Раздел 2. Математика и естествознание как объект рефлексии

Творцами эмпирической истории являются учёные, рефлексирующие о предмете своих научных интересов, анализирующих историю его исследования и оценивающих индивидуальный вклад. В зависимости от интересов и направленности рефлексии, учёный выбирает одну из возможных программ исследования истории науки, в наибольшей степени соответствующей его целям и задачам. С некоторой степенью условности можно выделить внутритеоретическую, внутридисциплинарную и методологическую рефлексию.

Внутритеоретическая рефлексия упорядочивает собственное теоретизирование учёного, что предполагает метаязыковое самоописание, приведение своего дискурса в соответствие с нормами и принципами референтного сообщества и внутренними требованиями логико-теоретической системности. На этом этапе исследователи описывают историю понятий, методов, алгоритмов и проблем или научные биографии создателей этих понятий и методов. Такие исследования не имеют самостоятельного дисциплинарного значения, в жанровом плане – это части диссертационных исследований, мемуаров и монографий, посвящённых специально-научным проблемам, введения и комментарии к изданию научных трудов и журнальных статей.

Внутридисциплинарная рефлексия направлена на изменение научного дискурса в соответствии с решаемыми научными проблемами, на изменение границ и концептуального поля научной дисциплины, на переосмысление фундаментальных принципов научной школы или направления. Исследователь здесь ориентирован на тематический анализ, изучение истории научных школ, рассмотрение истории научных инноваций как микро-революций и описание дисциплинарной истории науки. Эти исследования приобретают самостоятельное значение. Они представляют собой в жанровой принадлежности не только введения и статьи, но очерки и отдельные монографические исследования.

Методологическая дисциплинарная саморефлексия, в зависимости от целей, может иметь разную направленность: дидактическую (представление в учебном курсе истории дисциплины как целостного феномена); идентификационную (оценка состояния дисциплины и описание своей концепции в историческом контексте и традиции) и эвристически-преобразовательную (принципиальное преобразование дисциплины, создание её нового образа или выбора нового пути её развития). Она определяет выбор исследовательских программ  тематического анализа, историю идей, дисциплинарную историю науки или проблемную историю науки.

В связи с тем, что история науки имеет идентифицирующее и ориентирующее значение, исследователям не всегда удаётся избежать множественных искушений: осовременивать прошлое, в ретроспекции подменяя его истинный контекст интересующими исследователя интеллектуальными событиями; использование вымысла и воображения для реконструкции целостного образа прошлого. Прошлое научной дисциплины рассматривается не только как совокупность открытий и исторических персонажей – примеров поведения в дисциплинарном сообществе, но и как источник современного состояния дел, что приводит к модернизации и искажению картины прошлого, присущего презентистской методологии. Историк науки не может избежать предрасположенности, так как он собирает и истолковывает факты, явно или неявно опираясь некоторую теорию. Даже если он не фальсифицирует факты, то заинтересованно отбирает материал, что может приводить к искажению картины. На позицию историка науки влияет «жизненный мир» его времени и его принадлежность к дисциплинарному сообществу, задающие систему морально-ценностных предпочтений исследователя, личные мировоззренческие и доктринальные убеждения исследователя.

С современной точки зрения, вклад С.Я. Румовского в астрономию не так уж велик. Он не стал оригинальным учёным первой величины. Тем не менее, сделанное им имеет основательный характер и составляет необходимую часть накопительной работы, без которой невозможно развитие науки. В течение 30 лет Румовский издавал ежегодный академический астрономический календарь и наблюдал за учреждённым при Академии географическим департаментом. В 1761 г. он был командирован в Селенгинск для наблюдений прохождения Венеры, а в 1769 г. − с той же целью в Колу. Во время путешествий Румовский определил географическое положение многих мест и в 1786 г. напечатал первый каталог астрономических пунктов в России.

В области математики он решил задачу об определении кривой, лежащей в основании конуса данной высоты, имеющего при данном объеме наименьшую боковую поверхность. В 1760 г. он издал книгу «Сокращенная математика, часть первая, начальные основания арифметики, геометрии и тригонометрии». В условиях отсутствия отечественной математической литературы его книга приобретает особое значение.

