КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. АЛЬ-ФАРАБИ
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
«УТВЕРЖДЕНО»
Ученым Советом механико-
математического факультета
«18»___декабря____2008 г.
Председатель Ученого Совета
д.ф.-м.н., профессор
_____________ Калтаев А.Ж.
ПРОГРАММА
экзамена для поступающих в PhD по специальности
01.00.00 – прикладная математика
(физико-математические науки)
Алматы 2009
1. МКМ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
-
Метод матричной прогонки для двумерных уравнений.
-
Метод дробных шагов для многомерных задач.
-
Моделирование атмосферных процессов.
-
Моделирование динамики океана.
-
Трехмерное уравнение Пуассона, метод Фурье.
-
Моделирование внутренних течений.
-
Модель торнадо.
-
Моделирование прогноза погоды.
-
Модель пятиточечной прогонки.
-
Модель ближнего космоса.
-
Уравнение Рейнольдса.
-
Уравнение для Рейнольдсовых напряжений.
-
Уравнение Рейнольдсовых напряжений для температуры.
2. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
-
Математические модели в акустике, в теории переноса тепла, в электростатике, в динамике, в теории упругости, в газодинамике.
-
Основные уравнения математической физики.
-
Классификация дифференциальных уравнений второго порядка.
-
Постановка типичных задач математической физики.
-
Краевые задачи для уравнений Пуассона.
-
Принцип максимума.
-
Фундаментальное решение.
-
Задача Коши для уравнения теплопроводности и уравнения колебания.
-
Фундаментальное решение.
-
Смешанная задача для уравнений параболического и гиперболического типов.
-
Метод разделения переменных.
-
Задача на собственные значения.
-
Понятие обобщенного решения.
-
Вариационный принцип в математической физике.
-
Уравнения эллиптического типа.
-
Уравнения Лапласа и Пуассона, постановка основных краевых задач для них.
-
Фундаментальные решения уравнения Лапласа.
-
Функция Грина.
-
Формула Пуассона для шара и круга.
-
Уравнение Гельмгольца.
-
Теория потенциала.
-
Сведение краевых задач для уравнений эллиптического типа к интегральным уравнениям.
-
Обобщенное решение для уравнения Пуассона.
-
Теорема существования и единственности.
-
Численное интегрирование.
-
Задача оптимизации квадратуры.
-
Оптимизация разделения узлов квадратуры.
-
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
Конечно-разностные уравнения.
-
Однородные разностные схемы.
-
Сходимость в классах непрерывных и разрывных коэффициентов.
-
Методы решения краевых задач для системы уравнений первого порядка.
-
Разностные методы решения уравнений математической физики.
-
Основные понятия теории разностных схем (аппроксимация, устойчивость, сходимость).
-
Методы построения разностных схем (интегро-интерполяционный, вариационно-разностный и проекционный методы).
-
Разностные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений.
-
Разностные методы решения уравнений параболического и гиперболического типов.
-
Методы решения разностных уравнений.
-
Прямые методы (методы прогонки, декомпозиции, разделения переменных).
-
Двухслойные (одношаговые) итерационные методы.
-
Неявные схемы.
-
Попеременно-треугольный метод (ПТМ).
-
Решение разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона и эллиптических уравнений с переменными коэффициентами.
-
Многомерные уравнения.
-
Метод факторизации.
-
Итерационные методы решения эллиптических уравнений.
-
Понятие о методе переменных направлений.
-
Неявный метод чередующихся направлений.
-
Обобщенные методы чередующихся направлений.
-
Схемы направленных против потока разностей с коррекцией.
-
Решение одномерных нелинейных параболических и гиперболических уравнений.
-
Конечно-разностные методы решения уравнения Навье–Стокса.
-
Уравнения Навье –Стокса для несжимаемой жидкости.
-
Разнесенная сетка. Метод МАС.
4. МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
-
Кинематика сплошной среды.
-
Эйлерова и лагранжева точки зрения описания сплошной среды.
-
Векторы перемещения, скорости.
-
Тензоры деформации, скорости деформации.
-
Законы сохранения.
-
Уравнение неразрывности.
-
Уравнения количества движения и моментов количества движения для конечной массы сплошной среды.
-
Тензор напряжений.
-
Моментные напряжения.
-
Кинетическая энергия и уравнение внешних сил для сплошной среды в интегральной и дифференциальной форме.
-
Модель идеальной и несжимаемой жидкости, модель совершенного газа.
-
Уравнение Эйлера. Уравнения Навье-Стокса.
-
Теория упругости.
-
Постановка задачи теории упругости.
