Распознавание, оценивание и управление в системах со случайной скачкообразной структурой

ББК 32.81 Б94 УДК 517.97 ISBN 5-02-015216-1.

Эта книга является первым научным трудом, в котором систематически излагается прикладная теория оптимальной обработки информации и управления в дискретных нелинейных системах со случайной скачкообразной структурой (ССС). Под ними понимаются наблюдаемые и управляемые в дискретные моменты времени стохастические динамические системы, структура которых имеет конечное число возможных состояний, сменяющих друг друга в случайные моменты времени.

Такие системы могут служить неплохими математическими моделями для различных объектов, процессов и явлений, подверженных резким, внезапным и скрытым изменениям их внутренних свойств и характеристик окружающей среды. С подобного рода явлениями и со связанными с ними проблемами надежности и безопасности часто приходится сталкиваться специалистам по авиации, сбязи, транспорту, медицине, строительству и ряду других областей науки и техники.

Однако прикладная теория анализа систем ССС и синтеза их алгоритмов оценивания и управления находится на ранней стадии развития. Первые книги по системам ССС [62, 63], вышедшие в 1973 г. и 1975 г., принадлежат А.Н.Скляревичу. В них разработана теория анализа линейных непрерывных стационарных систем с нарушениями. Методы анализа и синтеза линейных и нелинейных непрерывных нестационарных систем ССС изложены в научных статьях автора настоящей книги [11—16, 83, 86] и ряда других авторов [24, 26, 29, 67, 77, 80, 82, 87, 88, 90, 92, 93], а также в монографии И.Е.Казакова и В.М.Артемьева [34]. Теория анализа дискретных систем ССС представлена в книге И.Е.Казакова, В.М.Артемьева и В.А.Бухалёва [36]. Методы синтеза алгоритмов фильтрации в дискретных линейных системах с марковской структурой рассматриваются в монографии Ю.П.Гришина, Ю.М.Казаринова [27].

Однако такие важные задачи, как фильтрация и управление в дискретных нелинейных системах ССС, рассматривались до сих пор лишь в немногочисленных научных статьях [17—19, 21, 38, 49, 55, 89], а задачи оптимального сглаживания и игрового управления в этих системах решались только в трех научных статьях автора настоящей книги [20, 22, 23].

Благодаря книгам А.А.Фельдбаума, РЛи, Р.Беллмана, М.Аоки, Дж.Медича, А.Брайсона и Хо Ю Ши, Э.П.Сейджа и Дж.Л.Мелсы, Дж.Саридиса широкий круг читателей смог ознакомиться с рекуррентными оптимальными алгоритмами оценивания и управления в стохастических системах с детерминированной структурой.

Эти алгоритмы основаны на таких фундаментальных понятиях, методах и концепциях, как вектор состояния, марковские свойства, байесовский подход, динамическое программирование, принцип максимума, дуальное управление и дифференциальные игры, которые были разработаны в основополагающих трудах B.C. Пугачёва, Р.Калмана, РЛ.Стратоновича, Р.Беллмана, Л.С.Понтрягина, А.А.Фельдбаума и Р.Айзекса.

В настоящей книге указанные методы применяются к дискретным нелинейным системам со случайной скачкообразной структурой и дается, таким образом, обобщение теории обработки информации и управления на этот класс стохастических динамических систем.

Книга состоит из семи глав. В главе 1 рассматриваются объекты, процессы и явления, характеристики которых изменяются резко, внезапно и скрыто для наблюдателя. Хорошими математическими моделями для них являются системы со случайной скачкообразной структурой. К этому же классу принадлежат и системы наблюдения, состоящие из индикаторов структуры и измерителей фазовых координат.

Затем дается классификация этих систем. Обсуждается одно из ключевых понятий—условно-марковская структура, отражающая статистическую зависимость изменений структуры от фазовых координат. Отмечается, что известные системы с переменной структурой, рассмотренные С.В.Емельяновым в [31], являются частным случаем систем ССС, когда смена состояний структуры детерминированно зависит от случайных координат.

Далее излагаются задачи обработки информации и управления, особенностью которых является одновременное взаимосвязанное распознавание структуры и оценивание фазовых координат, а также совместное управление ими. Обсуждаются основные идеи и концепции, лежащие в основе построения оптимальных и приближенно-оптимальных алгоритмов: марковские свойства вектора состояния, байесовский подход, динамическое программирование, двухмоментная параметрическая аппроксимация законов распределения и упрощение алгоритмов на основе идентификации структуры.

В главе 2 рассматривается задача оптимальной фильтрации, решением которой является система рекуррентных уравнений для совместной апостериорной плотности вероятности структуры и фазовых координат. Исследуются некоторые важные частные случаи: обработка информации, поступающей без запаздывания, линейные системы с марковской структурой, системы с конечным числом состояний. Обсуждается одна из основных особенностей фильтров — многоканальность, обусловленная нахождением условных плотностей вероятностей при фиксированных состояниях структуры.

В главе 3 излагается метод двухмоментной параметрической аппроксимации условных законов распределения структуры и фазовых координат. Рассматриваются известные законы, среди которых выделяется семейство распределений Пирсона как одно из наиболее подходящих для систем ССС. Метод позволяет получить приближенные рекуррентные уравнения для вероятностей состояний структуры и первых двух моментов фазовых координат. Исследуются практически важные частные случаи построения упрощенных алгоритмов, в том числе одноканальные фильтры и дисперсиометры с перестраиваемой структурой. Структура одноканального алгоритма меняется в соответствии с изменением структуры объекта. Обсуждаются вопросы точности и реализуемости алгоритмов в ЦВМ.

В главах 4 и 5 рассматриваются задачи оптимального и приближенно-оптимального сглаживания.