Будучи просвещённым человеком и имея многосторонние увлечения и интересы, Румовский внёс вклад в отечественную филологию − известен его ставший классическим перевод «Тацитовых летописей» (1806−1808). Он был одним из главных участников в составлении первоначального плана издания российской Академией этимологического словаря, и самого словаря. По мнению историка М.И. Сухомлинова, высказанном во втором томе «Истории Российской Академии», С.Я. Румовский возвышался над общим уровнем филологических и литературных понятий своего времени научной основательностью соображений и требований. Его отличало понимание необходимости обращаться к истории языка, он привлекал примеры из старинных памятников, и для объяснения свойств и корней русского языка указывал на родственные ему славянские.

Основные научные труды С.Я. Румовского: «Рассуждение о началах и приращении оптики» (СПб., 1764), «О суточном обращении Земли» (СПб., 1783), «Сокращенная математика» (СПб., 1760), а также статьи в «Собеседнике российского слова» и в «Новых ежемесячных сочинениях». Он перевёл «Эйлеровы физические письма» (СПб., 1768−1774) и несколько частей «Естественной истории Бюффона» (1789).
Выступление С.Я. Румовского на собрании Академии наук
Речь С.Я. Румовского на собрании Академии наук 2 июля 1763 года является наглядным примером эмпирической истории. В ней он показал себя оригинально и глубоко мыслящим историком науки, выступающим против сложившихся ошибочных стереотипов.

Свои рассуждения об истории оптики С.Я. Румовский начинает с описания её генезиса и вклада великих учёных в её формирование:

Румовский упоминает об Александрийском мусейоне: «Училище, которое в Александрии процветало, достопамятно в рассуждении всех Наук, но особенно в рассуждении Математических.

Румовский сожалеет о потере работы Архимеда по оптике, полагая, что его вклад должен был быть существенен. Но он выражает сомнение в возможности, на уровне развития технологий античной Греции, построения зеркал, по легенде сжегших Римский флот:

Румовский описывает, как семнадцатом веке Афанасий Кирхер в Сиракузах вымерял сколь далеко корабли могли отстоять от городских стен – и нашел что около 150 фунтов. Афанасий предположил, что через сложение действий многих плоских зеркал, отражающих солнечные лучи, можно возжечь дерево. Но, поставив эксперимент, успеха не имел. Далее, Румовский упоминает, что якобы Бюффон доказал экспериментально возможность такого зеркала. Он взял «400 небольших плоских зеркал, которыми солнечные лучи совокуплены будучи в одно место жар произвело, что в расстоянии 190 футов олово и свинец растоплялся – а дерево в пепел обращаемо было» [С.4].

Размышляя о причинах, почему со второго века нашей эры об оптике Птолемея учёные находят только упоминание, он высказывает предположение, что большинство работ по оптике были утрачены при разорении Александрийской библиотеки: «Хотя и сие сочинение до наших времен не сохранено, однако же места другими авторами из оного приводимые; а особливо Оптика Аравитянина Алгацена, которая как учёные доказывают вся составлена из Птолемеевой, показывают достоинства сочинения Птолемеева. Рассуждая об оптике Алгаценовой должно думать, что в птолемеевы уже времена Тефиа Катоптрика приведена была в довольное совершенство, но Физическая Оптика весьма была недостаточна. Что касается до свойства преломления лучей, откуда Диоптрика начала свое получила, больше того не знали, как что лучи проходят из одного прозрачного тела в другое, прямо, но преломивщись другим путём простираются. Аггацен, о котором когда жил заподлинно неизвестно, и после его Роджер Бакон, в третьем на десять веку после РХ, покушались найти правило, по которому лучи преломляются, но без успеху. В сочинениях их находим между прочим, о фокусах или зажигательных точках стеклянных шаров; о видимом сквозь оные величин вещей, о цветах, но всё не основательно. Таково было состояние Оптики, даже до шестаго на десять веку» [С.5].

