Секция: алгебра Жетекшісі

№ 1 мектеп-гимназиясы

Ибраева ГЇлжазира Зейнулла›ызы

8 cынып

2010 жыл

Кіріспе

осыдан

ДифференциялдыЈ геометриялы› ма“ынасын 1-суреттен аны› кйрінеді: м±нда df=AB ,1тЇзуі-графикке жЇргізілген жанама.

Дифференциялды› есептеуде ›абылдан“ан терминология туралы ЩЈгімені шек жЩне шексіз аз ±“ымдары толы›тыра тЇседі.Шек туралы тйменде айтылады.Шзірге мынаны ескертеміз,мысалы,туынды барлы› н±с›ауларда шек ретінде аны›талады.Жо“арыда ›абылдан“ан Δх→() жа“дайда → ѓ'(х )

болады( g(x≠0)жЩне ( f(x)± g(x)=A+B

7

XVII “асыр математиктерініЈ Їраны мынадай бол“ан: «Ал“а ›арай ›оз“ала беріЈдер,ал нЩтижелердіЈ д±рысты“ына сенім йзінен-йзі келеді». Шынында да,КошидіЈ “ылыми еЈбектерінен кейін XIX “асырда анализ бастамаларына логикалы› негіздеме берді,бас›а математиктер одан Щрі дамытты.

Сййтіп,функциясы І аралы“ында аны›талсын.Егер Є I Їшін

8

.Материялды› нЇктеніЈ ›оз“алысы жо“арыда айтыл“андай f(t)функциясы ар›ылы бейнеленген болсын.Егер f( ) туындысы бар болса,онда сол туынды материялды› нЇктеніЈ мезгіліндегі жыдамды“ы деп аталады. ТуындыныЈ аны›тамасын шекті белгілейтін символдарды ›олданып,былай жазу“а болады:

СоЈ“ы екі аны›тамада Δx =x- ,Δy=f(x)- f( )немесе Δx =( +Δх)- ,Δf( )=Δy f( +Δх)- f( ) белгілеулері ›олданыл“ан. Δx x- = h сандары функцияныЈ аргументініЈ немесе тЩуелсіз айнымалыныЈ йсімшесі деп аталады. ТуындыныЈ аны›тамасында“ы ›атынас ма“ынасыныЈ жо“алтпауы Їшін,» йсімшесі (аны›ты› Їшін »-ты алды›)нйлден йзге болуы ›ажет.Біра› б±л жа“дайдыЈ аны›тамада“ы шекке зияны болмайды,ййткені шектіЈ таЈбасынан кейін т±р“ан

φ(h)= йрнегі сол йсімшеніЈ функциясы ретінде ›арастырылып, φ(h) шегініЈ йзі йсімше нйлге ±мтыл“анда алынады. Шрине,» йсімшесі оЈ да,теріс те бола алады,тек ›ана +h саны функциясыныЈ аны›талу жиынынан шы“ып кетпеуі керек. f(x)- f( )= f( +h)- f( )f( +Δх)- f( )=Δy cандарын функцияныЈ йсімшесі дейді. Сйзбен - аны›тамалары былай айтылады:егер функцияныЈ йсімшесініЈ йзініЈ пайда болуына себепші бол“ан тЩуелсіз айнымалыныЈ йсімшесіне ›атынасыныЈ соЈ“ы йсімше нйлге ±мтыл“анда на›ты мЩнді шегі бар болса,онда функция дифференциалданады деп,сол шектіЈ мЩні функцияныЈ туындысы деп аталады. Біз кйбінесе туындыныЈ аны›тамасыныЈ ал“аш›ы екі тЇрін пайдаланамыз.

9

ТуындыныЈ мынадай белгілері бар: Г.Лейбниц: , немесе (1675ж. берілген), Ж.Лагранж: f( ) немесе у (1770ж. берілген), О.Коши: Df( )немесе Dy (1800ж. берілген).

