Решение уравнений в целых числах

(2007 г.) Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + … + х! = у

жүктеу/скачать 0.6 Mb.

бет	11/11
Дата	02.01.2022
өлшемі	0.6 Mb.
	#453840
түрі	Решение

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nazemutdinova Chumachenko Perevalova (1)

(2007 г.) Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + … + х! = у

Решение:

Очевидно, что при х = 1 у = 1 и при х = 3 у = 9, т.е. находим следующие решения:

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3 у
и при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 у . Если же х ≥ 5, то (так как 5! + 6! + … + х! = 10N)

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + … + х! = 33 + 10N – число, оканчивающееся цифрой 3, значит, оно не является квадратом целого числа.

Ответ:

(2008 г.) Решите в целых числах уравнение х – х = 2008.

Решение:
Левая часть уравнения х – х = (х – 1)х(х+1) – произведение трех последовательных целых чисел и делится на 3. Правая же часть не делится на 3.
Уравнение не имеет решений в целых числах.

(2009 г.) Решите в целых числах уравнение (х² ^_ у²) ² = 1 + 16у.

Решение. Очевидно, что для любого значения у найдется два значения х, т.е. решения

уравнения симметричны относительно оси абсцисс. Заметим, что левая часть уравнения ^{всегда есть число отрицательное. Это означает, что 1+ 16у 0; у . Учитывая,}что у - целое, то его наименьшее значение: у = 0. При этом получим значение х = 1, т.е.

(-1;0) и (1;0)-пара решений уравнения. С другой стороны, число 1 + 16у должно быть точным квадратом, т.е. , где z= х²-у²=z. При этом число z>17,

может быть простым числом: (х-у)∙(х+у) = , где х - у = 1 Тогда х = у + 1 и уравнение примет вид:
у + 1 + у =
2у + 1 = , (2у + 1)² = 1 + 16у, 4∙у² - 12у = 0, у∙(у - 3) = 0
Первое решение: у = 0 мы уже учли, тогда второй корень уравнения: у =3, при этом х

=-4, х =4. Допустим, что есть другие решения при │х -у│=k, тогда возможны 2 случая:
1. х-у = k; х = у + k , k²∙(у + k + у)² = 1 + 16у, 4∙k²∙y² + 4∙k³∙у + k⁴ = 1 + 16у, 4∙k²∙y² + (4∙k³ - 16)∙у + (k⁴ - 1) = 0 т.к. k 1, то решение возможно только, если 4∙ k³ - 16 0 или k³ 4.

Это значит, что k <2, т.е. k = 1
2. у - х = k; х = у – k k²∙(y – k + y)² = 1 + 16y, 4∙k²∙y² - 4∙k³∙y + k⁴=1 + 16y, 4∙ k²∙ y² - 4∙(k³ + 4)∙y

⁺^(k4^-^{1) =}⁰^Т.к.^k^1,^то^{решение}^{возможно}^{только, если}^k3^-4,^т.е.^при^любом^k.
Найдем дискриминант уравнения: =4∙(k³ + 4)² + 4∙k²∙(k⁴ - 1) ≥ 0 4∙(k³+4)²+4∙k²∙(k⁴-1) = 4∙(2∙k⁶+8∙k³ + 16 – k²)= 4∙ Это означает, что выражением может быть полным квадратом ( а уравнение может иметь целые решения) только, если 16 - k² = 4², т.е. при k = 0. Итак, уравнение не имеет целых решений, кроме: (-1;0), (1;0), (-4;3), (4;3).
Ответ: (-1;0), (1;0), (-4;3), (4;3).
(2010 г.) Решите в целых числах уравнение 2х² + 5ху + 3у² + 5 х + 8у = 7.
Решение:
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно у.
3у² + (5х + 8)у + (2х – 7 + 5х) = 0

^у⁼⁼
= =
^Пусть^х^{+ 20}^х^{+ 148}⁼^m^,^тогда^х⁺²⁰^х⁺⁽¹⁴⁸^-^m⁾⁼^0;
х = – 10
^Пусть^m^-⁴⁸⁼^k^,^тогда^m^-^k⁼^48;⁽^m^-^k⁾⁽^m⁺^k⁾⁼⁴⁸
Т.к. х и у – целые числа, то m и k– тоже целые числа, (m - k) и (m + k) – тоже целые числа.
Целые множители числа 48: 1 и 48; 2 и 24; 4 и 12; 8 и 6; 16 и 3; -1 и -48;
-2 и -24; -4 и -12; -8 и -6; -16 и -3,
Получаем:
¹⁾⁴⁾⁷⁾¹⁰⁾
2) 5) 8) 11)
³⁾⁶⁾⁹⁾¹²⁾

(Примечание: 1 и 48; 16 и 3; -1 и -48; -16 и -3 не берем, т.к. m и k получаются не целыми числами, а =› и х, и у).

