Решение простейших тригонометрических уравнений. Секерина Наталья Ефимовна, учитель математики

Урок алгебры и начала анализа в 10 классе по теме:

«Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Решение простейших тригонометрических уравнений».

Секерина Наталья Ефимовна, учитель математики.

Статья отнесена к разделу: преподавание математики.
Цели урока.

Образовательные: ввести понятия арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса;

изучить общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

1. 
   Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности.
   
2. 
   Изучение нового материала.
   
   • 
     учебное исследование;
     
   • 
     обсуждение итогов учебного исследования;
     
   • 
     схематизация материала.
     
3. 
   Рефлексия. Подведение итогов.
   
4. 
   Домашнее задание.
   

1. 
   Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности.
   

Для решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать простейшие тригонометрические уравнения. К ним относятся уравнения вида: , , , . Некоторые представления о решении таких уравнений мы уже имеем. Задача нашего урока состоит в следующем: нам необходимо вывести общие формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

2. 
   Изучение нового материала.
   

Алгоритм работы в группе:

• 
  выбрать руководителя группы; ответственного за понимание и выступающего от группы;
  

• 
  прочитать и осмыслить задание (применяя следующие приемы, организующие понимание: перефразирование, вопросы на понимание);
  
• 
  наметить алгоритм решения;
  
• 
  выполнить задание;
  
• 
  подготовить выступление.
  

Задание 1 группе.

1. 
   Решите графически уравнения: а) ; б) ; в) .
   
2. 
   Для каждого значения параметра a, решите уравнение . Какой, новый математический термин, был введен математиками в связи с решением уравнения вида ? Вспомните соответствующее определение.
   

1. 
   Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:
   

2. 
   Для каждого значения параметра a, решите уравнение .
   

1. 
   Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:
   

2. 
   Для каждого значения параметра a, решите уравнение .
   

1. 
   Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:
   

2. 
   Для каждого значения параметра a, решите уравнение .
   

1. 
   Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:
   

2. 
   Для каждого значения параметра a, решите уравнение .
   

1. 
   Прочитайте в учебнике определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса (стр. 77, 82, 89, 92).
   
2. 
   Представьте общие выводы решений простейших тригонометрических уравнений.
   

(Выступления сопровождается показом слайдов).

1 группа. Решим графически уравнение . Для этого в одной системе координат построим параболу и прямую у = 3. Они пересекаются в двух точках и . Абсциссы точек , , являются корнями уравнения . Аналогично рассуждая, получим, что решением уравнения является x = 0. Уравнение не имеет решений, т.к. нет точек пересечения графиков данных функций.

Вывод: уравнение имеет два корня при а > 0, один корень при а = 0, не имеет решений при а < 0. В связи с решением уравнения вида был математиками введен новый термин «квадратный корень из числа а».

Квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

2 группа. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой 0,5 (она лежит на прямой х. = 0,5). Точка М соответствует числу , а значит, всем числам вида . Точка Р соответствует числу , а, следовательно, и всем числам вида

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение. Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой 0,4 (она лежит на прямой х. = 0,4). Это уравнение имеет два решения, но каких мы не знаем. Наверно, необходим новый математический термин.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Это уравнение не имеет решений, т.к. прямая х. = -2 не пересекает числовую окружность.

Вывод: уравнение имеет две серии решений при , не имеет решений при . Для решения уравнения необходимо ввести новый математический термин.

3 группа. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с ординатой (она лежит на прямой ). Точка М соответствует числу , а значит, всем числам вида

. Точка Р соответствует числу , а, следовательно, и всем числам вида

. В итоге получаем две серии решений уравнения: ; .

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с ординатой - 0,3 (она лежит на прямой у = - 0,3). Это уравнение имеет два решения, но каких мы не знаем. Наверно, необходим новый математический термин.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Это уравнение не имеет решений, т.к. прямая у = 2 не пересекает числовую окружность.

Вывод: уравнение имеет две серии решений при , не имеет решений при . Для решения уравнения необходимо ввести новый математический термин.

4 группа. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . На линии тангенсов отметим число . Прямая ОТ пересекает окружность в двух точках М, Р. Точка М соответствует числу , точка Р соответствует числу . Учитывая периодичность функции y = tgx, можно сказать, что уравнение имеет одну серию решений .

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . На линии тангенсов отметим число 0,4. Прямая ОТ пересекает окружность в двух точках М, Р. Это уравнение имеет одну серию решений, но какую мы не знаем. Наверно, необходим новый математический термин.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . На линии тангенсов отметим число 2. Прямая ОТ пересекает окружность в двух точках М, Р. Это уравнение , но какую мы не знаем. Наверно, необходим новый математический термин.

Вывод: уравнение имеет одну серию решений при любом значении параметра а. Для решения уравнения необходимо ввести новый математический термин.

5 группа (аналогично).

6 группа. Для решения уравнения ввели новый математический термин арккосинус.

Если , то арккосинус а – это такое число из отрезка , косинус которого равен а.

Например, , т.к. , , , т.к. , , , т.к. , .

Если , то уравнение имеет решения .

Если а = -1; 0; 1, то пользуются более простыми формулами:

Если , то уравнение решений не имеет.

Для решения уравнения ввели новый математический термин арксинус.

Если , то арксинус а - это такое число из отрезка , синус которого равен а.

Например, , т.к. , , , т.к. , , , т.к. , .
Если , то уравнение имеет две серии решений . Эти две формулы можно объединить одной формулой. Перепишем эти формулы следующим образом: . Замечаем, что если перед arcsin a стоит знак «плюс», то у числа множителем является четное число 2k. Если же перед arcsin a стоит знак «минус», то у числа множителем является нечетное число 2k + 1. Это наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения : .

Если а = -1; 0; 1, то пользуются более простыми формулами:

Если , то уравнение решений не имеет.

Для решения уравнения ввели новый математический термин арктангенс.

Арктангенс а – это такое число из интервала , тангенс которого равен а.

Например, , т.к. , ; , т.к. , , т.к. , .

Уравнение имеет решения для любого значения а.

(Для решения уравнения выступление аналогичное).
Схематизация материала.

Итак, для решения простейших тригонометрических уравнений, были введены новые математические термины.

Современные обозначения арксинуса и арктангенса появились в 1772 г. в работах венского математика Шерфера и французского ученого Ж.Л.Лагранжа. Приставка «арк» произошла от латинского слова arcus (дуга, лук).

Таким образом, например, символ arccos a включает в себя три части:

arc – дуга, на которую опирается соответствующий центральный угол;

cos – напоминание об исходной функции;

a – число.

Представим определения новых понятий, а также общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений в виде таблиц. Приложение №1. Приложение №2 (показ слайдов).

3. 
   Рефлексия собственной деятельности. Подведение итогов.
   

Что я хотел (а) сделать на уроке?

Что я сделал (а) сегодня на уроке?

4. 
   Домашнее задание.
   

Приложение 1.

Арксинус	Арккосинус	Арктангенс	Арккотангенс

Приложение 2.

sin t = a	cos t = a	tg t = a	ctg t = a
		a - любое
. . .
Решений нет