«Упоминая о Роджере Баконе не можно умолчать, что ему приписывают многие изобретения зрительных труб, утверждаясь на том, что Бакон в одном месте говорит: зрение через преломление лучей совершающееся больше кажность в себе содержит; ибо удобно из выше сего предложенных правил видно, что большия вещи могут казаться малыми и далеко отстоять от близких…

Не можно прикословить, что сии слова могут подать повод думать, будто бы Бакону известны зрительная труба, и многие Англичане стараясь честь сего изобретения приписать Англии, за подлинно утверждают, что Роджер Бакон был первой оным изобретателем. Напротив того иностранцы, и сам Шмит будучи Англичанин, вникая беспристрастно в сии слова, в Оптике своей доказывает, что Бакон не только о зрительных трубах, ниже о действии стекол, из которых ныне трубы составляются не имел прямого понятия» [С.6].

Дойдя до времени Роджера Бекона, Румовский отмечает мифы, связаные с его персоной и техническую невозможность в изобретении линз в тот период. Причиной приписывания историками науки того или иного открытия, по мнению Румовского, лежит в борьбе за национальный приоритет: «С большей вероятностью можно было бы приписать Бакону изобретение выпуклистых и вогнутых стекол, из которых ныне трубы составляют, потому что они без сомнения в третьем надесять веке стали быть известны. Но он рассуждая о стеклах сферических, говорит, ежели сквозь стекло с одной стороны выпуклистое, а с другой плоское посмотришь на какое-нибудь тело, то оное, особливо ежели будет малая часть сферы, в большом виде казаться будет. Потом присовокупляет, что и кусок стекла с обоих сторон плоской тоже самое действие произвести может. Из сего …. заключают, что Бакон недостаточной своей Теории никогда не приводил в действо.

Румовский отмечает, что еще у Плиния упоминаются стеклянные шары, Плутарх писал, что «Вестальские девицы при помощи хрустального шара возжигали огонь». Но в реальность этого он не верит. «Первые неложные следы выпуклистых стекол находим в Италии около третьего надесять веку. Реди, в письме к Паплу Фальконгеру приводит из рукописного Летописца следующие слова: Брат Александр, который жил в третьем на десять веку, муж честной простодушной что не слышал и не видел, сам умел делать: очки, который человек зделал, а художества своего сообщить не хотел, он сам зделал и с великой охотой сообщил свету, Реди же в библиотеке своей имел книгу в 1299 году писанную, в которой следующие примечания достойные слова находятся. Я от старости нахожусь в таком состоянии, что не мог бы ни читать, ни писать без стекол очками называемыми» [С.8].

Румовский отмечает странность того, что прошло так много времени от изобретения сферических стекол до появления первых телескопов: «Имея искусство делать такие стекла, казалось бы, что скоро после сего времени должно было следовать изобретение зрительных труб, ибо к сложению оных ничего более не требовалось, как расположить два стекла в надлежащем одно от другой расстоянии. Как сие не легко кажется, однако же сложение зрительных труб до исходу пятого надесять века было неизвестно. Между тем временем Мавралико и Бабтисто Порта старались изъяснить, каким образом в глазе человеческом совершается, и весьма близко к истине находились. Мавролико показал, к чему служит в глазе человеческом на хрусталь похожее и с обоих сторон выпуклистое тело, а Порта уподобил глаз темной коморе, в которую сквозь выпуклистое стекло лучи входят, и противо отверстия, в которое стекло вставливается, находящиеся вне тела, толь живо на противолежащей белой стене изображение кажутся, как будто мы на них сами глядели. Оставалось только уподобить помянутую стену чувствительной внутренной глазу перепонке; но сие оставлено было до начала седьмого надесять веку. Кеплер собирал предков своих изобретения, и к оным свои привоскупляя наконец открыл сие таинство» [С.9].

Подходя к истории оптики, зафиксированной в печатных текстах, соответствующих времени изобретения и публикации, Румовский видит все меньше противоречий между созданной историей и возможностью её реальности. Он описывает вклад Декарта, Виллебре де Снеллия, Якова Григория, Эйлера, Г. Либеркина. В заключении он патетически восклицает: «Здесь показывается пример, сколь трудно натура с тайностями своими разлучается. Самые великие люди, бывшие её любимцами, для коих она сокровенного не имела, наконец принуждены были останавливаться молчать со удивлением. Что нынешнему веку отказано, то может быть предоставлено нашим потомкам» [С.25].