Путем сложения двух равенств в системе получаем:
1) m = 13; k = 11; 2) m = 13; k = - 11; 3) m = 8; k = 4; 4) m = 8; k = - 4;
5) m = 7; k = -1; 6) m = 7; k = 1; 7) m = -13; k = -11; 8) m = -13; k = 11;
9) m = -8; k = -4; 10) m = -8; k = 4; 11) m = -7; k = 1; 12) m = -7; k = -1.

Подставляем:

^Если^m⁼^±13;^k^{= ±11,}^то^{х =}^-10±11,^{=› х =21;}^{х =1}
^Если^m⁼^±7;^k^{= ±1,}^то^{х =}^-10±1,^{=› х =-11;}^{х =-9}
^Если^m⁼^±8;^k^{= ±4,}^то^{х =}^-10±4,^{=› х =-14;}^{х =-6}
Подставляем:

Если х = -21, то у =
^у⁼^Ζ^–^{не удовлетворяет}^{условию;}^у^{== (-21; 14)}^Если^х⁼^1,^то^у⁼^у⁼^;^у⁼^{=0, (1; 0)}^Если^х⁼^-11,^то^у⁼^у⁼^Ζ;^у⁼⁼^{9, (}^-^11;^9).

^Если^х⁼^-^9,^то^у^{= ,}^у⁼^Ζ;^у⁼^=5,^{(-9; 5)}^Если^х⁼^-14,^то^у⁼^,^у^{= ;}^у^{= =9,}^(-14;⁹⁾^Если^х⁼^-6,^то^у⁼^,^у⁼^;^у^{= =5,}^{(-6; 5)}Ответ: (- 21; 14); (1; 0); ( - 11; 9); (-9; 5); (-14; 9); (-6; 5).

Решение уравнений в целых числах из математических олимпиад

Найдите натуральные корни уравнения 19x + 98y = 1999.
Решение.
Из данного уравнения нетрудно выразить x через y:
x = 105 - 5y + (4 - 3y)/19.
Ясно, чтобы x и y принимали целые значения, необходимо выполнение условия 4 - 3y

=19k, или 19k + 3y = 4, где k - целое число. Очевидная пара корней: k = 1 и y = -5 не подходит по условию задачи. Однако ее можно использовать для определения остальных целых корней, для этого из уравнения 19k + 3y = 4 вычтем равенство 19∙1- 3∙5= 0 и получим соотношение
19(1- k) = 3(y + 5). Так как 19 и 3 взаимно просты, то последнее равенство выполняется, если 1- k и y + 5 имеют делители 3 и 19, соответственно, и общий делитель m. Таким образом, выполняются соотношения 1 – k = 3m и y + 5 =19m, которые дают общее решение для k, y и х:
k = 1 - 3m, y = -5 + 19m, x = 105 - 5y + k = 131- 98m,
откуда получаем единственную пару положительных корней x=33, y=14. Ответ: (33;14).
10 класс (1998-1999 гг.)

Решите уравнение с двумя неизвестными x и y в целых числах

x² + y² = x + y + 2.

Решение.
Перепишем исходное уравнение в виде

х² - х - 2 = у - у² , или (х - 2)(х + 1) = у(1 - у).
Так как левая часть может принимать целые значения, начиная с -2 и больше, а правая - с нуля и меньше, то общими возможными случаями являются варианты, когда правая и левая части одновременно принимают значения -2, -1 и 0, что приводит к следующим парам целых корней: (2;0), (2;1), (-1;0), (-1;1), (0;2), (1;2), (0;-1), (1,-1).
Ответ: (2;0), (2;1), (-1;0), (-1;1), (0;2), (1;2), (0;-1), (1,-1).
9 класс (2000-2001 гг.)

Решить в натуральных числах уравнение x² - 3xy + 2y² = 7
Решение.
Представим левую часть уравнения в виде произведения: (x - 2y)(x - y), тогда из правой части следует, что множители могут быть 1 и 7, или -7 и -1, откуда получаются две пары натуральных корней.
Ответ: (13;6) и (6;5).

