Семей 2014 Мазмұны

Сонымен пси- функцияның өзі емес, оның _ модулінің квадраты немесе _ тікелей физикалық мағынаға ие. Осыған қарамастан кванттық теорияда тәжірибеде бақыланатын _ емес, _ – функция пайдаланылды. Бұл микробөлшектердің толқындық қасиеттерін интерференция мен дифракцияны – түсіндіру үшін қажет. Мұндағы жағдай толқындық теорияда қандай болса, дәл сондай болады. Толқындық теорияда толқындық өрістердің интенсивтіктерінің суперпозиция принципі қабылданады. Бұл теорияға интерференция және дифракция құбылыстарын ендіруге мүмкіндік береді.

Осыған ұқсас кванттық теорияда негізгі постулаттардың бір ретінде пси – функцияның суперпозиция принципі қабылданылады. Егер қандай бір жүйеде _және _ күйлері мүмкін болса, онда ол үшін мынадай күй де мүмкін болады.

_ (4.4)
мұндағы _ және _ қайсыбір тұрақты коэффициенттер. Осындай _ – ді тауып, бұдан кейін жүйенің осы күйде _ болу ықтималдығының тығыздығын да анықтауға болады.

Суперпозиция принципі тікелей тексеруге келмейді, өйткені толқындық функция тәжірибе өлшенбейді, оның модулінің квадратын ғана өлшеуге болады. Күйлердің суперпозиция принципінің дұрыстығы бұдан туындайтын салдардан тәжірибемен сәйкес келуімен расталады.

Классикалық механикада күш және өріс әсерінен қозғалатын бөлшектің координаттары мен импульстарының бұрынғы және болашақ мәндерін қозғалыс теңдеуі арқылы бірмәнді анықтауға болады. Ал микробөлшектер үшін бұл әдіс қолдануға келмейді.

Сонда бөлшек қозғалысын бейнелеу үшін _ толқындық функция пайдаланылады. Ендігі негізгі мәселе _ толқындық функцияның кеңістіктегі және уақыт бойынша өзгерісін бейнелейтін жалпы заңды, немесе толқындық өрістің қозғалыс заңын тағайындау болып табылады.

Зат бөлшектерінің толқындық қасиеттері жайындағы де Бройль идеясын дамыта келе, австрия физигі Э. Шредингер (1887-1961) өзінің атақты теңдеуін ұсынды (1926ж.). Осы теңдеу әр түрлі күш өрістерінде қозғалатын бөлшектің толқындық функцияларын табуға мүмкіндік береді. Шредингер теңдеуі былай жазылады:









Шредингер теңдеуі қорытылып шығарылмайды. Оны бастапқы негізгі ұйғарым деп қарастыру керек. Шредингер теңдеуінің дұрыстығы теория нәтижелерінің эксперимент деректерімен толық үйлесуімен, және де практикада қолданыс тапқан, мысалы, мазерлерде, лазерлерде, жартылай өткізгішті қондырғыларда және т.т. көптеген болжауларымен расталады.

_ – функцияның өзі негізінде бақыланайды. Стационарлық күйлерде ол мына түрге келеді:





мұндағы _ – функция уақытқа тәуелді емес.

_ – функцияның осылай өрнектелгенде ықтималдық тығыздығы тұрақты болып табылады. Шынында да
_ (4.7)
яғни ықтималдық тығыздығы уақытқа тәуелді емес.

Стационарлық күйлердегі _ - функцияны табу үшін (4.6) өрнекті (4.5) теңдеуіне қоямыз, сонда мына теңдеу шығады:



аталады. (4.5) теңдеуін Шредингердің жалпы теңдеуі дейді.

Бүдан былай тек (4.8) теңдеуімен істес боламыз жэне ол мына түрде жазылады:
_ (4.9)
Шредингер теңдеуі берілген күйдің толкындык функңиясын табуға, демек кеңістіктің әр түрлі нүктелерінде бөлшектің болу ыктималдығын аныктауға мүмкіндік береді.

