Санкт-Петербург 2013

Санкт-Петербургский национальный исследовательский

университет информационных технологий,

механики и оптики

Региональная студенческая

математическая олимпиада

Санкт-Петербурга

2013 г.

В 2000-2013 гг. студенческая олимпиада г. Санкт-Петербурга по математике проводилась Санкт-Петербургским национальным исследовательским университетом информационных технологий, механики и оптики (до 2011 года носившем название Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, СПбГУ ИТМО). В 2013 году каждый вуз мог выставить на олимпиаду одну или две команды по 3 человека (в командный зачет входили все участники команды) и студентов в личный зачет. В личном зачете участвовали все заявленные студенты. Результат вуза в командном зачете определялся по результату лучшей из его команд (если их две).

Олимпиада проводилась в воскресенье 20 октября 2013 года. На решение задач отводилось 4 часа. Пользоваться справочной литературой не разрешалось. Студентам всех групп было предложено 12 задач. Каждая задача оценивалась в 10 баллов.

Председателем жюри был профессор СПбГУ Н.А. Широков. В оргкомитет олимпиады входили: ректор НИУ ИТМО чл.-корр. РАН Васильев В.Н., проф., д.ф.-м.н Попов И.Ю., доц., к.ф.-м.н. Фролов В.М., доц., к.т.н. Блинова И.В.

Составители: проф., д.ф.-м.н. Н.А. Широков, проф., д.ф.-м.н. Попов И.Ю., доц.: к.ф.-м.н. Фролов В.М., к.ф.-м.н. Рыжков А.Е., к.ф.-м.н. Трифанова Е.С., к.т.н. Блинова И.В., ст. преп. Родина Т.В., асс., к.ф.-м.н.: Трифанов А.И., ст. преп. Петтай П.П., асс. Попов А.И.

Задачи студенческой математической олимпиады Санкт-Петербурга

20 октября 2013 года

1. Существует ли непрерывная функция , график которой пересекает каждую невертикальную прямую бесконечное число раз?

2. Дифференцируемые функции линейно независимы. Доказать, что среди производных по крайней мере 2012 линейно независимых функций.

3. - вещественная функция, определенная при всех , кроме и , и удовлетворяющая функциональному уравнению .

Найти все такие .

8.

Значит

Исключая и из этой системы, получим линейную комбинацию , которая обнуляется. Противоречие. Значит

подставим вместо и получим

В (1) подставим вместо и получим:

Складывая (1) и (3) и вычитая (2), находим

то есть если решение есть, оно дается формулой (4). Подставляя функцию (4) в (1), проверяем, что она удовлетворяет уравнению.

Ответ: .

4. Так как параллельные сечения эллипсоида – всегда подобные эллипсы, круговое сечение увеличивается в размере при переходе к параллельному ему, проходящему через центр эллипсоида. Всякая плоскость, проходящая через , дающая круговое сечение, пересекается с плоскостью . Поэтому диаметр кругового сечения должен быть одним из диаметров эллипса (т.е. отрезков, соединяющих точки эллипса и проходящих через его центр) . Значит, радиус круга . Аналогичное рассуждение для плоскости дает: . Значит, . Это и есть искомый радиус. Чтобы показать, что круговое сечение радиуса существует, достаточно взять плоскость : .

5. Замена переменных дает:



.

Но сумма этих интегралов есть . Поэтому каждый из них равен . Предел также равен .

Ее решение:

Подставим в формулу для и получим Решение есть при :

Ответ:

.

Участником олимпиады Бабушкиным М.В. (НИУ ИТМО) было замечено, что при другом порядке применения неравенства Коши-Буняковского оценка получается лучше:

8. Учитывая свойства , имеем:

для любого . Значит,

То есть подходит, обеспечивая даже строгое неравенство для любого . Покажем, что константу нельзя уменьшить. Возьмем семейство последовательностей с , определенную следующим образом: , , Очевидно, эта последовательность строго монотонно убывающая для любого такого и сумма ее равна 1. Заметим, что:

Поэтому для любого найдется такое, что требуемое неравенство нарушается для Значит, минимальное значение есть 1.

Для любого

Так как , должно быть выполнено: для всех Следовательно, . Поскольку , имеем:

10. Если , то или . Пусть - непостоянный полином. Тогда . Действительно, , допустим, Тогда , где и Из данного условия получаем:

или что невозможно, так как

С другой стороны, если для некоторого , то , что влечет .

Действительно, если , то , то есть мы можем последовательно получить бесконечное число различных корней полинома , что невозможно.

Заметим, что старший коэффициент полинома равен 1, что следует из заданного соотношения. Так как по теореме Виета ( - все корни ), то имеем: . Из и получаем . Это значит, что . Ясно, что Легко проверить, что:

.

Значит Ответ:

11. Пусть . Тогда при :

Значит .