находится как результат наложения (суперпозиции) «простых» возмущений.
В дальнейшем мы покажем, как метод импульсов обобщается на случай линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Мы сформулируем принцип Дюамеля и введем понятие интеграла Дюамеля и для этого случая а пока рассмотрим несколько случаев применения метода вариации произвольных постоянных при решении обыкновенных дифференциальных уравнений.
п.4. Различные случаи применения метода вариации

произвольных постоянных

Имеются широкие возможности применения метода вариации произвольных постоянных к решению линейных дифференциальных уравнений. Приведем некоторые примеры.

Подставляя в уравнение эти выражения для y’ и y” и пользуясь тем, что y₁– решение, получим

или

Функция C(x)=C₁ctgx+C₂ – общее решение последнего уравнения (С₁, С₂ – произвольные постоянные). Следовательно, решение данного уравнения запишется в виде

Поскольку решения линейно независимы, y(x) — общее решение данного уравнения.

Характеристический многочлен разложим на множители и получим: Одно из решений данного дифференциального уравнения – функция ?₁(x)=e^x. Будем искать общее решение в виде y(x)=C(x)e^x. Имеем:

Подставим выражения для y,…,y⁽⁴⁾ в данное уравнение и получим тождество

Общим решением последнего уравнения является функция

Поэтому общее решение данного уравнения

(Мы видим, что в первом слагаемом этой суммы функция ?₂(x)=e^2x соответствует корню r=2 характеристического уравнения, и ее можно включить в фундаментальную систему решений(ФСР). Легко доказывается, что каждая из функций является решением данного дифференциального уравнения, а функции ?_I, i=1, 2, 3, 4, составляют ФСР).
3⁰. Нахождение частного решения неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений.
Рассмотрим систему

Введем матрицы

При этом и в матричной форме система примет вид

Пусть Y(x) — фундаментальная матрица однородной системы detY(x)?0 при любом x, и существует обратная к Y(x) матрица Y^-1(x). Будем искать частное решение данной неоднородной системы в виде

y(x)=Y(x)C(x),

где неизвестная матрица.

Подставим y=YC в неоднородную систему; учтем, что и получим

Интегрируя это уравнение, найдем:

где x₀– некоторая постоянная. Следовательно,

и имеет общее решение где С – произвольная постоянная.

Найдем общее решение уравнения Бернулли в виде

(15)

где C(x) – новая неизвестная функция. Подставим выражение y(x) из формулы (15) в уравнение Бернулли вместе с производной и получим:

(уравнение с разделяющимися переменными). Отсюда

Значит, общее решение уравнения Бернулли

где С₁ – произвольная постоянная.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем искать u₂(x) в виде

Тогда

Поскольку мы хотим, чтобы функция u₂(x) была бы решением данного дифференциального уравнения, подставив выражения u₂(x) и через ? в это уравнение, получим:

Сумма первого и последнего слагаемых равна нулю, поскольку u₁(x) – решение дифференциального уравнения. Следовательно, для нахождения функции ??x? получаем дифференциальное уравнение

Значит,

При этом

так что функции u₁(x) и u₂(x) составляют ФСР для данного дифференциального уравнения.

Поставим задачу Коши

Как и в случае обыкновенного дифференциального уравнения, рассматриваем функцию f(x, t) как внешнюю силу, действующую на некоторую динамическую систему. Дифференциальное уравнение в (16), в частности, описывает колебания струны [ 4], поэтому под f(x, t) можно понимать некоторую внешнюю силу, которая непрерывно (при t>0) действует на струну.

Кроме задачи (16) рассмотрим ряд задач Коши (при различных t=?) для однородного уравнения:

(17)

где f(x, ?) – значение функции f(x, t) из (16) при t=?>0.

Чтобы подчеркнуть, что функция v зависит от ?, будем писать v=v(x, t, ?). При каждом ??0 решение задачи (17) находится по формуле Даламбера [4]. При этом, поскольку v=0 при t=?, выражение для v(x, t, ?) содержит только одно слагаемое:

(18)

Решение v(x, t, ?) продолжим тождественным нулем при t??. v(x, t, ?) – функция влияния мгновенного импульса силы интенсивности f(x, ?). Оказывается, что решение u(x, t) задачи (16) ищется по формуле Дюамеля:

(подынтегральная функция в нашем случае находится по формуле (18)). Интеграл в формуле (19) называется интегралом Дюамеля. Если эта формула верна, то, как и в случае с обыкновенным дифференциальным уравнением, она показывает, что u(x, t) – функция влияния непрерывно действующей силы– есть суперпозиция функций влияния мгновенных импульсов (принцип Дюамеля).

Проверим, что u(x, t) из (19) является решением задачи Коши (16). Предположим, что дифференцирование под знаком интеграла в (19) законно. Имеем

здесь v(x, t, t)=0 по первому из начальных условий задачи (17). Далее

здесь по второму из начальных условий задачи (17).