2.1.ФункцияныЈ туындысы Жалпы білім беретін о›у ба“дарламасы бойынша о›ытылатын еЈ бірінші «ФункцияныЈ йсімшесі» та›ырыбы беріледі.М±нда «аргумент йсімшесі» жЩне «функция йсімшесі» деген ±“ымдар пайдаланылады.ОлардыЈ ма“ынасы былай тЇсіндіріледі: х ›андай да бір белгіленіп алын“ан нЇктесініЈ маЈайында жат›ан еркін алын“ан нЇкте.x- айырмасын тЩуелсіз айнымалыныЈ нЇктесідегі йсімшесі (немесе аргументтік йсімшесі)деп атайды да,Δx деп белгілейді. м±нда“ы: Δx =x- б±дан: x= +Δx АргументтіЈ бастап›ы мЩні Δx йсімше алды деп те атайды. ОсыныЈ салдарынан функциясыныЈ мЩні f(x)- f( )= f( +Δx)- f( ) шамасына йзгереді. Б±л айырма нЇктесіндегі Δx йсімшесіне сЩйкес f функциясыныЈ йсімшесі деп аталады жЩне Δf символымен белгіленеді,я“ни аны›тама бойынша Δf= f( +Δx)- f( ) (1.1) Б±дан f(x)= f( +Δx)= f( )+Δf М±нда“ы Δf йсімшесі Δx–тіЈ функциясы Мысал: 1

Егер f(x)= , =2 жЩне x=1.9 бол“анда нЇктесіндегі Δx жЩне Δf йсімшелерін табайы›. Δx= x- =1.9-2=-0.1, Δf=f(1.9)-f(2)= - =-0.39 ФункцияныЈ йсімшесінен кейін, «Туынды туралы ±“ым»та›ырыбы йтіледі.

10

М±нда 1.Функция графигіне жЇргізілген жанама туралы ±“ым 2.љоз“алыстыЈ лездік жылдамды“ы туралы есептер беріледі. Содан кейін туынды“а аны›тама беріледі.Ол мына т±рде беріледі: Δx нйлге ±мтыл“анда _(1.2) айырмалы› ›атынас ±мтылатын сан f функциясыныЈ нЇктесіндегі туындысы деп аталады. f функциясыныЈ нЇктесіндегі туындысы ( ) деп белгіленеді. Мысал.2. f(x)= функциясыныЈ нЇктесіндегі і туындысын табайы›. Жо“арыда айтыл“ан схема бойынша ж±мыс істейміз. 1)Δf=( +Δx) - = Δx+3 (Δx) + (Δx) 2) Δx+3 (Δx) (Δx≠0) 3) ›осыл“ыштары т±ра›ты екенін бай›аймыз,ал Δx→0 жа“дайда 3 Δx→0 жЩне (Δx) →0,дeмек, 3 Δx+ (Δx) →0.Сонда Δx→0 жа“дайда . Сонымен,туынды та›ырыбын йткенде б±л сыныптарда «±мтылады» деген ±“ым пайдаланылады,біра› шек ±“ымы ᱓ан дейін ›арастырылма“ан.Б±л та›ырыптардан кейін «ФункцияныЈ Їзіліссіздігі мен шекке кйшу туралы ±“ым» та›ырыбы беріледі.М±нда ›оз“алыстыЈ лездік жылдамды“ы турады есеп ›арастырылады. ν (Δt)=ν -gt -g функциясы Δt=0 бол“анда аны›талма“ан.Біра› L= ν -gt саны Їшін│Δt│ азай“анда ν (Δt)-L айырмасы нйлге жуы›тайды. Сол себепті де біз Δt→0 жа“дайда ν (Δt)=ν -gt деп жазды›. Жалпы былай айтады:егер│Δx│ кемігенде f(x)-L айырмасы мейлінше аз,я“ни │ f(x)-L │кез келген белгілеп кйрсетілген h φ 0 санынан кем болып шы›са,онда х 11

