Радиотехника және телекоммуникациялар кафедрасы

ПМУ ҰС Н 7.18.2/05

1. Радиотехника және телекоммуникациялар кафедрасы

мамандығының студенттері үшін тәжірибелік сабақтарға

бекіту парағы ПМУ ҰС Н 7.18.1/05

Энергетика

факультетінің деканы

___________А.П.Кислов

20___ ж. «___»____

Құрастырушы: аға оқытушы _______ Д.Т. Амренова

мамандығының студенттеріне арналған

Кафедра отырысында ұсынылған

20___ж. «_____»______________, №__хаттама

Энергетика факультетінің әдістемелік кеңесімен құпталды

20___ ж. «___»_______№ ___ хаттама

1. ӘК төрағасы_________________ Кабдуалиева М.М.

Мазмұны

Кіріспе
Бұл есептер мен жаттығулар жинағы С.И.Баскаковтың "Теория передач элекфомагнитных волн" оқу құралынын ішінен есептері мен жаттығуларының қазақ тілше аудармасы болып және де студенттердің теориялық курсты бекітуге арналған кұрал.

Осы оқу құралына, оқу бағдарламасына сәйкес, барлық тараулардың есептері мен жаттығулары кіреді.
1 Электрмагнетизм теориясының негізді қағидалары
1.1 Теориядағы негізді мәлімдер
Электрдинамиканық қолданбалы қатыстағы есептер мына себептермен сипатталынады. Электрмагниттік өрістер туғызатын сыртқы көздер болып кеңістікте жылжымайтын және уақытта өзгермейтін электрлік зарядтар. немесе кеңістікте қатты бекітілген тұрақты тоқтар жүретін өткізгіштер жұмыс істейді.

Бұл жеке түріндегі электрмагниттік өрістерін математикалық суреттеу үшін Максвеллдің теңдеулер негізгі жүйесіңде (1.1) туындылары бар мүшелерін нольге теңдестіру керек. Сонда дифференциалдық теңдеулерінің келесі жүйелері пайда болады.

(1.1) теңдеуге сәйкес болған эдектрлік өріс электрстатикалық болып аталынады.

Тұрақты тоқтар жүйесінің әсерімен туған өрістерді стационарлық деп атайды. Стационарлық өрістің бір түрі (1.2) теңдеулер жүйесіне сәйкес болған магниттік өріс, ол магнит статикалық деп аталынады. J_э көлемдік тығыздығы бар тұрақты электрлік ток жүрген кезде өткізетін ортанық ішіндегі электрлік өрісті де стационарлық деп атайды. Бұл кезде дифференциалды түріндегі Ом заңы әділді болады

J_э = σЕ. (1.3)

Жүйенің бірінші теңдеуінен (3.1) шыққан электрстатикалық өрістің құйын тәріздісіз сипаты бұл векторлық өрісті скалярлы электрлік φ потенциал арқылы суреттеуіне мүмкіншілік береді, Е мен φ_э мәндер арасындағы байланысты мына катыстықпен анықтай отырып

Е = -grad φ_э (1.4)

(дәстүр бойынша электрлік векторлардың күш беретін сызықтары оң зарядтарда басталады және теріс зарядтарда аяқталады).

1 және 2 нүктелерді жалғастыратын арнап алған қисыққа екі еркін нүктелердің арасындағы потенциалдар айырымының тәуелсіздігі электрстатикалық өрістің маңызды қасиетіне байланысты. Ол кисық арқылы интегралдау жасалынады

(1.4) формуланы және (1.1) жүйенің екінші теңдеуін бірге қарағаны Пуассон теңдеуіне алып келеді

Ол көлемді электрлік зарядтары бар бір текті ортаға арналған электрстатиканық ең жалпы теңдеуі болып шығады. Егер кеңістіктің кейбір аймағында бұл зарядтар жоқ болса, онда скалярлы электрлік потенциал Лаплас теңдеуіне бағытталады.

Лаплас және Пуассон теңдеулері жалғыз шешімді қамтамасыз ететін шекаралық жағдайлармен қосымша толтырылу керек:

а) ең жақсы өткізгіштің сырткы бетіндегі потенциал тұрақты мәнін сақтау керек;

б) екі диэлектриктердің бөлу шекарасынан өту кезінде потенциал үздіксіз болу керек;

в) егер екі орталардың бөлу шекарасында υ_q тығыздығы бар сырт бетті электрлік заряд болса, онда потенциалдың нормалды туындысы кенет көтерілуге ұшырайды

(1.8)

(1 және 2 символдар потенциалдардың бірінші және екінші орталарға қарайтынын белгілейді).

Электрстатика есептерде сәйкестік дифференциалды теңдеулердің түзу сызықты сипатына байланысты суперпозиция принципін қолданады; егер кеңістікте дискретті немесе үздіксіз үлестірілген Q₁ және Q₂ зарядтар кеңістіктің кейбір нүктесінде φ_э1, және φ_э2 потенциалдарды құратын болса, онда жиынтық зарядқа Q = Q₁ + Q₂ жиынтық потенциал φ = φ₁ + φ₂ сәйкес болады. Егер потенциалға еркін тұрақтыны қосатын болса, электрстатикалық өріс өзгермейді.