Рассуждения С.Я. Румовского интересны как свидетельство восемнадцатого века об истории оптики. Они также иллюстрируют сомнения, возникающие из несоответствия известного технико-технологического уровня возможным изобретениям, а также осознаваемые противоречия написанной истории науки известным закономерностями её развития.
Работа поддерживалась грантами РГНФ № 11-13-73003а/В и № 10-03-00540.


Д.Н. Букин
Математическое знание как объект онтологии

Обзор ведущих философских течений, каждое из которых отстаивает собственную точку зрения на математическую реальность и способы ее описания, позволяет сделать вывод о том, что конфликт между ними так или иначе касается «онтологии, то есть, вопросов о том, что существует»¹. Действительно, уже на заре становления философского знания математика играет существенную роль в развитии онтологии как учения о сущем как таковом, занимающегося вещами не в силу того, что они обладают некими предзаданными свойствами и отношениями, а в силу того, что они есть (пифагорейцы, Платон и др.).

В настоящее время от ответа на вопросы «как существует математический объект?» и «существует ли он вообще?» во многом зависит развитие многих научных направлений и расширение возможностей рационального познания в целом. В рамках философии математики развивается особая дисциплина – онтология математики, предмет которой характеризуется предельной всеобщностью и связан с наиболее глубокой формой рефлексии над основаниями математики. Другим важным моментом данного предельного вида философского знания является абстрактность объектов математики, по определению подразумевающая их «выводимость» из других реальных объектов путем отвлечения от ряда несущественных свойств последних. Данное обстоятельство, в свою очередь, напрямую затрагивает проблему первоначал, традиционно составляющую предмет метафизики в ее классическом понимании. Эти и другие аспекты проблемы существования математических объектов, стоящей перед современной онтологией, могут быть сформулированы в ряде следующих пунктов:

1. Постановка основного вопроса онтологии математики.

2. Разрешение проблемы первоначала бытия математического объекта как некой инвариантной, внеисторической основы.

3. Выяснение закономерностей исторического развития математического знания.

На этих трех пунктах мы и остановимся.

1. Основной вопрос онтологии математики не должен отождествляться с вопросом о статусе математического объекта, поскольку последний в любом случае сводится к вопросу о необходимости бытия такого объекта. Г. Гутнер отмечает: «Наверное, каждая философская система попыталась определить свое отношение к математике и выяснить, как именно существуют и существуют ли вообще ее предметы»¹. На наш взгляд, разведение вопросов «как существует?» и «существует ли?» носит в онтологии принципиальный характер, и потому в первую очередь следует не вопрошать о том, как существует математический объект, а обосновывать т, что он в принципе существует. Это, в свою очередь, порождает относительно самостоятельную проблему оснований математического знания, к обсуждению которой мы вернемся ниже.

2. Следующий важнейший аспект сугубо онтологической проблемы существования математического объекта может быть сформулирован так: каковы первоначала математической действительности? Трактуемый традиционно как чисто метафизический, данный вопрос на самом деле связан с более глобальной темой проведения водораздела между метафизикой и онтологией, явившегося переломной вехой в истории последней и ознаменовавшего появление в конце XIX – начале XX века множества так называемых «новых онтологий». О.А. Назарова пишет: ««Новые онтологии»… отклоняют претензии учения о бытии на статус первоосновы других наук… Онтология, таким образом, пытается говорить о сущем лишь как о реально существующем, о том, что есть «на самом деле», о том, что можно познать рационально и с очевидностью. В этом смысле в зависимости от того, что понимается под реально существующим, можно говорить об онтологии субъективности, об онтологии сознания, об онтологии языка и т.п.»². Другими словами, учению о бытии в его новом прочтении противопоставляется не что иное, как метафизика в ее классическом понимании, а именно - учение о первопричинах феноменального мира, об Абсолютном, то есть о том, чего не существует реально. Тогда закономерно возникает вопрос: а возможна ли в таком случае онтология математики и насколько «реальна» математика и ее объекты? Что вообще следует понимать под «реально существующим на самом деле»? Как убедительно показывает Г.Д. Левин, не существует «никаких отличий термина «реальность» от термина «бытие», кроме лингвистических»³. Избежать в этом случае стилистического абсурда можно только в случае апелляции к разделению понятий бытия и сущего (в наиболее последовательной форме реализованному М. Хайдеггером). Однако методологическая ценность такого разделения весьма сомнительна, поскольку и «бытие», и «сущее» обозначают носитель признака «быть», «существовать».