Поэтому

поскольку v(x, t, ?) – решение однородного дифференциального уравнения из формулы (17). Следовательно, u(x, t) — решение неоднородного дифференциального уравнения из формулы (16). Функция u(x, t) удовлетворяет нулевым начальным условиям, поскольку

?

В случае, когда i меняется от 1 до бесконечности, справедлив обобщенный принцип суперпозиции, если только вычисление производных от ряда фигурирующих в операторе Lu, можно совершить при помощи почленного дифференцирования этого ряда.

Обобщенный принцип суперпозиции справедлив и в том случае, когда линейное дифференциальное уравнение Lu=0 имеет бесконечно много решений вида U(x, t, ?), где ?– некоторый параметр. Интеграл

где ???? – произвольная ограниченная функция, является решением уравнения Lu=0, если производные, входящие в линейный дифференциальный оператор Lu, можно вычислить при помощи дифференцирования под знаком интеграла.

С математической точки зрения принцип Дюамеля можно рассматривать как следствие принципа суперпозиции, и поэтому он применим к задаче Коши только для линейного дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными).
п.3. Задача о распространении тепла в стержне
Рассмотрим металлический стержень. Пусть через его боковую поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой; иными словами – боковая поверхность стержня теплоизолирована.

Примем ось стержня за ось абсцисс Ox. Пусть стержень неравномерно нагрет. Мы хотим найти температуру стержня u(x, t) в сечении S_x, перпендикулярном оси Ox, в точке x в момент времени t(считаем, что стержень настолько тонкий, что в каждый момент времени температура всех точек поперечного сечения S_x одна и та же). Пусть t=0 – начальный момент времени, с которого мы начинаем наблюдать за изменением температуры. Если стержень очень длинный, то на процессы, протекающие в его средней части, главное влияние оказывает значение температуры u(x, 0) в начальный момент времени, а влияние температурных условий на концах стержня в течение долгого времени почти не будут сказываться. Идеализируя этот процесс, будем считать стержень бесконечным.

Предположим сначала, что внутри стержня нет тепловых источников, то есть в стержне нет таких участков, в которых тепло может возникать или поглощаться. Тогда температура u(x, t) удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности

(20)

Это уравнение линейное. Постоянный коэффициент температуропроводности где ? – плотность стержня, с – его удельная теплоемкость, к – коэффициент теплопроводности.

Для того чтобы найти значение температуры стержня u(x, t) в любом сечении S_x в момент времени t>0 при условии, что температура u(x, 0)=?(x) известна, надо решить задачу Коши

(21)

Решение u(x, t) задачи (21) находится по формуле

Если начальное значение температуры задается не при t=0, а при t=???, то выражение для u(x, t) приобретает вид

Теперь предположим, что в стержне имеются тепловые источники плотности F(x, t). Это означает, что с точностью до бесконечно малых высшего порядка на малом участке стержня (x, x+?x) за малый промежуток времени (t, t+?t) выделяется количество тепла, равное произведению

F(x, t)?x?t. Например, если считать, что через стержень пропущен постоянный ток, то в стержне выделяется тепло и F(x, t)=J²R, где J– ток, R – сопротивление единицы длины стержня.

Обозначим через S площадь каждого поперечного сечения S_x и введем функцию

В случае наличия тепловых источников температура u(x, t) удовлетворяет неоднородному уравнению теплопроводности

Рассмотрим задачу Коши для этого уравнения с однородным начальным условием:

Вместе с тем рассмотрим задачи Коши

при различных значениях t=?>0.

Решение каждой из таких задач обозначим через v(x, t, ?). Согласно формуле (23)

(26)

Решение v(x, t, ?) продолжим тождественным нулем при t??? Функция

v(x, t, ?) (на всей оси Ox) есть функция влияния мгновенного источника тепла f(x, ?) в момент времени t=?. Непосредственно проверяется, что решение задачи (24) , функция u(x, t), находится по формуле Дюамеля

(27)

где подынтегральная функция ищется по формуле (26).

Интеграл в формуле (27) называется интегралом Дюамеля.

Выясним физический смысл функции

Предположим, что функция f(????? отлична от нуля лишь в достаточно малой окрестности точки (?₀, ?₀) Решение задачи Коши (24) в этом случае обозначим через Как мы уже знаем, функция F(??????c???????? представляет собой (при S=1) плотность тепловых источников. Общее количество тепла Q, выделяющееся на оси Ox за время действия источника ??, ищется по формуле

Учтя формулы (27) и (29) и применив теорему о среднем , получим, что

Итак,

Перейдем к пределу при ?????????? в обеих частях этого равенства и получим, пользуясь непрерывностью, что

Заметим, что с уменьшением ?? и ?? уменьшается отрезок, на котором функция f(????? отлична от нуля. И в пределе при ?????????? можно говорить о мгновенном (точечном) тепловом источнике в момент времени t=?₀ в точке x=?₀. (Напрмер, это может означать, что в момент t=?₀ к точке стержня x=?₀ на мгновение поднесено высокотемпературное пламя, так что температура в этой точке в указанный момент подскакивает до значения f(?₀? ?₀)). Поэтому функцию из равенства (30) (и отличающуюся от нее постоянным множителем функцию (28)) можно рассматривать как функцию влияния мгновенного источника тепла , сосредоточенного в точке x=?₀ в момент t=?₀ .

