Программа спецкурса "Введение в физику нелинейных волновых процессов"

"Введение в физику нелинейных волновых процессов",

д.ф.- м.н., проф. О.Ю. Цвелодуб

1 курс магистратуры, 10 семестр, 32 часа, экзамен

1. Введение и общий обзор.

1.1. Два основных класса волновых движений.

1.2. Гиперболические волны.

1.3. Диспергирующие волны.

2. Волны и нелинейные уравнения первого порядка.

2.1. Кинематические волны.

2.2. Непрерывные решения и метод характеристик.

2.3. Условия опрокидывания.

2.4. Законы сохранения и слабые решения.

2.5. Построение разрывов, условия на разрывах.

2.6. Ударные волны. Структура ударной волны.

2.7. Слабые ударные волны.

2.8. Более общие квазилинейные уравнения.

3. Уравнение Бюргерса.

3.1. Преобразование Коула-Хопфа. Анализ решений.

3.2. Стационарно бегущие решения. Структура ударной волны.

4. Гиперболические системы.

4.1. Определение гиперболической системы уравнений.

4.2. Переменные Римана.

4.3. Примеры классификации систем.

5. Газовая динамика.

5.1. Уравнения газовой динамики.

5.2. Звуковые волны.

5.3. Инварианты Римана. Простые волны.

5.4. Задача Коши.

5.5. Ударные волны. Адиабата Ранкина-Гюгонио.

5.6. Условия на разрыве. Скачок энтропии в слабой ударной волне.

6. Диспергирующие волны

6.1. Линейные диспергирующие волны. Дисперсионные свойства среды.

6.2. Слабая и сильная дисперсия. Общее решение в виде интеграла Фурье.

6.3. Асимптотическое поведение решения. Групповая скорость.

6.4. Интегральное уравнение Уизема.

7. Волны на воде.

7.1. Общая постановка задачи для волн на поверхности жидкости.

7.2. Линейные волны на свободной поверхности слоя жидкости постоянной глубины.

7.3. Нелинейные волны. Уравнения мелкой воды; длинные волны.

Аналогия с газовой динамикой. Модель структуры боры.

7.4. Уравнения Буссинеска.

7.5. Вывод уравнения Кортевега- де Вриза.

8. Свойства решений уравнения КдВ.

8.1. Интегралы сохранения. Преобразование Гарднера-Миуры.

8.2. Фазовый портрет стационарно бегущих решений.

8.3. Слабонелинейные решения. Использование метода медленных и быстрых переменных для получения слабонелинейных решений.

8.4. Кноидальные волны.

8.5. Солитоны. Многосолитонные решения.

8.6. Метод Обратной Задачи Теории Рассеяния (ОЗТР).

L-A пара Лакса.

8.7. Примеры уравнений, интегрируемых с помощью метода ОЗТР.

Уравнение Sin-Гордона. Нелинейное уравнение Шредингера.

Солитоны огибающих.

9. Уравнение Кортевега-де Вриза-Бюргерса.

9.1. Примеры сред, описываемых уравнением КдВБ.

9.2. Структура фронта ударной волны. Условия для существования монотонного и осциллирующего фронтов.

10. Преобразование Беклунда.

10.1 Идеология преобразований Беклунда.

10.2 Примеры преобразований Беклунда (для уравнений КдВ и

Sin-Гордона).

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны.

М., "Мир", 1977.

2. О.В. Руденко, С.И. Солуян. Теоретические основы нелинейной акустики. М., "Наука", 1975.

3. С.А. Габов. Введение в теорию нелинейных волн.

М., Изд. МГУ, 1988.

4. С.В. Алексеенко, В.Е. Накоряков, Б.Г. Покусаев. Волновое течение пленок жидкости. Новосибирск, "Наука", 1992.

5. В.Г. Дубровский, Элементарное введение в метод обратной задачи и теорию солитонов. Н-ск, Изд. НГТУ, 1997.

6. Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис, Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М., "Мир", 1988.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. М.Б. Виноградов, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков.

Теория волн. М., "Наука", 1979.

2. Солитоны в действии.

М., "Мир", 1981.

3. М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. М., "Наука", 1984, 3-е изд.-М.; Ижевск, 2000.

4. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Гидродинамика. М., "Наука", 1986.

5. В.Ю. Новокшенов. Математические модели в естествознании. Введение в теорию солитонов. Уфа. 1999.