Вакуумдағы нүктелі заряд q потенциалдың сфералы симметриялық үлестіруімен сипатталынады:

Егер шектелген көлемнің V ішіңде көлемді ρ тығыздығы бар электрлік зарядтар үлестірілген болса, онда суперпозиция принципі негізінде Пуассон теңдеуінің шешімі мына түрде жазылады

бұл жерде R - интегралдау және бақылау нүктелердің арасындағы кесіндінің ұзындығы.

Екі өткізгіштер жүйесінің сыйымдылығы электрстатикада маңызды түсінік болып саналады

С = Q/U (1.11)

бұл жерде U=|φ_э1-φ_э2| өткізгіштер арасындағы потенциалдар айырымының абсолюттік мәні.

Оңаша өткізгіштің сыйымдылығын еңгізуге болады; бұл кезде кеңістіктің шексіз алыстанған нүктесінің потенциалы нольге тең болады деп санау керек.

Электрстатикалық Е өрісте орнатылған нүктелі зарядқа әсер ететін күш

F = qЕ. (1.12)

Бір-бірінен r₁₂ - алыстықта тұратын екі нүктелік q₁ және q₂ зарядтардың әрекеттестік күшін жеке жағдайда Кулон заңынан анықтауға болады

(1.13)

Электрстатикалық өріс энергиясының көлемдік тығыздығы

V көлемдегі қорланған энергия

Егер зарядталған өткізгіштер жүйесінің механикалық деформация кезінде оның бір құрау бөлігі ξ еркін жылжыса, онда проекциясы бар күш ие болады

Тоқ күшінің тығыздығы а/м².

Электр өрісінің кернеулігі векторынін модулі В/м, мұндағы σ мыстың шенелікті өткізгіштігі. Электр өрісінің кернеулігі векторы өткізгіш өсімен бағытталғанын физикалық тұрғыда ойлау арқылы көру қиың емес.

Мысал 1.2 Радиусы а сфералық облысының ішіне көлемдік тығыздығы ρ болатын заряд бірқалыпты орналастырылған. Зарядтың орналасқан ортасы вакуум.

Сферанық ішкі (r<а) және сыртқы (r≥а) аймақтарындағы электр өрісінің кернеулігін табыңыз.

Центрі зарядталған, сфералық облысы концентрлі, радиусы r елестетілген сфералық бетті қарастырайық. Қарастырып отырған сфералық беттің ішіндегі зарядтың шамасы r және а-ға байланысты әртүрлі жолмен есептеуге болады.

Сфералық аймақтың симметриялы болуына байланысты векторы радиусы бойымен бағытталған жалғыз ғана құраушыдан тұрады, Е^r . Соңдықтан бұл жерде Гаусстың заңына сүйене отырып:

Цилиндрлі координат жүйесінде векторының тек Н_φ азимуттік проекциясы бар. Ортасы өткізгіш өсінде жаткан, радиусы r елестетілген шеңбердің бойындағы нүктелерде Н_φ мәні өрістік толық симметриялығына байланысты тұрақты болып қалады. Егер r ≥ а болса, онда тоқтың барлығы да елестетіп отырған шектеулі контур арқылы өтеді. Сондықтан: Н_φ(r)=І₀/(2πr).

Егер де r<а болса, онда контурдың шгімен өтетін ток күпгі І=І₀r²/а² болады. Сондыктан Н_φ(r)=І₀r/2πа².

1.3 Өз бетінше шөшуге арналған есептер

1.4 Вакуум ішіндегі түзуде (ε_а = ε₀) үш нүктелі зарядтар орнадаскан:

(1.1 сурет) q₁=1мкКл, q₂ =23мкКл және q₃=5мкКл 0 нүктедегі электрлік өрістің кернеулігін анықтау керек.

1.1 сурет

1.5 Радиусы 5 см зарядталған металлдық шар ауанық ішінде болып отыр. Өріс кернеуліктің 30 кВ/см кезінде ауанық ішінде электрлік – ойық басады екені белгілі.

Ойықтың жоқтығын қамтамасыз ететін шардың шекті мүмкін зарядың анықтау керек.

1.6 10^-5 Кл/м² сыртбетті тығыздығы және 5 см радиусы бар шексіз ұзын цилиндр бір қалыпты болып зарядталған. Цилиндр айналасындағы кеңістік ауамен толтырылған.

Өсінен 10 м алыстықтағы цилиндрмен жасалынған өріс кернеулігін анықтау керек. Есепті интегралды түріндегі Максвелл теңдеулері арқылы шөшу керек.

1.7 Металлдан жасалынған а=2см және в=5см радиустары бар екі шексіз ұзын коаксиалды цилиндрлер пайда болып отыр. Цилиндрлердің арасындағы кеңістік ауамен толтырылған. Ішкі цилиндрдің потенциалы 5 В, ал сырткы цилиндрдің потенциалы 0 тең.

Радиусы r = 4см шенбердегі электрлік өріс кернеулігін анықтау керек.