Формула Дюамеля означает, что функция влияния источника тепла, непрерывно распределенного по всему бесконечному стержню с плотностью c?f(x, t) (при S=1), есть суперпозиция функций влияния, возникающих в точке x в момент времени t вследствие непрерывно распределенных по стержню мгновенных тепловых источников, приложенных к стержню в момент t=?.
п.4. Обобщения
1⁰. Для некоторой функции u(x₁,…,x_n ,t)?u(x, t) рассмотрим задачу Коши

Здесь L — произвольный линейный дифференциальный оператор, который может содержать производную u_t, но не содержит производных по t более высокого порядка.

Если v(x, t, ?) — решение задачи Коши

то

где u – вектор с k компонентами, A^? и B – заданные матрицы размера k?k, g(x, t) – заданный вектор. Предположим, что функция ?(x, t, ?), зависящая от параметра ?, является при t>? решением однородного уравнения Lu=0 с начальным условием ?(x, t)=g(x, ?) при t=?; тогда справедлива формула Дюамеля

Скажем немного о справедливости принципа Дюамеля для линейных дифференциальных уравнений дробного порядка.

«Геометрия природы фрактальна»

Разъясним, что такое производная дробного порядка от некоторой функции. Для этого сначала рассмотрим дифференциальное уравнение y⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=?(x) порядка n+1 (n- целое положительное, n?1) с начальными условиями y⁽ⁱ⁾(0)=0, i=0, 1,…,n. По известной формуле Коши (31)

Пусть функция ??x??? при x<0. Тогда можно записать

Вспомним еще определение ??функции:

При этом ?(z+ n)=(z+n-1)…(z+1)x?(z) и при целом n>0 ?(n+1)=n!.

Обобщим интеграл из формулы (31), заменив целый показатель n на нецелое число ?-1, а n!=?(n+ 1)- на ?(?).

Дробным интегралом Римана- Лиувилля порядка ? функции ?(t) (??t??? при t<0) называется оператор

Производной Римана- Лиувилля порядка ? функции ?(t) (??t??? при t<0) назывется оператор, обратный к оператору (32):

Так определенное дифференцирование функции является линейной операцией. При натуральных ? оно совпадает с обычным дифференцированием, а при ? =0 является тождественным преобразованием. Последнее утверждение справедливо потому, что при

??? ?????????? и

По аналогии с данным определением производной дробного порядка при 00 (см. [1]).

Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами

где

Предполагается, что функция f(x)=0 при x<0.

Справедлива формула Дюамеля:

Эта формула остается справедливой, если а Ly=f — линейное дифференциальное уравнение с частными производными, в котором коэффициенты А_j представляют собой псевдодифференциальные операторы по переменным

Примеры фракталов.

1) в природе: деревья, облака, река и ее притоки;

2) в математике: кривая Пеано, ковер Серпинского;

3) поверхности разлома горных пород и металлов, турбулентные потоки.

Дифференциальные уравнения дробного порядка и интеграл Дюамеля используются, например, при моделировании работы некоторых электронных приборов, при обработке видеоинформации.

Физика фрактальной среды иногда сильно отличается от физики сплошной среды. Например, диффузия в фрактальной среде происходит не так, как в обычной, сплошной среде. Множество препятствий (узких мест, тупиков) затрудняет продвижение частиц и замедляет диффузию. Замедление диффузии в фракталах столь существенно, что она перестает удовлетворять классическому уравнению диффузии. Возникает новое (интегро- дифференциальное) уравнение, содержащее производную дробного порядка.

Б е н у а М а н д е л ь б р о т родился в Варшаве в 1924г. Вскоре его семья переехала в Париж. Бенуа Мандельброт окончил там Политехническую школу. Затем работал во Франции, в США. С 1958г. он постоянно жил в США, являлся профессором математики Гарвардского и Ельского университетов, членом Национальной АН США. Создатель фрактальной геометрии.Умер в октябре 2010 г.в Кембридже (США).
Б.Мандельброт

ЛИТЕРАТУРА

1. Самко С.Г. и др. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. Наука и техника. 1987г.

2. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М., Высшая школа. 1996г.

3. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., Эдиториал, УРСС, 2003г.

4. Петровский И.Г. Лекции по уравнениям с частными производными. М., Наука. 1961г.