-
Решение простейших задач. Изгиб балки. Кручение бруса. Мембранная аналогия.
-
Плоская задача теории упругости. Упругие волны.
ЛИТЕРАТУРА
-
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. –М.: Наука, 1971
-
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. –М: Наука, 1972
-
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. –М.: Наука, 1970
-
Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1, 2. –М.: Наука, 1983
-
Бахвалов Н.С. Численные методы. –М.: Наука, 1975
-
Самарский А.А. Теория разностных схем. –М.: Наука, 1977
-
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. –М.: Наука, 1973
-
Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач
математической физики. –Новосибирск: Наука, 1967. – 196 с.
9. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. - М.: Мир,
1991. – Т. 2 – 552 с.
10. Филатов Н.Н. Динамика озер. –Л.: Гидрометеоиздат, 1983. – 168 с.
11. Саркисян А.С. Численный анализ и прогноз морских течений. –Л.:
Гидрометеоиздат, 1977. – 181 с.
12. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей
среды. –М.: Наука, 1982. –320 с.
13. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. Л.:
Гидрометеоиздат, 1967. - 298 с
14. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики
жидкости. –Л.: Гидрометеоиздат, 1986. - 352 с.
И.о.зав.кафедры КиВТ Абдибеков У.С.
ӘЛ-ФАРАБИ АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚТЫҢ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
МЕХАНИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ
«БЕКІТІЛДІ»
Механика-математика факультетінің
ғылыми кеңесінде
«18» желтоқсан 2008 ж.
Факультет ғылыми кеңесінің
төрағасы, ф.-м.ғ.д., профессор
___________________ А.Ж. Қалтаев
«Қолданбалы математика» мамандығының докторантурасына арналған кешенді емтиханның
Б А Ғ Д А Р Л А М А С Ы
Алматы 2009 ж
1. ФИЗИКАЛЫҚ ҮРДІСТЕРДІ МКП
-
Екі өлшемді теңдеуге арналған матрицалық қуалау әдісі.
-
Көп өлшемді есептерге арналған бөлшектік қадам әдісі.
-
Атмосфералық үрдістерді пішіндеу.
-
Мұхит динамикасын пішіндеу.
-
Үш өлшемді Пуассон теңдеуі, Фурье әдісі.
-
Ішкі ағыстарды пішіндеу.
-
Торнадо пішіні.
-
Ауа райын пішіндеу.
-
Беснүктелік қуалау пішіні.
-
Ғарыш аймағының пішіні.
-
Рейнольдс теңдеуі.
-
Рейнольдс кернеулеріне арналған теңдеулер.
-
Температураға арналған Рейнольдс кернеулерінің теңдеулері.
2. МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ЕСЕПТЕРІ
-
Акустикадағы, жылу тасымалдау теориясындағы, электростатикадағы, динамикадағы, серпімділік теориясындағы және газ динамикасындағы математикалық пішіндер.
-
Математикалық физиканың негізгі теңдеулері.
-
Екінші ретті дифференциалдық теңдеудің классификациясы.
-
Математикалық физиканың қарапайым есебінің қойылымы.
-
Пуассон теңдеуіне арналған шекаралық есеп.
-
Максимум принципі.
-
Фундаментальдық шешім.
-
Жылуөткізгіштік теңдеуіне және тербеліс теңдеуіне арналған Коши есебі.
-
Фундаментальдық шешім.
-
Параболалық және гиперболалық типті теңдеулерге арналған аралас есеп.
-
Айнымалыларды ажырату әдісі.
-
Меншікті мәндерге есептер.
-
Жалпыланған шешім жайлы түсінік.
-
Математикалық физикадағы вариациялық принцип.
-
Эллиптикалық типті теңдеулер.
-
Лаплас және Пуассон теңдеулері, оларға қойылатын негізгі шекаралық есептер.
-
Лаплас теңдеуінің іргелі шешімдері.
-
Грин функциясы.
-
Шар және дөңгелекке арналған Пуассон формуласы.
-
Гельмгольц теңдеуі.
-
Потенциал теориясы.
-
Эллиптикалық типті теңдеулерге арналған шекаралық есептерді интегралдық теңдеуге топтастыру.
-
Пуассон теңдеуінің жалпыланған шешімі.
-
Бар болу теоремасы және оның жалғыздығы.
3. САНДЫҚ ӘДІСТЕР -
Сандық интегралдау.
-
Квадратураны тиімділеу есебі.
-
Квадратураның түйіндерін бөлу тиімділігі.
-
Жай дифференциалдық теңдеулердің шешімі.