1.8 4·10^-12 Кл/м² сыртбетті тығыздығы бар шексіз металлды жазықтық зарядталған. Барлың кеністіктегі D және Е өріс мәндерін табу керек.

Абсолютті диэлектрлік өтімділік ε_а = ε₀.

1.9 Тек қана радиалды координатқа тәуелді болатын координаттар цилиндрлік жүйесіндегі Лаплас тендеуінің жалпы шешімін табу керек.

1.10 r координатанық функциясы болатын координаттар сфералық жүйесіндегі Лаплас теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

1.11 z өсі жағасына бағдарлаңған екі шексіз тікелей сызықты өткізгіштерден тең және кері бағытталған I тоқтар жылжыйды.

Барлың кеңістіктегі векторлары электрлік потенциалды табу керек, бұл жерде r₁ және r₂ - бақылау нүктеден сәйкес өткізгіштікке дейінгі ең қысқа алыстық.

1.12 Радиусы 50 мм шексіз ұзын цилиндр 10^-5 Кл/м² беттік тығыздықпен зарядталған. Цилиндр ауада орналасқан. Өз өсімен 10 м қашықтықта цилиндр тудырған электр өрісінің кернеулігін табыңыз.

1.13 Қабырғасы 8 мм болатын өткізгіштің көлденең қимасы арқылы күші 2,5 а-ге тең тоқ жүріп тұр. Өткізгіш бетіндігі магнит өрісі кернеулігінің жуық шамасын табыңыз.

1.14 Уақыт бойынша гармоникалы өзгермелі, вакуумда электрмагниттік өріс тудырады. Кеңістіктің қандай да бір нүктесіндегі В/м векторы. Сол нүктедегі электр ығысуы Б векторын табыңыз.

1.15 Вакуумда біртекті магнит өрісі тудырылады: проекциясының амплитудасы 25 А/м және жиілігі 600 Гц. Аумағы 0,3 м² өткізгіш рамкада осы өрістің әсерінен пайда болған ЭҚК-нің амплитудасын табыңыз. Рамка декарттық координат жүйесіндегі ХОУ жазықтығында жатыр.

1.16 Кернеулігі 800 В/м біртекті электр өрісі өтімділігі ε=3,5 диэлектрикте тудырылды. Электрлік поляризациялану векторының модулін табыңыз.
1.4 Квазистационарлық электрмагнитті өрістер
1.5 Негізгі теориялық мәлімдер

Квазистационарлық өрістерді талдау кезінде өткізу тоқтармен салыстырғанда жылжу токтарды есепке алмасада болады. Максвелл теңдеулерінен шығатын квазистационарлық өріс негізгі теңдеулерінің жүйесі мына түрде жазылады

1.2 сурет

Маңызды жүйелер ол квазистационарлық жағдайға сәйкес, тізбекті структуралар болады (1.2 сурет). Олар үшін бір бірімен өткізгіштер жүйесімен жалғанған көптеген кеңістікті аймақтардың А_j(j -1,2,...) бар екені сипат болып тұр. Тізбекті стуктуралар өткізгіштер жүйесінің кеңістікті деформапияларына қатысты инвариантты болады. Осы жағдай тізбекті структурадан оның абстракті моделіне - тізбектер теориясының әдістері арқылы талдауға болатын принципиалды электрлік сұлбаға көшу мүмкіндік береді.

Квазистационарлық әдістердің іске асуының екінші жағдайы - жақсы өткізетін (металлдың) ортадағы электрмагниттік ауытқылар таралу порцессін зерттеу. Өткізу тоқтың тығыздығы Ј_пр =σЕ жылжу тоқтың тығыздығынан Ј_см=ωε_аЕ едәуір артық болады. Бұл кезде (1.18) жүйеден екінші реттік дифференциалдық теңдеулер шығады

Толқындық теңдеулерге қарағанда берілген теңдеулерге уақыт бойынша бірінші туынды пайда болып отыр.

1.18 100 кГц және 3 ГГц жиіліктердегі жездің сыртбеткі активтік кедергісін R_S есептеп шығару керек.

1.19 1,5 мм диаметрі бар жез өткізгіштің 1 МГц жиіліктегі активтік кедергісі сол өткізгіштіктің тұрақты тоқта өлшенген керісінен неше есе артады?
2 Максвеллдің теңдеулері
2.1 Теориядағы негізді мәлімдер

Электрмагнетизм классикалық теориясы электрмагниттік өріс туралы эмпиризмдік мәлімдеулердің жиынтығын жүйелеп баяндайтын Максвеллдің теңдеулеріне негізделінеді Вакуум үшін екі негізгі векторлық объектерді кіргізеді - электрлік өрістің кернеулігі Е және магниттік өрістің кернеулігі Н. Одан басқа, электр зарядының аумақты тығыздығының скалярлық ёрісін және кеністіктегі заряд сақтаушының қозғалысымен байланысты болған электр тоғының аумақты тығыздығының векторлық өрісін анықтайды. Атап шыққан өлшемдер туралы Максвеллдің тендеулер жүйесі вакуум үшін мына түрінде жазылады.

Бұл тендеулердің ішінде екі фундаменталды физикалық константалар: электрлік тұракты және магниттік тұрақты.