саны –ге ±мтыл“анда,f функциясы L санына ±мтылады. x- oрнына,Щрине Δx→0 деп жазу“а болады. f функциясы L функциясы бойынша L санын табу шекке кйшу деп аталады. Тймендегі негізгі екі жа“дайда шекке кйшумен кездесеміз. 1-жа“дай,б±л айырмалы› ›атынасында шекке кйш,я“ни туындыны табу.Б±л жа“даймен біз таныспыз. 2-жа“дай,функцияныЈ Їзіліссіздігі ±“ымымен байланысты.Егер x→x жа“дайда f(x)→f(x ) болса, онда б±л функцияны x нЇктесінде Їзіліссіз деп атайды.М±нда f(x)-L=f(x)-f(x )=Δx.│Δx│аз бол“андa│Δf│те аз болатын,я“ни x нЇктесіндегі аргументтіЈ аз йзгерулеріне функция мЩндерініЈ де аз йзгерулері сЩйкес келетіні шы“ады. ®зіліссіздік пен шекке кйшудіЈ аны›тамаларынан 3 ереже беріледі: 1-ереже:Егер f функциясы x нЇктесінде Їзіліссіз болса,онда Δx→0 кезде Δf→0 2-ереже:Егер f функциясы x нЇктесінде туындысы бар болса,онда Δx→0 кезде →f''(x ) 3-ереже: x→x кезде f(x)→A g(x)→B болсын A) f(x)+ g(x)→A+B Б) f(x) g(x)→AB В) → ®зіліссіз функциялар f жЩне g Їшін

A= f( ),B=g( ) ЖЩне б±л ережелер нЇктесінде Їзіліссіз функциялардыЈ ›осындысы,кйбейтіндісі жЩне бйліндісі де нЇктесінде Їзіліссіз болады(дербес жа“дайда g( )≠0 )дегенді білдіреді. Шекке кйшу ережелері функциялардыЈ Їзіліссіздігін дЩлелдегенде жЩне дифференциалдау формулаларын ›орытып шы“ар“ан кезде кеЈ пайдаланылады,біра› шек ±“ымы берілмеген. Туындыларды есептеу ережелері былай беріледі: 1-ереже:Егер u жЩне ν функциялары нЇктесінде дифференциалданатын болса,онда 12

олардыЈ ›осындысы да сол нЇктеде дифференциалданады жЩне (u+ν)'=u'+ν' 2-ереже:Егер u жЩне ν функциялары нЇктесінде дифференциалданатын болса,онда олардыЈ кйбейтіндісі де сол нЇктеде дифференциалданады жЩне (uν)'=u'ν+uν'̀ (1.3) Салдар:Егер u(x) функциясы нЇктесінде дифференциалданатын, ал С т±ра›ты болса,oнда Cu функциясы дда сол нЇктеде дифференциалданады жЩне (Cu)'=Cu ̀ (1.4) љыс›аша былай делінеді:т±ра›ты кйбейткішті туынды таЈбасыныЈ алдына шы“ару“а болады. 3-ереже: Егер u жЩне ν функциялары нЇктесінде дифференциалданатын болса жЩне ν функциясы сол нЇктеде нйлге теЈ болмаса,онда бйліндісі де сол нЇктеде дифференциалданады жЩне '= (1.5) ДЩрежелік функцияныЈ туындысы.ДЩрежелік x функциясыныЈ,м±нда“ы n– еркін алын“ан 1–ден арты› натурал сан,туындысын есептеуге арнал“ан формула мынадай: (x )'=nx (1.6) Б±л ережелер дЩлелдеулермен беріледі.Осы ережелерді ›олдану ар›ылы функциялардыЈ туындылары табылады.