В то же время, отождествление реальности с «действительностью» как определенным (наряду с «необходимостью» и «возможностью») модусом бытия также приводит к бессмыслице. Так, рассмотрение онтологии возможного оказалось бы под запретом только из-за очевидного противоречия между «тем, что есть» и «тем, что может быть». Возможно, это корректно с точки зрения этимологии (realis с позднелатинского означает «действительный»), но совершенно непригодно с точки зрения модальной логики. Даже если принять во внимание возможность совпадения модусов действительного и возможного в некоей идеальной сущности (в разное время над этим размышляли Фома Аквинский, Николай Кузанский, Гегель и др.), мы неминуемо возвратимся к противоположности «новой онтологии» - метафизике. Кроме того, в предметную область метафизики также попадут если не все, то, по крайней мере, многие «нереальные» и «неочевидные» математические объекты (такие, например, как актуальная бесконечность, экстремум, предел функции и т.п.). Другими словами, описанное разведение онтологии (точнее, многих онтологий) и метафизики с неизбежностью приводит к совершенно недопустимому, на наш взгляд, дроблению самого предмета философии математики с последующей локализацией ее «частных» вопросов и потерей целостной картины исследования.

С нашей точки зрения, подобного «приумножения сущностей сверх необходимости» вполне можно избежать, не выходя за рамки формальной логики и традиционного языка философских категорий. Онтология, уже согласно этимологии этого слова, является учением о «сущем» (которое, как показано выше, вовсе не обязательно противопоставлять понятию «бытие») и призвана изучать «всеобщие структуры и закономерности развития вещей и процессов как таковых (или самой по себе объектности любого рода)»¹. В таком случае не онтологические учения должны признаваться частью метафизики, а, напротив, те метафизические теории бытия, которые признают возможность познания Абсолютного первоначала всего сущего, должны органически включаться в общую онтологическую картину мира.

Примечательно, что сама по себе идея «преодоления метафизики» далеко не нова и имеет довольно солидную историю. Этой теме посвящен ряд работ Канта и его последователей В. Шуппе и Й. Ремке, а также отдельные труды Ницше, Гуссерля, Хайдеггера, Н. Гартмана и т.д. Однако, несмотря на столь обширный вклад классиков в изучение данной проблемы, открытым остается вечный «краеугольный» вопрос онтологии о порождающей причине. Мы согласны с В.Н. Сагатовским: «Ни Ницше, ни Хайдеггер, ни их последователи не сумели расстаться с порождающей моделью онтологии. Ни замена сущего на бытие, ни пребывающего на становление не решают этой проблемы. Пока что мы имеем дело, все же, не с «постметафизической» философией, но с «неклассической метафизикой». Конец метафизики настанет только тогда, когда онтология откажется от порождающих моделей и поиска начала в бесконечности (хоть вечного, хоть становящегося)…»¹. В самом деле, поиск мифической «порождающей причины» наличного бытия можно сравнить в терминах математики с попыткой записать последний член бесконечного числового ряда, апеллируя к доступности расчета суммы последнего. Нам представляется тупиковым путь выведения бесконечного сущего из конечного наличного бытия, поскольку, на наш взгляд, искать конечное в бесконечности можно лишь как некий онтологический момент последней – данность или явленную определенность.