Жоқ үздіксіздігінің теңдеуіндегі өзі кескінін тауып отырған электр зарядының сақтау заңына электрдинамиканық негізгі принциптері қатысты болады.

Жүйенің (2.1) бірінші теңдеуі ығыстыру тоқ тығыздығының векторымен толықтырылған белгілі Ампер заңының дифференциалды түріндегі жазуы болып есептелінеді

Кейде кеңістіктегі электрмагниттік емес күштерінің әсерімен пайда болған шеттегі электрлік ток тығыздығын белгілеуге ыңғайлы болады. Электрдинамикада ығыстыру тоғы, өткізгіш тоғы және қосындысын толық тоғы деп атайды.

Жүйенің (2.1) екінші теңдеуі Фарадейдің электрмагниттік индукция заңын жүйелеп баяңдайды. Екі басқа теңдеулер Максвеллдің бірінші екі теңдеулеріне тәуелді болады. Жүйенің (2.1) үшінші теңдеуінен мына жағдай пайда болады: электр өрісінің күштік сызықтары тек қана электр зарядтарында басталады да және сол зарядтарында бітеді. Төртінші теңдеу мына жағдайды көрсетеді: вакуумдағы магнит өрісінің күштік сызықтары әр қашанда бекітулі (магнит өрісінің қоректері жоқ).

Материаддық орталардың қатысында Максвелл теориясы заттың микроскоп структурасын есептейтін жана көріністермен толықтану керек.

Салынған электр өрісінің Е әсерімен ортада аумақтың тығыздығы бар өткізгіштік ток пайда болады

І_э=σЕ. (2.3)

Мұнда σ - заттың меншікті аумақтық өткізгіштігі.

(2.3) ара қатыс Ом заңының дифференциалдық түріндегі жазуы брлады; күшті электрлік өрістер арасындағы пропорционалдық бұзылуға мүмкін.

Электр өрісінде заттың атомы немесе молекуласы поляризациялануға кез болады, сондықтан ол жағдай теорияда енгізілген электрлік поляризацияланған веторлық өріспен есептелінеді. Бұл вектор әр нүктедегі заттың көлем бірлігінің дипольдік моментін сипаттайды. Егер уақыт бойынша электрмагниттік өріс ауыспалы болса, онда ортада аумактық тығыздығы бар поляризацияланған электр тоғы пайда болады

Ортанық әр нүктесінде электр ығыстыруының (индукцияның) векторы енгізілген

D=ε₀Е + Р. (2.4)

Қорытынды да Максвеллдің бірінші теңдеуі мына жазуға ие болады

Материалдың орталарынын магнетизміне кванттық табиғат пайда болады. Классикалық көрініс бойынша зат көлем бірлігінің магниттік моменті болып отырған магнитталған векторын М және магниттік индукцияның В векторын анықтайды. Н пен М мына ара катыспен байланысты

В = μ₀(Н + М).

Материалдық ортадағы Максвеллдің екінші теңдеуінің түрі мынадай

Максвеллдің үшінші және төртінші теңдеуі осылай жазылады

divD=ρ, (2.7)

divВ = 0. (2.8)

Аса күшті емес өрістердегі поляризацияланған және магнитталған өрістер кернеуліктерінің түзу сызық байланыстары мынадай

Р = χ_эЕ, М = χ_мН, (2.9)

бұл жерде χ_э, χ_м - заттың диэлектрлік және магниттік каблеттіктері.

Осы негізді пайдалана отырып электрмагниттік өрістің материалдық теңдеулерін мына түрде жазуға болады

D=ε_эЕ, В=μ_аН. (2.10)

Абсолютті диэлектрлік өтімділік ε_а және абсолютті магниттік өтімділік μ_а кернеуліктермен индукциялардың арасындағы кері пропорционалдың коэффициенттері болып саналады.

Есептерде салыстырмалы өтімділіктер жиі пайдаланады.

ε = ε_а/ε₀, μ = μ_а/μ₀ (2.11)

(2.10) түріндегі қатыстар өріспен заттың өзара әрекетті инерциясыз болып жатқан жағдайда әділді келеді. Өте жоғарғы жиіліктерде, оптикалық және ең жоғарғы жиілік диапазондарда заттың күйін дәлелдейтін. түпкі уақытқа байланысты эффектерді есептеуге тура келеді. Бұл жағдайда жиілікке тәуелді болған магниттік және диэлектрлік өтімділіктер туралы сөйлесуге болады.

(2.12)

Бұрыңғы айтылған барлық әңгімелер изотропты ортаға жатады. Егер зат электрдинамикалық қасиеттердің анизотропиясына ие болса (әр түрлі кристаллдар, және де магниттік өрістің ішіндегі плазма), онда скалярлық өлшемдерді ε_а және μ_а екінші денгейдегі тензорларға ауыстыру керек (ε_а) және (μ_а). Сонда (2.10) материалдық теңдеулерді мына жайылған түрінде жазуға болады

Сонымен, жалпы жағдайда жұп векторлар D және Е, В және Н кеңістікте параллелді емес. Максвеллдің төртінші теңдеуіне карағанда divВ = 0 табиғатта магниттік зарядтар жоқ. Дегенмен кейде Максвеллдің екінші теңдеуінің оң жағына кіргізілген І_ст.м тығыздығы бар сыртқы магниттік тоқ туралы әнгімені пайдалану ыңғайлы болады.