-
Ақырлы айырымдық теңдеулер.
-
Біртекті айырымдық сұлбалар.
-
Үзіліссіз және үзілісті коэффиценттер класындағы жинақтылық.
-
Бірінші ретті теңдеулер жүйесіне арналған шекаралық есептерді шешу әдістері.
-
Математикалық физика теңдеулерін шешудің айырымдық әдістері.
-
Айырымдылық сұлбалар жайлы жалпы түсінік (аппроксимация, орнықтылық, жинақтылық).
-
Айырымдылық сұлбаларды құрудың әдістері (интегралды-интерполяциялық, вариациялық-айырымдық және проекциялық әдістер).
-
Эллиптикалық теңдеулерге арналған шекаралық есептерді шешудің айырымдық әдістері.
-
Параболалық және гиперболалық типті теңдеулерді шешудің айырымдық әдістері.
-
Айырымдылық теңдеулерді шешу әдістері.
-
Тікелей әдістер (қуалау, декомпозиция,айнымалыларды ажырату әдістері).
-
Екіқабатты (бір қадамды) итерациялық әдістер.
-
Айқын емес сұлбалар.
-
Айнымалы-үшбұрыштық әдіс(АҮӘ).
-
Айнымалы коэффиценттері бар эллиптикалық теңдеуге және Пуассон теңдеуіне арналған Дирихле айырымды есептің шешімі.
-
Көп өлшемді есептер.
-
Факторизация әдісі.
-
Эллиптикалық теңдеуді шешудің итерациялық әдісі.
-
Айнымалы бағыттауыш әдісі жайлы түсінік.
-
Айқын емес кезектегіш бағыттауыш әдісі.
-
Жалпыланған кезектегіш бағыттауыш әдістері.
-
Ағынға қарсы бағытталған айырымдардың сұлбасы.
-
Бір өлшемді сызықсыз параболалық және гиперболалық теңдеулердің шешімі.
-
Навье–Стокс теңдеуін шешудің ақырлы айырымдар әдісі.
-
Сығылмайтын сұйықтарға арналған Навье –Стокс теңдеуі.
-
Таралымды сұлба. МАС әдісі.
4. ТҰТАС ОРТА МЕХАНИКАСЫ
-
Тұтас ортаның кинематикасы.
-
Тұтас ортаны сипаттаудың Эйлерлік және Лагранждық көзқарастары.
-
Орын ауыстару, жылдамдық векторы.
-
Деформация тензоры, деформация жылдамдығы.
-
Сақталу заңдары.
-
Үзіліссіздік теңдеуі.
-
тұтас орта шектік массасына арналған жылдамдық мөлшерінің және жылдамдық мөлшер моментінің теңдеуі.
-
Кернеулер тензоры.
-
Моменттік кернеулер.
-
тұтас ортаның интегралдық және дифференциалдық түрдегі сыртқы күштерінің теңдеуі және кинетикалық энергиясы.
-
Идеалды және сығылмайтын сұйықтың және газдың пішіні.
-
Эйлер теңдеуі. Навье-Стокс теңдеуі.
-
Серпімділік теориясы.
-
Серпімділік теориясының есебінің қойылымы.
-
Қарапайым есептерді шешу. Жылғаның майысуы. Діңгектің айналуы. Мембрандық аналогия.
-
Серпімділік теориясының жазық есебі. Серпімді толқындар.
ӘДЕБИЕТТЕР
-
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. –М.: Наука, 1971
-
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. –М: Наука, 1972
-
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. –М.: Наука, 1970
-
Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1, 2. –М.: Наука, 1983
-
Бахвалов Н.С. Численные методы. –М.: Наука, 1975
-
Самарский А.А. Теория разностных схем. –М.: Наука, 1977
-
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. –М.: Наука, 1973
-
Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач
математической физики. –Новосибирск: Наука, 1967. – 196 с.
9. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. - М.: Мир,
1991. – Т. 2 – 552 с.
10. Филатов Н.Н. Динамика озер. –Л.: Гидрометеоиздат, 1983. – 168 с.
11. Саркисян А.С. Численный анализ и прогноз морских течений. –Л.:
Гидрометеоиздат, 1977. – 181 с.
12. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей
среды. –М.: Наука, 1982. –320 с.
13. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. Л.:
Гидрометеоиздат, 1967. - 298 с
14. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики
жидкости. –Л.: Гидрометеоиздат, 1986. - 352 с.
Кафедра меңгерушісінің
міндетін атқарушы Абдибеков У.С.
Достарыңызбен бөлісу: |