В отличие от традиционного метода инвариантного погружения, применяемого обычно при решении задач сглаживания, здесь используется байесовский подход, который позволяет получить рекуррентные уравнения для совместной сглаженной плотности вероятности, вероятностей состояний структуры и моментов фазовых координат. Уравнения сглаживания включают в себя ранее полученные уравнения фильтрации и решаются при известных граничных условиях.

В главе 6 дается постановка задачи оптимального стохастического управления и ее решение методом динамического программирования. Рассматриваются системы, параметрически-оптимальные по быстродействию. Обсуждаются трудности реализации оптимальных алгоритмов, вызванные необходимостью решения краевой задачи.

В этой же главе рассматриваются способы приближенного упрощения оптимальных алгоритмов с целью их реализации в цифровых управляющих устройствах. В основе этих способов лежат следующие концепции:

1) замена условных плотностей вероятностей условными достаточными статистиками с помощью метода двухмоментной параметрической аппроксимации;

2) переход от стохастической краевой задачи к детерминированной с помощью прогнозирования распределений;

3) избавление от краевой задачи путем нахождения приближенных аналитических зависимостей параметров регулятора от апостериорных вероятностных характеристик.

Даются алгоритмы управления линейными системами с марковской структурой, достаточно просто реализуемые в ЦВМ.

В главе 7 рассматриваются задачи игрового стохастического оптимального управления и способы построения приближенно-оптимальных игровых алгоритмов управления, основанные на тех же концепциях, что и неигровые алгоритмы предыдущей главы.

Состояние системы ССС определяется вектором, включающим в себя фазовые координаты х и индекс структуры s. Теория этих систем объединяет два хорошо разработанных направления теории марковских процессов: теорию конечных марковских цепей и теорию диффузных марковских процессов.

Однако главное содержание новой теории составляет, разумеется, обобщение этих результатов на класс систем ССС с учетом особенностей, которые вносят протекающие в них разрывные случайные процессы.

Возникновение теории систем ССС связано с появлением монографий А.Н.Скляревича [62—651, которым предшествовало несколько научных статей [51, 58, 67, 88]. В [62, 63] разработаны операторные методы анализа линейных стационарных систем ССС, непрерывных во времени.

В 70-х годах были опубликованы научные статьи по анализу непрерывных нелинейных нестационарных систем с марковской случайной структурой [11, 12, 26, 83] и монография В.М.Артемьева [3] по анализу и фильтрации сигналов в этих системах. Методы анализа, фильтрации и управления для непрерывных систем с условно-марковской структурой были разработаны в трудах автора данной книги [11—16, 83]. Систематизация и методическая обработка перечисленных работ дана в монографии И.Е.Казакова и В.М.Артемьева [34].

Следующий этап в развитии теории систем ССС характеризуется разработкой методов анализа и синтеза систем, дискретных во времени. Здесь следует отметить научные статьи по фильтрации [17—19, 38, 49], интерполяции [20, 23], управлению [21, 22, 54, 55, 89, 91J и устойчивости [53] в системах с марковской структурой.

Алгоритмы фильтрации в дискретных линейных системах, с марковской структурой рассматриваются в монографии Ю.П.Гришина и Ю.М.Казаринова [27]. Методам анализа дискретных нелинейных систем отведена значительная часть книги И.Е. Казакова, В.М.Артемьева и В.А. Бухалёва [36]. В ней рассмотрены системы с марковской, условно-марковской и полумарковской случайными структурами, а также системы с переменной структурой. Дана сравнительная оценка алгоритмов, получаемых на основе непрерывных и дискретных математических моделей, и показаны преимущества последних с точки зрения устойчивости при реализации в ЦВМ.

В наиболее общей постановке задачи дискретного распознавания, фильтрации, сглаживания, игрового и неигрового управления решаются в научных статьях [17—23] автора настоящей монографии, где рассматриваются дискретные нелинейные нестационарные системы с условно-марковской случайной структурой, что отражает статистическую взаимосвязь структуры и фазовых координат объекта и позволяет, таким образом, охватить весьма широкую область прикладных задач.

В главе 1 даются некоторые примеры технических объектов, физических явлений и процессов, которые сопровождаются резкими, внезапными и скрытыми для наблюдателя изменениями их структуры.

Важной особенностью математических моделей систем ССС является двойственный характер векторов состояния объекта и наблюдения, одна часть компонент которых континуальна, т.е. принадлежит непрерывному множеству, а другая принадлежит конечному множеству. Это накладывает существенный отпечаток на постановку задач обработки информации и управления. Традиционные задачи фильтрации, сглаживания, идентификации и управления приобретают новые черты: взаимосвязанное одновременное распознавание структуры и оценивание фазовых координат и параметров, совместное управление структурой и фазовыми координатами.

Класс систем, изучаемых в настоящей книге, помимо систем с марковской, полумарковской и условно-марковской структурой, из которых последним уделяется наибольшее внимание, включает в себя такие известные классы, как системы с переменной структурой [31], системы массового обслуживания [5, 25, 39] и системы со случайной постоянной структурой [44, 45].

Теория систем ССС является одним из основных направлений общей теории марковских процессов [5, 47, 56, 57, 68—70, 76, 81]. Поэтому в основу построения рекуррентных алгоритмов положены такие фундаментальные, хорошо зарекомендовавшие себя при синтезе в марковских системах методы, как байесовский подход и динамическое программирование [2, 7—10, 72, 76].

И наконец, одна из важнейших характеристик современных алгоритмов—реализуемость в ЦВМ—определяет выбор метода двухмоментной параметрической аппроксимации в качестве основного способа упрощения уравнений [12—14, 17, 18, 20—22, 36, 83, 86].

С помощью этого метода достигается компромисс между противоречивыми требованиями простоты алгоритмов и их точностью.

№ 5.