Бір жолата алатынымыз:

Максвеллдің дифференциалдың түріндегі теңдеулері

(2.13)

Максвеллдің интегралдың түріндегі теңдеулері

Уақыттағы ω жиілігі бар гармоникалық заң бойынша өзгеретін электрмагниттік өрістерді жиі қарауға тура келеді. Бұл жерде Максвеллдің теңдеулерін өрістер комплекстік амплитудалары туралы жазады:

Бұл теңдеулердің ішіне комплекстік диэлектрлік және магниттік өтімділіктер кіреді:

Өтімділіктің алдамшы бөліктері болғаны электрмагниттік өріс энергиясының бөлігі жылу энергияға қайтымсыз айналуына байланысты. Жылудың шығуы қайтадан магниттеу және поляризация процесстеріне ере жүретін ішкі үйкеліс есебінен және өткізгіштік тоғы есебінен жүргізіледі. Егер ортадағы шығын өткізгіштік тоқтарына байланысты болса, онда .

Техникада әр түрлі заттарды магниттік және диэлектрлік шығындар бұрыштарының тангенстері арқылы сипаттайды.

Әр түрлі электрдинамикалық параметрлері бар екі материалдық орталардың бөлу шекарасында өрістің векторлары анық шекаралы жағдайларға сәйкес болу керек. Векторлардың әрбірі (мысалы Е) шекаранық нүктесінде тангенциалды (жанама) және нормалды құрастыруларға бөлініп ыдыратылады:

Е = Е_nl_n+Е_τl_τ.

(l_n және l_τ - тангенциалды және нормалды бағыттарға сәйкес орттар).

Бөлу шекарасындағы әр нүктеде кернеуліктердің тангенциалдық кұрастырулары және индукциялардың нормалды құрастырулары үздіксіз болады:

(2.17)

Егер орталардың бірі σ→∞ өте жақсы өткізетін металл болса, онда оның сыртқы бетінде электрлік векторының тангенциалдық құрастыруы жоқ болады.

Е_τ=0. (2.18)

Металлдың сыртқы бетінде сыртбеттік тығыздығы бар электр тоғы пайда болады

η=[l_nН] (2.19)

Электрмагниттік өріс энергияның тасушысы болады. Кеңістіктің әр нүктесінде энергияның көлемдік тығыздығы мына формуламен жазылады

Пойнтинг теоремасында энергия сақтау заңы өз шағылысын табады.

Пойнтинг векторы

шығару қуаттың ағын тығыздығын сипаттайды.

Уақыт арқылы гармоникалық заң бойынша өзгеретін өрістер үшін Пойнтинітің комплекстік векторы енгізіледі

(2.23)

Бұл вектордың заттық бөлігі

мерзім ішіндегі шығару қуат ағынның ортаңғысына тең болады. Максвеллдің теңдеулерінен электрмагниттік өріске сәйкес бірнеше қатыстар шығады. Егер сырт көздерінің жүйесі кеңістікте электрмагниттік процессті қоздырса онда мына формуланы

Лоренц леммасы деп атайды.

Е = 130соs2π·10¹⁰τ·l_х.

Берілген нүктеде ығыстыру тоқ тығыздығын анықтау керек.

Шешім. Анықтама бойынша ығыстыру тоғы

Кеністіктегі ығыстыру тоғы және электр өрісінің кернеулігі параллелді екенін есепке алу керек, бірақ фаза бойынша тоқ өріс кернеулігін 90° озып шығады.

Мысал 2.2 Вакуум үшін Максвеллдің теңдеулерінен келесі толқындық теңдеулер шығатынын көрсету керек:

(2.26)

Шешім. Сырткы көздер болмайтын вакуум үшін арналған Максвеллдің бірінші теңдеулерінен екі теңдеу жүйесін жазып алайық.

және (2.27) жүйенің екінші тендеуіне rot операциясын қолдайық.

Кеңістіктің тиісті аймағында зарядтарды (divЕ=0) жоқ деп санағанда және (2.27) бірінші теңдеуін қолданып электр өрісінің векторы үшін (2.26) толқыңдық теңдеуге ие боламыз. Магнит өрісінің векторына қатысты теңдеуді ұқсас табады.

Мысал 2.3 Материалдық орта абсолюттік өтімділіктермен сипатталынады.

Егер ω жиілігі бар уақыт ішіндегі магнит процессі гармоникалы өзгеретін болса, онда берілген біртексіз ортадағы векторлық өріске сәйкес болатын екінші деңгей дифференциалдық теңдеуді шығарып алу керек.

Шешім. Комплекстік амплитудаларға қатысты Максвеллдің бірінші екі теңдеулерін қарап шығайык.

(2-28)

және (2.28) бірінші теңдеуге rot операсиясын қолданайық.

Кеңістікгегі ортанық магниттік өтімділігі өзгерілмейді, сондықтан divН=0. Одан басқа

Бірінші теңдеуден (2.28) Е векторды Н вектор арқылы жазуға болады.