Таким образом, мы отказываемся от causa finalis не как от начала вообще, а как от требования признать во что бы то ни стало всеобщую «диктатуру» порождающего безусловного finalis. В самом деле, является ли вообще возможным ответ на вопрос: что явилось причиной появления первого математического объекта – материальное производство или априорная способность сознания строить умозрительные конструкции? В пользу обеих точек зрения приводится множество доводов со стороны философов, математиков и даже психологов. Понятие начала в онтологии вовсе не обязано носить характер порождающей причины – оно вполне может соответствовать некоему отправному пункту, «фундаменту» и интерпретироваться как основание. В этом случае реальность мира может быть принята как «самоочевидная и самоудостоверяющая», «первичная по отношению к имманентной субъективности»². При этом указанные «первичность» и «самость» отражают не «генетическое» превосходство объективного над субъективным, а интуитивно схватываемую со-бытийность субъекта и объекта, смыслом которой является фиксация первым того факта, что второй «есть», т.е. наличествует, пребывает. Следовательно, устранение «порождающего раздвоения» не только не отменяет, но и «упрочивает» фиксацию в «снятом» виде по сути своей диалектической (а не метафизической) субъектно-объектной оппозиции. Однако следует учитывать, что конструктивная субъективная деятельность сознания способна «порождать» не любые, а вполне определенные рациональные взаимосвязи элементов, заданных на многообразии, но все же обладающих атрибутом всеобщности. Применительно к объектам любой природы (в том числе математическим), всеобщность предполагает повторяющееся, закономерное, т.е. такую онтологически инвариантную основу, которая позволяет отличать объективное общее от уникальности единичного субъективного. В этом отношении показателен пример из истории математики, предлагаемый А.В. Чусовым: «До возникновения чистой теоретической математики еще не было такой сущности, как число, инвариантное по отношению к конкретным задачам. Даже существенно развившаяся греческая математика еще демонстрирует качественные различия между числами в виде чисел «треугольных», «квадратных», и так далее»¹. Другими словами, до определенного исторического этапа развития своего математического мышления человек оперирует не числом как всеобщим объектом, а некоей интуицией единичного «проточисла», для характеристики которого больше подойдет понятие «величина».

Всякое современное рассуждение о существовании математического объекта непреложно приводит к сведению его к определенному классу объектов, то есть фиксации его «максимально» мыслимой всеобщности как всеобщности в рамках формально-логического понимания универсума. При этом речь идет не о том, как образуется математический объект, а о том, как он возможен (неотменим) в случае положительного ответа на основной вопрос онтологии математики (см. выше). Полагаем, что данный вывод имеет решающее значение в выборе методологии онтолого-математического исследования, поскольку требует изначально зафиксировать «то всеобщее, что будет характерно для исследуемого нами предмета на всех этапах его развития, начиная с момента зарождения и обретения своей самости по отношению к другому»². Это означает, что самому бытию должны быть имманентны некие инвариантные структуры или принципы, которые и определяют строение математического объекта, его вид, взаимосвязь с другими объектами и т.п. Так, согласно современной философско-математической концепции праксеологического априоризма, математика «в своих основаниях покоится на абсолютных представлениях, отражающих универсальные требования к объектам реальности с точки зрения человеческой деятельности»³. В.Б. Губин также отмечает: «Принципы деятельности… едины для всего живого, не зависят от конкретного мира, в котором находится субъект. По этой причине и математика – сама по себе – в разных мирах одна и та же…»⁴. При этом реальность математического объекта, то есть то, что с необходимостью существует, становится доступным нашему сознанию посредством всеобщих философских (прежде всего онтологических) категорий бытия, сущего, объекта, количества, меры, отношения и т.п. Указывая на внеисторичность категориальных представлений, обусловленных не содержанием знания, а целевыми установками мышления, В.Я. Перминов пишет: «Система очевидностей, лежащих в основе исходных математических понятий, является частью категориальных и логических очевидностей или в определенном смысле производна от них»⁵.

Вместе с тем, нельзя отрицать, что математика, изначально заявившая о своей исключительности и даже божественности (пифагорейцы), к настоящему времени обладает не только собственным языком, методологией и логикой развития, но и, в отличие от многих других наук, многовековой историей. Выявлению закономерностей развития математического знания как составной части предмета онтологии математики посвящено дальнейшее изложение.

3. В настоящем пункте мы попытаемся показать, что с онтологических позиций история развития математического знания есть прежде всего история кризисов оснований математики.

