Руководство для начинающих Эту книгу я посвящаю моей маме, вместе с которой все и всегда в моей жизни
жүктеу/скачать 2.34 Mb.
|
| Ненормального множества парадокс – противоречие в теории множеств, обнаруженное крупнейшим английским логиком и философом XX века Б. Расселом. Впервые парадокс был сформулирован Расселом в 1902 г. при анализе второго тома «Оснований арифметики» знаменитого немецкого логика Г. Фреге, изложившего фундаментальную теорию множеств. Настоящая теория, призванная служить основанием для всей математики, допускала образование т.н. множества всех множеств, которые не содержат себя. Однако как явствовало из письма Рассела, написанного по этому случаю, подобное множество должно быть внутренне противоречивым. Если разбить все множества на два класса, то нормальным можно считать такое множество, которое не содержит себя в качестве элемента. Например, множество всех книг, которое само не является книгой или множество всех людей, которое само не есть человек. Ненормальное же множество – это множество, которое включается в себя как элемент. Например, – множество всех мыслимых вещей (это множество и само является мыслимой вещью, следовательно, должно быть элементом самого себя, что невозможно, поскольку одна и та же вещь не может быть одновременно и элементом и множеством). Проблема заключается впрочем, в том, что и само понятие нормального множества приводит к противоречию. Например, если есть множество всех «нормальных» множеств, то само оно является либо «нормальным», либо «ненормальным». Если оно «нормально», то получается, что оно содержит себя в качестве своего элемента и потому «ненормально». Если же оно «ненормально», то значит, оно не содержит себя в качестве своего элемента, и потому оно «нормально». Соответственно любое множество всех множеств является невозможным. Указанный парадокс может быть проиллюстрирован множеством разнообразных способов. Самый иллюстративный – «О каталоге всех нормальных каталогов» (Все каталоги разделяются на два вида: «нормальные» – т.е. те, которые не упоминают себя в числе перечисленных и «ненормальные» – те, которые сами включаются в число перечисляемых каталогов. Далее требуется составить каталог всех нормальных каталогов, что приводит к неразрешимой трудности: следует ли при составлении этого последнего упомянуть и его самого? Если да, то вновь созданный каталог окажется «ненормальным» и его нельзя упоминать по условиям задачи, а если нет, то этот каталог является «нормальным» и его следует незамедлительно упомянуть по тем же условиям). Рассел сформулировал еще ряд наглядных парафразов вскрытого им парадокса: парадокс «Брадобрей» (В некоем городе живёт брадобрей и бреет бороды тем, кто не бреет их себе сам. Бреет ли он бороду сам себе?), парадокс «Мэр города» (В некоем городе N должны жить только те мэры, которые не живут в своем собственном городе. Где должен жить мэр города N?) и др. Следует иметь в виду, что самыми ранними версиями П.Н.М. можно считать знаменитые «Парадокс лгущего критянина», сформулированный Эпименидом (VI век до н. э.) («Критянин Эпименид говорит, что все критяне – лжецы») и парадокс «Лжец», приписываемый Евбулиду (VI век до н. э.) («Я лгу»). Очевидно, что в обоих этих случаях суждение будет истинным, если то, что говорится ложно, т.е. если само это предложение ложно. Но оно может быть ложным только тогда, когда то, что говорится не является ложным, т.е. если анализируемое предложение истинно. И таким образом в обоих парадоксах суждение истинно тогда и только тогда, когда оно ложно. Т.е., в общем виде, логическая проблема состоит в том, что предположение о ложности приведенных высказываний ведет к их истинности и наоборот. Отметим, что П.Н.М. занимает особое место в ряду значительного числа прочих семантических, логических и математических парадоксов и апорий. Его можно считать базовым по отношению к некоторым из них и, следовательно, последние неустранимы, пока не разрешен П.Н.М. Поиск возможных решений привел Рассела к созданию знаменитой «теории типов» (аналогично «иерархии языков» Тарского), которая устанавливала, что паpадоксы подобного рода являются pезультатом отсутствия порядковых pазличий между множеством и элементом, что ведет к смещению уpовней pассуждения. Требуется дифференцировать понятия по степени их общности, т.е. pазделять на типы. Рассел разъясняет суть этой теории на примере парадокса «Лжец». «Лжец говорит: "Все, что я утверждаю, ложно". Фактически это утверждение, которое он делает, но оно относится ко всей совокупности его утверждений, и парадокс возникает потому, что данное утверждение включается в эту совокупность». Т.о. утверждение лжеца должно было быть предложением первого порядка, в то время как утверждение о его истинности или ложности – предложением второго порядка. Таким образом, теория типов предлагает такие правила образования суждений, выполнение которых позволяет не допускать появления подобных парадоксов. Суть этих правил сводится к положению о том, что никакое предложение не может ничего говорить о самом себе, а именно об условиях своей истинности или ложности. Т. о. всякая замкнутая система утверждений не может высказываться о себе самой, но требует метаязыкового приращения. Тематизация П.Н.М. оказала значительное влияние на философскую мысль ХХ столетия в связи с анализом статуса философских высказываний. Если метафизика есть такой метаязык, который является конечным набором истин, то процедура ее самоидентификации, а именно способность судить о своей истинности или ложности наталкивается на П.Н.М.
жүктеу/скачать 2.34 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|