Осыдан тиісті теңдеудің ақырғы түріне ие боламыз

Мысал 2.4 Ток үздіксіздіктің теңдеуі Максвеллдің бірінші және үшінші (2.1) теңдеулерінен шығатынын көрсету керек.

Шешім. Бұл жерде белгілі векторлық талдау теңбетеңдігін есепке алып жазу керек,

Содан кейін Максвеллдің (2.1) үшінші теңдеуін пайдалану керек. Сонымен үздіксіздік тендеуге келіп отырмыз

Мысал 2.5 Электрмагниттік өріс теориясының стационарлықсыз есептерін операторлық әдіспен шөшуге тізбектердегі ауысу процесстерін зерттеу кезінде осы әдісті қодданады.

Өріс векторларының бейнелерін енгізгенде

Сырт көздері жоқ вакуум үшін арналған Максвеллдің теңдеулерінің операторлық түрін табу керек.

Шешім. (2.27) Максвеллдің теңдеулер жүйесінің екі бөлігінде Лаплас бойынша түрлендірейік. Вектордың дифференциалды операцияларды кеңістікті координаттар бойынша жүргізіледі, сондыктан rot операторын интеграл белгінің сыртына шығаруға болады. Егер Е өріске ξ бейне сәйкес болса, онда туындының бейнесі өрістің бастапқы жайын t=0 есепке алатын рξ-Е(r,0), формула болады.

Сонымен бейнелерге қатысты Максвелл теңдеулерінің жүйесі болып шығады:

Мысал 2.6 Катыстық диэлектрлік өтімділіктерге ε₁ мен ε₂-ге ие болған екі орталардың жазықтық бөлу шекарасы бар (сурет 2.1). Бірінші ортадағы күш беретін сызықтар нормалдың бағытымен бірге θ₁ бұрыш кұрады. Екінші ортадағы өрістің күш беретін сызықтардың бағытын табу керек.

2.1 сурет Шешім. Шекаралық жағдайды пайдаланайық

Е_1τ =Е_2τ,

D_1n=D_2n.

немесе

Осы теңдеулерді бір біріне белгенде алатынымыз

немесе .

Егер ε₂→∞, онда θ₂→π/2 бірінші ортадағы өрістің бағытына тәуелсіз.

Мысал 2.7 Кеңістіктің кейбір нүктесінде өріс векторларының комплекстік амплитудалары белгіленген:

Өріс векторларының лездік мәнін табу керек, және де Пойнтинг векторының орташа мәнін есептеу керек.

Шешім. Лездік мәндер комплекстік амплитудалармен белгілі формулалармен байланысты

,

осы жерден

Уақыт ішіндегі гармоникаша өзгеретін өрістер үшін

Мысал 2.8 Өрістің векторы f=2ГГц=2·10⁹ Гц жиілікпен кеңістіктің тұрақты бір нүктесінде комплекстік амплитудамен гармоникаша өзгереді. Берілген вектордың уақытқа тәуелді лездік мәнін табыңыз

Мысал 2.9 Теңіз суы ε=75, σ=4 См/м параметрлерімен сипатталған. Өріс жиілігі f=100 кГц. Берілген жиілікте осы ортанық поляризациялау және электр өткізгіштік процессін көрсету дәрежесін салыстырыңыз.

Демек, теңіз суының өткізгіштік тоғының тығыздығы берілген жиілікте ығысу және поляризациялау тоқтарының қосынды тығыздығынан төрт дәрежедей артық.

Мысал 2.10 Кеңістіктің қандай да бір нүктесінде уақыт өтуімен өзгермейтін векторлар берілсін.

,

Сырткы көздер қуатының тығыздығы, берілген нүктеде Р_ст=-30·25-80·40+45·16=-3230 Вт/м³ болады. Мұндағы теріс таңба, қарастырып отырған нүктенің аз ғана маңайындағы сырткы токтардың өріс күшіне қарсы жұмыс жасайтынын және оның энергиясын арттыратынын көрсетеді.

Мысал 2.11 Кеңістіктің қандай да бір нүктесінде өрістің комплекстік амплитудалары берілген:

Берілген нүктеде комплекстік Пойнтинг векторын және оның нақты берілген П_ср табыңыз.

Магнит веторының комплексті орайлас амплитудасы:

Векторлық көбейтіндіні декарттық координата

Жалған көрсеткіші экспоненталарда Эйлер формуласы бойынша түрлендіріп табамыз:

Н = 6хсоsωtl_х + 2ехр(-2у)sinωtl_z.

2.13 Кеңістікті координаттарының функция болып отырған магниттік өтімділігі бар тексіз ортадағы Максвеллдің төртінші теңдеуінен магниттік өріс кернеулігінің векторы үшін арналған келесі теңдеу шығатынын көрсету керек.

2.14 Кейбір электрмагниттік процесстер оның барлық өрістерінің кұраушылары z координатқа тәуелді болғанымен сипатталынады.

Максвелл теңдеулерінің негізінде Н_z және Е_z бойлық құраушылары жоқ екенін көрсету керек.