А.С. Нариньяни справедливо заметил: «Если присмотреться к истории математики, то она представляет собой цепь концептуальных потрясений и качественных перемен… без которых в принципе невозможно развитие никакой подлинной науки»¹. На наш взгляд, в то время как философия науки с «внешних» (в терминологии А.Г. Барабашева) позиций исследует процесс преодоления математикой различных трудностей, не вмешиваясь в логику её развития, именно онтология отвечает на любые «вызовы», сопряжённые с невозможностью представить мир во всём его многообразии и изменчивости. Только она способна, продуцируя «метазнание» о фундаментальных основаниях кризиса, определить его границы и критерии разрешения. Принимая данный тезис за основу дальнейших рассуждений, мы получаем возможность проследить историю возникновения кризисов в математике как серию «разрывов», возникающих в онтологической рефлексии над основаниями непрерывно развивающегося математического знания. Ниже мы продемонстрируем это на примере конкретных кризисов, под каждым из которых будем понимать состояние, при котором существующие средства достижения целей математики становятся неадекватными, в результате чего возникают противоречия, требующие разрешения методами философии.

Итак, как известно, первый в истории математики кризис связан с открытием пифагорейским союзом неких «мистических» иррациональностей, которые невозможно было соотнести ни друг с другом, ни с привычными натуральными числами, более не исчерпывающими весь ряд чисел. Это был серьёзный удар по метафизической теории античного финитизма, спровоцировавший появление внутри математики как ряда конфликтов (так, например, геометрия оказалась несводимой к алгебре), так и способов их разрешения. Примечательно, что если математики Евдокс, Евклид, Архимед занялись разработкой конкретных научных методов (в частности, так называемого «метода исчерпания»), то философы Анаксагор, Зенон, Платон и Аристотель сосредоточили своё внимание на категориальной проработке проблемы внезапно образовавшегося «онтологического вакуума», препятствующего дальнейшему построению системы математического знания. Платон, например, проводит важное разделение понятий и логических категорий как универсальных смысловых «матриц», что значительно расширяет методологию рационального, в том силе и математического познания. Однако особо здесь стоит отметить заслуги Аристотеля, не просто осуществившего логико-грамматичес­кую концептуализацию философских категорий, но и впервые в истории науки построившего их целостную систему, в рамках которой стало возможным исследование противоречий в теории и объективной реальности, соотношения умозрительных доводов и частнонаучных положений и т.д. И, несмотря на то, что дальнейший анализ категорий не прекратился и после Стагирита (Плотин, Боэций, средневековые схоласты, Николай Кузанский и т.д.), следующую революционную веху в истории их систематизации откроют только представители немецкой классической философии – Кант и Гегель. На наш взгляд, именно гений Аристотеля существенно отдалил следующее потрясение основ математической науки, постигшее её по прошествии более чем двадцати столетий.

Рассуждая подобным образом, мы приходим к выводу о том, что наступление следующего, четвёртого кризиса – не такая уж отдалённая перспектива. Отчасти это подтверждается самыми последними философскими исследованиями отдельных областей математики. Так, А.С. Нариньяни напрямую заявляет о кризисном состоянии современной вычислительной математики: «Вычислительная математика пока решает те задачи, которые может, а отнюдь не те, решение которых от неё требуется… Очевидно, что в данном случае требуется радикальное изменение самой базовой концепции вычислительной математики»¹. При этом автор убедительно показывает, что суть данной проблемы заключается в преобладании в структуре «математики расчетов» алгоритмической концепции, отвечающей на вопрос «как» в ущерб методологии моделирования, отвечающей на вопрос «что». «Разрывы», речь о которых шла выше, могут оказаться ещё более грандиозными, если не принять во внимание тот факт, что онтология XXI века сама переживает кризисное состояние и нуждается в обретении единых концептуальных оснований, методологии, языка и т.д.

Итак, в настоящей работе мы попытались наметить контуры проблемного поля онтологии математики. Подходя с критической точки зрения к метафизической традиции раздвоения действительности на явленный и сверхчувственный миры, мы пришли к выводу о том, что в основании бытия математического объекта лежит изоморфизм категориальных структур мышления и онтологически обусловленной человеческой деятельности. В своем развитии математика переживает кризисные состояния, имеющие выраженную онтологическую природу, поскольку их сутью является прежде всего неспособность описывать объекты, факт бытия или становления которых выходит за рамки привычных на данный момент представлений о мире. Выход из таких состояний необходимо искать не столько в совершенствовании методов самой математики, сколько в обновлении и расширении когнитивных средств онтологии.