10 класс (2000-2001 гг.)

Решить уравнение в натуральных числах 2y² - 11xy + 15x² = 13.
Решение.
Представим левую часть уравнения в виде произведения двучленов:
(5x - 2y)(3x - y), которые могут быть равны 1 и 13 с обоими знаками и в разных парных соотношениях, в результате получаются вышеуказанные корни.
Ответ: (11;34) и (25;62).

11 класс (2000-2001 гг.)

Решить уравнение в натуральных числах 2x² + 9y² - 8xy - 3y = 0.
Решение.
Исходное уравнение равносильно (2(x-2y))²+(y-3)²+y²=9.
Так как девятку можно представить в виде суммы квадратов только двумя способами 2² + 2² + 1² и 3² , то первое слагаемое может быть или нулем, или четверкой, что дает две пары указанных корней уравнения. Ответ: (6;3) и (5;2).

9 класс (2004-2005 гг.)

Решите уравнение относительно х и у в натуральных числах:

.
Решение.
Представим правую часть уравнения 2005 через произведение простых делителей 2005=5401. 401 можно записать как сумму двух натуральных квадратов 256, 144 и единицы, что подходит по первому множителю. Для полноты решения необходимо рассмотреть и другие варианты представления правой части как 2005=12005, которые не дают новых решений.

Ответ: (16;12).

10 класс (2004-2005 гг.)

Решите уравнение относительно х, у и z в натуральных числах:

.
Решение.
Представим правую часть уравнения 2005 через произведение простых делителей 2005=5401. 401 можно записать как сумму трёх натуральных квадратов 256, 144 и единицы, что подходит по первому множителю. Для полноты решения необходимо рассмотреть и другие варианты представления правой части как 2005=12005, которые не дают новых решений.
Ответ: (16;12;1)

11 класс (2004-2005 гг.)

Решите уравнение относительно x, y, z в натуральных числах: .

Решение.
Так как 2005=5401, то два знаменателя в левой части уравнения должны быть кратными 5, 401 и другому знаменателю.

Положим y = 5x, z = 401x. Тогда получим уравнение , которое даёт

х=2411.
Ответ: 2411.

9 класс (2005 – 2006 г.г.)

Решите уравнение с двумя неизвестными x и y в целых числах xy=x+y+3.

Решение.
Перепишем исходное уравнение как (х - 1)(у - 1) = 4, откуда следует, что сомножители левой части могут принимать только целые значения: -4, -2, -1, 1, 2, 4, которые приводят к

парам корней: (3;3), (5;2), (2;5), (0;-3), (-3;0), (-1,-1).
Ответ: (3;3), (5;2), (2;5), (0;-3), (-3;0), (-1,-1).

Решите уравнение с двумя неизвестными x и y в целых числах 10x² + 11xy + 3y² = 7.
Решение. Левую часть уравнения можно представить в виде произведения двух сомножителей (5х +3у) и (2х + у), которые могут принимать только целые значения -7, -1, 1, 7, которые приводят к следующим парам целых корней
(-4;9), (14;-21), (4;-9), (-14;21).
Ответ: (-4;9), (14;-21), (4;-9), (-14;21).

Решение уравнений в целых числах из Единого государственного экзамена ((задания С6).

- Решить в целых числах уравнение ху = х + у.

Решение:
Данное уравнение можно записать в виде ху – х – у + 1 = 1, или (х – 1)(у - 1) = 1.

Произведение двух целых чисел равно 1, значит, оба равны +1 или – 1; следовательно, или х – 1 = у – 1 = 1 и х = у =2,

или х – 1 = у – 1 = -1 и х = у = 0.

Ответ: х = 0; у = 0; х = 2; у = 2.

- Решить в целых числах уравнение 6х +5у = 74.

Решение:
Перепишем данное уравнение так: 6х - 24 = 50 - 5у , т.е. 6(х - 4)=5(10 - у ), откуда имеем х - 4 = 5и, 10- у =6v и, следовательно, v=и.

Итак, х = 4 + 5и, т.е. 4 + 5и 0, откуда и - 4/5;
аналогично 10 - у = 6и, т.е. 10 - 6и 0, откуда и 5/3, значит, и = 0 или и = 1. При и = v = 0 получим 10 = у , где у - целое, что неверно.

Пусть и = v = 1, тогда х = 9, у = 4. Ответ:

-Решить в целых числах уравнение 19х + 28у = 729.