2.15 Көздерден бос кеңістіктін аймағында ω жиілігі бар уакыт ішінде гармоникаша өзгеретін электрмагниттік өріс Гельмгольц текті теңдеулеріне сәйкес болуын көрсету керек

Кейбір қосымша жағдай кезінде Максвеллдің төртінші теңдеуін divВ = 0 екінші теңдеудін нәтижесі деп карауға болатынын дәмелдеу керек. Бұл жағдай қандай?

2.17 ε= 3,5 және σ= 7,2·10^-1 См/м параметрлері бар материалдық ортада 600 МГц жиілігі және 15 В/м амплитудасы бар электр өрісі құрылған.

Берілген ортанық әр бір нүктесінде болып отырған толық тоғы тығыздық векторының фазалық бұрышын және амплитудалық мәнін анықтау керек.

2.2 сурет

2.18 Белгілі қатыстық ε өтімділігі бар біртекті диэлектриктін қалыңдығында бастапқы бір қалыпты электрлік өріс Е құрылған, содан кейін екі жіңішке 1 және 2 қуыстар ойылған (сурет 2.2), олардың біреуі өріске параллелді, екіншісі перпендикулярды бағытталынған. Қуыстар ауамен толтырылған. Екі қуыстардағы электрлік өріс кернеулігінің мәні қандай? Нұсқау: Электр өрісінің векторларына арналған шекаралық жағдайларды пайдалану керек.

2.19 Бұдан бұрынғы есептің корытындысына сүйеніп мына жағдайды түсіндіру керек. Ауалық қосулары бар (көпіршіктер, каналдар) күшті электрлік өрістің ішіне орнатылған қатты диэлектриктің бір текті диэлектрикпен салыстырғанда электрлік беріктігі неге төмен?

2.20 2 мм диаметрі бар дөңгелек цилиндрлік өткізгіште 7,5А мәнімен тұрақты тоқ өтеді. Сым жезден жасалынған. Сымның сыртқы бетіндегі электр өрісінің кернеулік векторының тангенциалдық құраушысын анықтау керек.

2.21 σ_q тығыздығымен бір қалыпты зарядталған, r₀ радиусы бар шексіз жіңішке диск ос төңірегінде Ω бұрыштық жылдамдықпен айналады. Сыртқы бет тоғының тығыздық векторын анықтау керек.

2.22 Кейбір анизотропты диэлектрик қатысты даэлектрлік өтімділігінің тензорына ие болады. Координаттар декартті жүйесінде ол мына түрде жазылады.

Диэлектрикте бір қалыпты электр өрісі Е = 2,5l_х +1,7l_у + 9,2l_z құрылған.

Электрлік индукция векторын D анықтау керек. Қеңістіктегі Е мен D векторлардың арасындағы бұрыш қаңдай?

2.23 Уақыттың t=0 кезінде ε және σ параметрлері бар бір қалыпты өткізетін ортада ρ_q(х,у,z) зарядтар тығыздығының алғашқы үлестіруі құрылған.

Ортадағы көлемдік зарядтар тығыздығының экспоненциалдық төмендеуі өткізгіштік тоқтар есебінен болатынан көрсету керек:

Ρ(х,у,z,t)=ρ₀ехр[-υt/εε₀].

σ₁ = 10⁷См/м бар типтес металл, және де σ = 10^-3 См/м бар жартылай өткізгіш үшін арналған бұл процесстің релаксация сипатты уақыты деп бағалау керек.

Нұсқау: үздіксіз теңдеуді пайдалану керек.

2.24 5 км аумағы бар нажағайлы қара бұлт жер бетінен 2 км биіктікте орнатылады. Қара бұлтпен жердің арасында барлық нүктелерде бірдей кернеулігі Е = 2·10⁶ В/м бар тұракты электр өрісі пайда болады. Өріс энергиясын бағалау керек.

2.25 Берілген бақылаулар бойынша шарлық найзағайдың диаметрі 20 см және ол көбінесе ұшып бара жатқан мылтық оқтың энергиясынан артык энергияның едәуір қорын ұстайды.

Шарлық найзағайдың тек қана электрлік табиғатқа ие болатын мүмкіншілігі бар ма?

Ауадағы электрлік өріс кернеулігінің шектес мүмкін мәні Е = 30 кВ/см деп санау керек.

2.26 Трансформатордың өзегі массасы 2 кг, тығыздығы 7,7г/см болаттан жасалған. Магниттік индукцияның амплитудалық мәні 2,1 Тл, болаттың қатыстық магнитті өтімділігі μ = 200.

Синусоидалдық тоқпен магнитталған өзектегі қорлық энергияның максималды мәнін табу керек.

2.3 сурет

2.27 Тұракты ЭҚҚ бар (2.3 сурет) көзден конденсатор уақытты t = 0, кезінде зарядталына бастайды.

Көзден конденсаторға энергия берілетін процесстің сапалы суреттеуін жасау керек. Конденсатордың тікелей жанындағы энергия ағынның сызықтары қандай болып көрінеді?

2.28 Координаттар декарттық жүйедегі электрлік өріс кернеулгінің векторы нольден өзгеше жалғыз Е, кұраушыға ие болып отыр.