«КЇрделі функцияныЈ туындысы»та›ырыбын йткен кезде,алдымен кЇрделі функция туралы тЇсінік мысал ар›ылы беріліп тЇсіндіріледі. Мысал z=h(x)= формуласымен берілген.h функциясыныЈ х-тіЈ берілген мЩні бойынша сЩйкес z мЩнін есептеп шы“ару ›ажет болсын. Ол Їшін біз еЈ алдымен х-тіЈ берілген мЩні бойынша y=f(x)=1-x мЩнін,сонан соЈ у бойынша z=g(y)= мЩнін есептеп шы“арамыз. Сййтіп f функциясы х-ті у–ке ауыстырады,ал g функциясы y–ті z–ке ауыстырады. h-g мен f функцияларынан ›±рал“ан кЇрделі функция делінеді жЩне былай жазылады:

13

14

15

ν (Δt)= (1.12) Δt π 0 бол“анда да (1) формула тура:орын ауыстыру x(t )-x(t + Δt)=-Δx ,ал уа›ыт аралы“ыныЈ ±за›ты“ы - Δt–“а теЈ. Шдетте ›оз“алыстыЈ сипаты мынадай болып келеді.Δt аз бол“анда орташа жылдамды› іс жЇзінде йзгермейді,я“ни ›оз“алысты бір ›алыпты ›оз“алыс деп сеніммен айту“а болады.Бас›аша айт›анда, Δt→0 жа“дайда орташа жылдамды›тыЈ мЩні ›андай да бір толы› аны›тал“ан мЩнге ±мтылады,ол мЩнді сол нЇктеніЈ t уа›ыт мезетіндегі лездік жылдамды“ы ν(t ) деп атайды.Сййтіп, Δt→0 бол“анда, ν (Δt)= →ν(t ) Ал туындыныЈ аны›тамасы бойынша Δt→0 бол“анда →x`(t ) Сонды›тан лездік жылдамды› ν(t) кез келген дифференциалданатын функция x(t) Їшін “ана аны›тал“ан жЩне ν(t)=x`(t) (1.13) љыс›аша былай делінеді:координаттыЈ уа›ыт бойынша алын“ан туындысы - жылдамды›. Лездік жылдамды› оЈ да, теріс те мЩндерді,Щрине,0 мЩнін де ›абылдай алады.Егер жылдамды› ›андай да бір (t ; t ) уа›ыт аралы“ында оЈ болса,онда нЇкте оЈ ба“ытпен ›оз“алады,я“ни уа›ыт йтумен байланысты координат артады,ал егер ν(t) теріс болса,онда x(t) координаты кемиді. љоз“алыс Їдеуін де осылайша аны›тайды.НЇктеніЈ ›оз“алыс жылдамды“ы дегеніміз – t уа›ыттыЈ функциясы. Ал б±л функцияныЈ туындысы ›оз“алыс Їдеуі деп аталады: a=ν`(t) љыс›аша былай делінеді:жылдамды›тыЈ уа›ыт бойынша алын“ан туындысы –Їдеу. 2.3.Функцияларды зерттеуге туындыны ›олдану. Б±л тарауда «ФункцияныЈ йсуініЈ (кемуініЈ)белгісі»,«ФункцияныЈ кризистік нЇктелері,максимумдары мен минимумдары», «Функцияларды зерттеуге туындыны ›олдану мысалдары», «ФункцияныЈ еЈ Їлкен жЩне еЈ кіші мЩндері»та›ырыптары ›арастырылады.