Решение:
Так как (18х + 27у ) + ( х + у ) = 729, то х + у делится на 3, ^{поэтому}^х⁼³^и^,^у⁼³^v^и¹⁹^{и +}²⁸^{v =}^81.

Повторяя рассуждения, получим и = 3t, v = 3s и19t + 28s = 9.
Последнее уравнение, очевидно, не имеет решений в целых числах, а значит, и исходное уравнение решений не имеет.
^-^Решить^в^{натуральных}^числах^{уравнение}^х^{+ =}^.Решение:

^Первое^{решение.}^{Разложим}^10/7^в^цепную^дробь:⁼¹⁺^.^Из^{уравнения}^{х+ = получим}^х^{+ =}¹⁺^,

и из единственности разложения рационального числа в цепную дробь следует х=1, у=2,

z=3.
Второе решение. Преобразуем уравнение х + = 1 + . Тогда х - целая, - дробная часть, поэтому
Из второго уравнения следует или у + = 2 + , откуда у = 2, z = 3.
Ответ: х = 1, у = 2, z = 3.

- Решить в натуральных числах уравнение х + y + z = xyz.

Решение:

^Пусть^{х z,}^{тогда х}^{+ у}^{+ z}^3z,^{а так}^как^x⁺^y⁺^z^{= xyz,}^{то xyz}^3z^или^ху^3.Если бы х = у = z, то z = 3z или z = 3, что невозможно при целом z.

Значит, хотя бы два из чисел х, у, z неравные, поэтому ху < 3, т.е. ху = 2, либо ху = 1. Если ху = 2, то х = 1, у = 2, и из исходного уравнения найдем z = 3.

Если бы ху = 1, то х = у = 1, и из исходного уравнения получим 2 + z = z, что невозможно. Из найденного уравнения х = 1, у = 2,z = 3 найдем остальные перестановками.

Ответ: (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3),(2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1).

Решение текстовых задач.

Задача 1.

За 2005 год число книг в фонде библиотеки поселка увеличилось на 0,4%, а за 2006 год – на 0,8%, оставшись при этом меньше 50000. На сколько книг увеличился фонд библиотеки за 2006 год?
Пусть х – число книг в начале 2005 года, тогда в конце 2005 их было 1,004х=²⁵¹ х, а в

250

конце 2006 – 1,008*1,004х=¹²⁶*²⁵¹х. Последнее число целое, а числа 125 и 250 взаимно

125 250

просты с каждым из чисел 126 и 251, следовательно х делится без остатка на 125*250=31250. х<50000, значит х=31250, тогда за 2006 год фонд вырос на:
¹²⁶*²⁵¹х - ²⁵¹ х = 126*251-125*251=251.

125 250 250

Ответ: 251 книга.
Задача 2.
Тринадцать пиратов делят клад золотых монет на палубе шхуны. При попытке разделить клад поровну оказалось, что остается 8 монет. Налетевшим штормом двух пиратов смыло за борт. Когда оставшиеся пираты снова стали делить поровну клад, то лишними оказались 3 золотые монеты. Затем в перестрелке погибли еще 3 пирата. Когда уцелевшие пираты опять стали делить клад, то оказалось, что остается 5 монет. Из какого количества монет состоял клад, если для его переноски достаточно сундука, вмещающего 500 золотых монет?
Пусть S – количество монет в кладе, причем S≤500. k, m, n – число монет при каждом делении. Составим систему уравнений:

𝑆 = 13𝑘 + 8

^{𝑆 = 11𝑚 + 3

𝑆 = 8𝑛 + 5

1) 11m+3=8n+5
8n=11m-2
m=8l+6, l∈Z ⇒S=11m+3=11*(8l+6)+3=88l+69 2) 13k+8=88l+69

13k=88l+61

1. 13k=88l+61=(13*6+10)l+61⇆13k-78l=10l+61⇒13p=10l+61, p∈Z
2. 13p=10l+61⇆10l-10p=3p-61⇒10q=3p-61, q∈Z
3p=10q+61
3. 10q=3p-61⇆3p-9q=q+61⇒3r=q+61, r∈Z q=3r-61

3) 1. 3p=10q+61=10*(3r-61)+61=30r-549 p=10r-183

2. 10l=13p-61=13*(10r-183)-61=130r-2440 l=13r-244

3. S=88l+69=88*(13r-244)+69=1144r-21403

𝑆 = 1144𝑟 − 21403

⁴⁾𝑆 ≤ 500

𝑆 ∈ 𝑍

}⇒S=333.