X өсі бойынша Пойнтинг векторының құраушысы жоқ екенін көрсету керек.

2.29 Кеңістіктің кейбір нүктесінде электрлік өріс кернеулігінің векторы Е=201_у В/м сол кезде Пойнтинг векторы П = 10l_х +30lz Вт/м².

Магниттік өріс кернеулігінің векторын анықтау керек.

2.30 Кеңістіктің белгілеп қойылған нүктесінде өріс векторларының лездік мәндері ,

Н = Н0соз(шІ + ф2)

бұл жерде Н₀ және Е₀ - тұрақты векторлар.

Пойнтинг векторының лездік мәні уақыттың ішіндегі тұрақты орташа мәннен

және уақыттың ішіндегі екі есе жиілікпен өзгерілетін тербелісті бөліктен ,

тұратыны көрсету керек.

2.31 ε = 2,4 өтімділігі бар диэлектрикте кернеулігі Е = 200кВ/м бар тұрақты электр өрісі пайда болған 6 см³ көлемі бар даэлектриктің аймағында электрлік диполь моментін анықтау керек.

2.32 Поляризациялық диэлектриктердің жиілікті касиеттердің феноменологиялық суреттеу кезінде математикалық моделін қолданады. Бұл модел молекулярлық дипольдарды орта айналасының тұтқыр кедергісінің кездескен жорамалды қатты бөлшектерге ұқсастырады.

Екі вектордың (Р және Е) арасындағы байланыс дифференциалдық теңдеумен орнатылады

бұл жерде а-константа; Т - орта релаксацияның уақыты.

Комплекстік абсоллютті диэлектрлік өтімділктің жиілікке тәуелді болғанын шығару керек.

2.33 Алдыңғы есептің жағдайын пайдалана отырып диэлектрлік шығындардың бұрыш тангенсті анықтайтын формуланы шығару керек.

2.34 2.32 есепті мына жағдай үшін шөшу керек

бұл жерде ω₀ - молекулярлық дипольдің өз жиілігі; в - константа. Бұл теңдеу пайда болады, егер диполь моделі ретінде үйкелісі бар осцилляторды қабылдаса.

Диэлектрлік өтімділіктің жорамалды және заттық бөліктерінің жиілікті тәуелдіктерінің графиктерін талдап алу керек.

2.35 Электр өрісінің кернеулік векторының комплекстік амплитудасы

(бұрыштар радиан деп берілген). Тербелістер жиілігі 2 МГц.

Уақыттың 0,1 мкс кезіндегі Е вектордың лездік мәнін табу керек.

2.36 Кеңістіктің кейбір нүктесінде электрмагниттік өріс векторларының комплекстік амплитудалары мына формуламен беріледі

Пойнтинг комплекстік векторын және оның орташа мәнін анықтау керек.

2.37 Уақыт бойыяша кеңістікте заңымен өзгеретін Н векторының Маквеллдің теңдеулерін қанағаттандыратын магнит өрісінің векторы бола алмайтынын көрсетіңіз.

2.38 Магнит өтімділігі кеңістік координатына тәуелді болатын магнит өрісінің кернеулік векторының теңдеуі . Біртексіз ортада Максвеллдің 4-ші тендеуінен шығатынын көрсетіңіз.

2.39 Кандай да бір электрмагниттік процесс, өрістердің барлық декарттық құраушылары тек 2 координатасына тәуелділігімен сиппатталған. Максвеллдің теңдеулерін пайдалана отырып, бұл жағдайда проекцияларының болмайтынын көрсетіңіз.

2.40 Параметрлері ε=3,5 және σ=6,2·10^-1 См/м материалдық ортаның кандай да бір нүктесінде кернеулігінің амплитудасы 15 В/М және жиілігі 600 МГц электр өрісі тудырылған. Кеңістіктің осы нүктесіндегі толық тоқтың тығыздық векторының амплитудалың менін және фазалық ығысуъш табыңыздар.

2.41 Аумағы 5 км² найзағай бұлты жер бетінен 2 км биіктікте орналасқан. Бұлт пен жердің аралығында кернеулігі барлық нүктеде бірдей 2·10⁵ В/м тұрақты электр өрісі пайда болған. Сол өрістің энергиясын бағалаңдар.

2.42 Массасы 2 кг трансформатордың өзекшесінің тығыздығы 7,7 г/см³ кұрыштан жасалған. Өзекшедегі магнит индукциясының амплитудасы 2,1 тл. Егер құрыштың салыстырмалы магнит өтімділігі 200 болса, өзекшеде саұталған энергиянын ең үжен мәнія табыңыз.

2.43 Электр өрісі кернеулік векторының комплекстік амплитудасы (бұрыштары радианда берілген). Тербелу жиілігі 2мГц уақыттың О.Оімкс кезіңдегі векторының лездік мәндерін табыңыз.

2.44 Кеңістіктің қандай да бір нүктесінде электр өрісі кернеулік векторы В/м ясәне Пойнтинг векторы Вт/м² берілген. Егер кені белгілі болса, осы нүктедегі магнит өрісі кернеулік векторын табыңыз.