Енді осы та›ырыптар“а жеке-жеке то›талайы›. 1. ФункцияныЈ йсуініЈ (кемуініЈ)белгісі. Функцияны зерттеудіЈ негізгі міндеттерініЈ бірі оныЈ йсетінін жЩне кемитін аралы›тарын табу.М±ндай зерттеуді туындыныЈ кймегімен жЇргізу оЈай. Б±л жерде функцияныЈ йсуініЈ жеткілікті белгісі жЩне кемуініЈ жеткілікті белгісі беріледі. ФункцияныЈ йсуініЈ жеткілікті белгісі.Егер І интервалыныЈ Щрбір нЇктесінде f``(x)>0 болса,онда f функциясы І интервалында йседі. ФункцияныЈ кемуініЈ жеткілікті белгісі. Егер І интервалыныЈ Щрбір нЇктесінде f``(x)<0 болса,онда f функциясы І интервалында кемиді. ФункцияныЈ кризистік нЇктелері, максимумдары мен минимумдары. Біз f``(x)>0 жЩне f``(x)<0 бол“анда функцияныЈ ›алай йзгеретініЈ ›арастырамыз. ФункцияныЈ туындысы нйлге теЈ немесе туындысы жо› болатын аны›талу облысыныЈ ішкі нЇктелері сол функцияныЈ кризистік нЇктелері деп аталады. ФункцияныЈ графигін сал“анда б±л нЇктелер маЈызды рйл ат›арады,ййткені тек сол нЇктелерт “ана функцияныЈ экстремум нЇктелері бола алады. (3-4 - суреттер).СЩйкес пікірді т±жырымдаймыз – оны Ферма теоремасы(француз математигі Пьер ФерманыЈ ›±рметіне)деп атайды. ЭкстремумныЈ ›ажетті белгісі.Егер нЇктесі f функциясыныЈ экстремум нЇктесі болса жЩне осы нЇктеде f`` туындысы бар болса ,ол нйлге теЈ болады: Кейде 4–суреттегідей болмайтын х,х нЇктелерде де функцияныЈ экстремумы болуы мЇмкін. ФункцияныЈ максимумыныЈ белгісі.Егер f функциясы нЇктесінде Їзіліссіз болса жЩне (a; )интервалында f``(x)>0 ал( ;В ) интервалында f``(x)<0 болса ,онда нЇктесі f функциясыныЈ максимум нЇктесі болып табылады.Б±л белгініЈ ы›шам тЇрдегі т±жырымдамасын пайдалан“ан ыЈ“айлы:егер нЇктесінде туынды таЈбасын плюстен минус›а йзгертетін болса,онда максимум нЇктесі болады. ФункцияныЈ минимумыныЈ белгісі.Егер f функциясы x нЇктесінде Їзіліссіз болса жЩне (a; )интервалында f``(x)<0 ал ( ;В) интервалында f``(x)>0 онда нЇктесі f функциясыныЈ минимум нЇктесі болып табылады. Б±л белгініЈ ы›шам тЇрдегі т±жырымдамасын пайдалан“ан ыЈ“айлы:егер нЇктесінде туынды таЈбасын минустан плюс›а йзгертетін болса,онда минимум нЇктесі болады. Функцияларды зерттеуге туындыны ›олдану мысалдары. ФункцияныЈ графигін салуды оны зерттеуден баста“ан д±рыс,берілген функцияны зерттеу Їшін:

1.ОныЈ аны›талу облысын табады;

2.f функциясы ж±п па,Щлде та› па,периодты ма,соны аны›тайды;

3.ГрафиктіЈ координат осьтерімен ›иылысу нЇктелерін;

4.ТаЈба т±ра›тылы› аралы›тарын;

5.исетін жЩне кемитін аралы›тарын;