Ответ: 333 монеты.

Заключение.

При выполнении работы было изучено и проанализировано большое количество научно – популярной и учебной литературы по указанной теме, в том числе и примеры решений уравнений в целых числах из Межрегиональной заочной математической олимпиады для школьников (Всероссийская школа математики и физики «Авангард»), из математических олимпиад Республики Мордовия, из Единого государственного экзамена (задания С6).

Опираясь на информацию, полученную после анализа решения диофантовых уравнениях были сделаны следующие выводы:
-при решении неопределенных уравнений в целых числах применяются свойства, оценка выражений, входящих в уравнение; выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби; метод разложения многочлена на множители, метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение; метод, основанный на выделении полного квадрата; решение уравнений с двумя переменными как квадратных относительно одной из переменных;

к решению неопределенных уравнений в целых числах уравнение вида ax + by = c применяется теория делимости; для линейных уравнений с двумя переменными, т.е. уравнения вида ax+by=c, алгоритм решения существует; при любых взаимно простых коэффициентах при неизвестных уравнение имеет имеет бесконечное множество решений;

диофантовы уравнения встречаются в олимпиадных заданиях, заданиях Единого государственного экзамена развивая логическое мышление, повышая уровень математической культуры, прививая навыки самостоятельной исследовательской работы в математике.

Таким образом, выдвинутая гипотеза исследования - общего способа быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения – нашла свое подтверждение.

Этот материал может быть интересен и полезен учащимся, материал данной работы можно использовать для изучения на элективных занятиях, при подготовке к олимпиадам и к централизованному тестированию, а также для самостоятельного изучения.

Литература.

Г.Н. Берман «Число и наука о нем». ОГИЗ Государственное издательство технико- теоретической литературы, Москва, 1948.

В. В. Ткачук. Математика ─ абитуриенту. Москва, «Теис», 1995 г.

Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах (перевод с древнегреческого И. Н. Веселовского; редакция и комментарии И. Г. Башмаковой).

Москва, «Наука», 1974.

Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005.

Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина.

«Просвещение», Москва, 1991 г.

И.Н. Сергеев, С. Н. Олехник. Примени математику. Москва, «Наука»,1990 г.
М. В. Лурье, Б. И. Александров. Задачи на составление уравнений. Москва, «Наука». 1980 г.
Факультативный курс по математике. Составитель И.Л. Никольская. Москва,

«Просвещение», 1991 г.

Е.Н. Архангельская, С.В. Киреева. Пособие по математике для поступающих в МАДИ. Москва, 2002 г.
Куканов М.А., Богомолова Г.А. Задачи математических олимпиад РМ: Методическое пособие. МО РМ, МРИО. – Саранск, 2007 г.
Ляпин С.Е. и др. Сборник задач по элементарной алгебре. Учебное пособие для студентов физико - математических факультетов педагогических институтов. Москва,

«Просвещение», 1973 г.

Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике: Задачи логического характера: Книга для учащихся 5-11 классов. Москва, «Просвещение», 1996 г.
Панферов В.С., Сергеев И.Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ – Москва: Интеллект – Центр, 2010 г.

жүктеу/скачать 0.6 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Решение уравнений в целых числах

(2007 г.) Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + … + х! = у

(2007 г.) Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + … + х! = у

(2008 г.) Решите в целых числах уравнение х – х = 2008.

(2009 г.) Решите в целых числах уравнение (х2 _ у2) 2 = 1 + 16у.

Решение уравнений в целых числах из математических олимпиад

Решите уравнение с двумя неизвестными x и y в целых числах

x2 + y2 = x + y + 2.

Решите уравнение относительно х и у в натуральных числах:

Решите уравнение относительно х, у и z в натуральных числах:

Решите уравнение относительно x, y, z в натуральных числах: .

Решите уравнение с двумя неизвестными x и y в целых числах xy=x+y+3.

- Решить в целых числах уравнение ху = х + у.

- Решить в целых числах уравнение 6х +5у = 74.

-Решить в целых числах уравнение 19х + 28у = 729.

- Решить в натуральных числах уравнение х + y + z = xyz.

Решение текстовых задач.

Заключение.

Литература.

(2009 г.) Решите в целых числах уравнение (х² ^_ у²) ² = 1 + 16у.

x² + y² = x + y + 2.