6.Экстремум нЇктелерін жЩне f функциясыныЈ сол нЇктелердегі мЩндерін табады

7. «ерекше» нЇктелердіЈ жЩне модулі бойынша Їлкени х-тіЈ маЈайында функцияныЈ ›алай йзгеретінін зерттейді.Осындай зерттеуге сЇйеніп,функцияныЈ графигін салады. ФункциялардыЈ йсетінін(кемитінін)жЩне экстремум бар-жо“ын зерттеуді туындыныЈ кймегімен жЇргізген ыЈ“айлы.Ол Їшін еЈ алдымен f функциясыныЈ туындысын оныЈ кризистік нЇктелерін тауып алып,сонан соЈ олардыЈ ›айсысы экстремум нЇктелері болып табылатынын ай›ындайды. ФункциялардыЈ еЈ Їлкен жЩне еЈ кіші мЩндері. Кйптеген практикалы› есептерді шешу кйбінесе кесінді де Їзіліссіз функцияныЈ еЈ Їлкен жЩне еЈ кіші мЩндерін табу“а келтіреді.Анализ курстарында [a;В] кесіндісінде Їзіліссіз f функциясыныЈ сол кесіндіде еЈ Їлкен жЩне еЈ кіші мЩндерін ›абылдайтын нЇктелері бар бол“анды“ын та“айындайтын Вейерштрасс теоремасы дЩлелденеді. Кесіндіде саны шектеулі кризистік нЇктелері жЩне кесіндініЈ ±штарында“ы мЩндерін есептеп,шы››ан сандардыЈ ішінен еЈ Їлкен жЩне еЈ кішісін таЈдап алу керек. 2.4.Кйрсеткіштік жЩне логарифмдік функцияныЈ туындысы «Кйрсеткіштік функцияныЈ туындысы»та›ырыбы йтіледі.М±нда алдымен е саны туралы тЇсінік беріледі. y=e кйрсеткіштік функцияныЈ 0 нЇктесіндегі туындысы бірден теЈ болатындай бір сан табылады,ол сан 2–ден арты› та,3-тен кем(б±л санды е Щрпімен белгілейді),я“ни

x→0 жа“дайда 1 e=2.718281284459045… e функциясыныЈ экспонента деп жиі атайды. Теорема 1.(│2│). Кйрсеткіштік е-функциясы аны›талу облысы Щрбір нЇктесінде дифференциалданады жЩне (e )`=e (1.15) б±л теорема дЩлелдеуімен беріледі. Мысал:1. y=e функциясыныЈ туындысын табайы›. (e )`= e (5x)`=5e Oсы теоремадан кейін мынандай аны›тама беріледі.

Аны›тама.(│2│).е негізі бойынша алын“ан логарифмді натурал логарифм деп атайды. In x=log x (1.16) Логарифмдік негізгі тепе-теЈдік бойынша кез келген оЈ а саны Їшін e =a сонды›тан кез келген кйрсеткіштік функцияны мына тЇрде жазу“а болады a =(e )= e Теорема2.(│2│). a - функциясы йзініЈ аны›талу облысыныЈ Щрбір х нЇктесінде дифференциалданады жЩне (a )`= a In a (1.17) Салдар. Кйрсеткіштік a –функциясы йзініЈ аны›талу облысыныЈ Щрбір нЇктесінде Їзіліссіз болады: x→ жа“дайда a → a Мысал 2. y=2 жЩне y=5 функциясыныЈ туындысын табайы› (4)формула бойынша (2 )`=2 In 2 (5 )`=-3‡5 In5 Логарифмдік функцияныЈ туындысы Аны›талу облысынан алын“ан кез келген х Їшін логарифмдік функцияныЈ туындысы In`x= (1.18) Формуласынана табылып дЩлелденеді.Б±л формула x= e теЈдігін дифферциалдау ар›ылы дЩлелденеді. Мысал 3. y=log 2x функциясыныЈ тyындысын табайы› (log 2x)`= ( )`= = ДЩрежелік функция. ДЩрежелік функция жЩне оныЈ туындысы. Аны›тама.(│2│).f(x)=x формуласымен кйрсетілген функция дЩрежелік функция деп аталады.ЖЩне оныЈ туындысы мына тЇрде болады: (x )`=ax (1.19) Б±л формула x= e бол“анды›тан, x =e кЇрделі функциясыныЈ туындысын есептеу ережесі бойынша дЩлелденеді. ДЩрежелік функцияныЈ мЩндерін есептеу Їшін мынандай жуы› формула ›орытып шы“арыл“ан:

(1+Δx) ≈1+ά‡Δx (1.20) АлдыЈ“ы та›ырыпта“ы жуы› формуладан мынау шы“ады f(x)=(1+Δx) ≈1+ά‡Δх Кйп жа“дайда б±л формуланы тЇбірлерді есептеу Їшін ›олданылады. a= болса, мынадай формула шы“ады. (1+Δx) ≈1+ (1.21) Мысал 4. (2.22)формуланы пайдаланып жуы› мЩнді есептейік (1+0.08) ≈1+ ‡8=1.02 Б±л тарауда“ы соЈ“ы екі та›ырып «Кйрсеткіштік жЩне логарифмдік функциялардыЈ йсуін жЩне кемуін дифферциалды› есептеулер ар›ылы зерттеу» жЩне «Кйрсеткіштік жЩне логарифмдік функциялардыЈ берілген аралы›та еЈ Їлкен жЩне ЩЈ кіші мЩндерін табу»мысал тЇрінде ›арастырылады. Мысал:5 f(x)=x ‡Inx функциясын йсетіні,кемитіні,экстермуммы бар-жо›ты“ын зерттеп жЩне оныЈ графигін салу керек. Функция x φ 0 мЩндерінде аны›тал“ан.Осы функцияныЈ туындысын табайы›. f`` (x)=2xInx+ x =2xIn + x=2x(Inx+ ). Ал x φ 0 бол“анды›тан туынды таЈбасы(Inx+ ) таЈбасымен дЩл келеді.Осыдан ( ;∞) аралы“ында f``(x) φ 0 болатынды“ы шы“ады,сонды›тан [ ;∞) аралы“ында

20

функция йседі (0; ) аралы“ында туынды теріс,сонды›тан f функциясы (0; )

Осы “ылыми жобаны жазу барысында мен математикада“ы дифферциалды› есептеулер элементтері бойынша функцияларды туынды ар›ылы зерттеуді, негізгі туынды табу формулаларын Їйрендім.Белгілі бір ±“ымдарды жан-жа›ты меЈгеру Їшін кйп іздендім,тиімді Щдістерді ›арастырып,білімді тереЈдетуге йз бетіммен ж±мыс істеуге да“дыланыдым. «МатематиканыЈ йз тілі бар – ол формула»деп С.В.Ковалевская айт›андай жо“арыда келтірілген,пайданыл“ан формулалар,есептер шы“аруда ›иыншылы›тардан мЇдірмей йтуге кймектеседі.

Шдебиеттер.

1.Н.Темір“алиев «Математикалы› анализ».Алматы т. 1 Мектеп 2.А.Н.Колмоногоров ,А.М.Абрамов «Алгебра мен анализ бастамалары».Алматы.Рауан.1992. 3.Н.Я.Виленкин,О.С. Ивашев-Мусатов,С.И.Шварцбурд «Алгебра и математический анализ».Москва.Просвешение.1983. 4. Н.Я.Виленкин,О.С. Ивашев-Мусатов,С.И.Шварцбурд «Алгебра и математический анализ».Москва.Просвешение.2000. 5.Е.С.Кочетков, Е.С.Кочеткова «Алгебра жЩне элементар функциялар».Алматы.Мектеп.1973. 6.Н.Темір“алиев. «Дифферциалданатын элементар функциялардыЈ туындыларын есептеуді Їнемі жЩне тез ЇйретудіЈ Щдістемесі»//И.Ф.М.6.2000.Б.67-40. 7.О.А.ЖЩутіков «Математикалы› анализ курсы».Алматы,љаза›тыЈ мемлекеттік о›у-педагогика баспасы.»1959. 8.Х.И.Ибрашев,Ш.Ерке“±лов «Математикалы› анализ курсы».Алматы.т.1 1963,т.1970. 9.Б.Т.Тйлегенов «Бір айнымалы функциялардыЈ дифферциялды› есептеуі».Алматы.1969. 10.Б.Т.Тйлегенов «Математикалы› анализдер лекциялар курсы».1-бйлім.Алматы.1973.