Квантталу. Бордың теориясында квантталу жасанды түрде ендірілген болса, Шредингер теориясында ол өзінен-өзі шыгады. Сонда (4.9) теңдеуінің шешімдері ішінен физикалық мағынаға табиғи немесе үлгі (стандарт) шарттарды канағаттандыратын шешімдері ғана ие болатынын ескеру жеткілікті болады. Осы шарттарға сәйкес барлык кеңістікте _(_)-функңия шектелген, бір мэнді, үздіксіз болуы тиіс. Бүл дифференңиалдык теңдеудің ізделіп отырған шешіміне койылатын әдеттегі математикалык талаптар болып табылады.

Осы шарттарды канағаттандыратын шешімдер Е энергияның кейбір мэндерінде ғана мүмкін болады екен. Бүларды меншікті мэндер деп, ал энергияның осы мэндерінде (4.9) теңдеуінің шешімдері болып табылатын _(_)-функциялары E-нің меншікті мэндеріне сай меншікті функциялар деп аталады. Квантталудың табиғи жэне жалпы принципі осы.

Я-энергияның меншікті мэндері тиісті стационарлык күйлерге сай энергияның мүмкін мәндері ретінде кабылданады. E-энергияның осы мәндері дискретті немесе үздіксіз энергетикалық спектр түзіп дискретті (квантталған) немесе үздіксіз болуы мүмкін.

Осы теңдеуді түжырымдап, Шредингер оны бірден сутегі атомына қолданды. Сонда энергия деңгейлерінің спектрі үшін Бордың теория-сында алынған спектрмен дэл келетін, демек, бакылау нәтижелерімен дэл келетін спектр алды.

Релятивтік емес механикада динамиканың негізгі теңдеуі (Ньютонның 2-заңы) кандай роль аткаратын болса, Шредингер теңдеуі кванттык теорияда сондай роль аткарады.
5-дэріс. Кванттық механиканыц қараиайым есептері. Тікбұрышты потенциалдық шүнқырдағы болшек. Сызыктық гармоникалык осциллятор.
5.1. Кванттық механиканың қарапайым бір өлшемді есептері

1. 
   Тік бұрышты потенциялыдқ шұңқырдағы бөлшек
   

Шексіз терең бір өлшемді потенциалдық шұңқырдағы бөлшек үшін меншікті энергия мәндері мен бұларға сәйкес меншікті функцияларды табайық. Массасы m бөлшек (электрон) x осі бойымен қозғала алатын болсын және қозғалыс бөлшекті өткізбейтін x=0 және x = қабырғаларымен шектелген болсын. Осы жағдайда U потенциалдық энергияның түрі 5.1-суретте көрсетілгендей 0_x_ болғанда U=0. x= 0 және x= _болғанда U=_болады.

Шұңқыр ішінде U=0 болатындықтан Шредингер теңдеуі осы жағдайда былай жазылады:
_+_E_{ }0 (5.1)

_өрнегін ескеріп, бөлшек энергиясының мәнін табамыз:

_{ } (5.2)
Демек _энергия дискреттік мәндер жиынтығын қабылдайды.

(5.2) өрнек қарастырылған потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің энергиясын анықтайды. Шұңқыр ішінде бөлшектің потенциалдық энергиясы болмайтын-дықтан, толық энергия кинетикалық энергияға тең болады.

Шредингер теңдеуінің толық шешімі мына түрде өрнектеледі:

_{ }^, n_ (5.3)

b кесіндісінің әр түрлі dx бөліктерінде бөлшектің болу ықтималдығы былай анықталады:





5.3-суретте нормаланған _,_,_ толқындық функциялар және_,_,_,ықтималдық тығыздықтары бейнеленген.

Массасы _бөлшек _осі бойында бөлшектің тепе-теңдік қалыптан ауытқуы тура пропорционал _= - _квазисерпимді күш әсерінен қозғалатын болсын. Мұндағы _серпімділік коэффициенті. Осындай бөлшек сызықтық гармоникалық осциллятор деп аталады.

Кванттық механикада сызықтық гармоникалық осциллятордың тербелістері жайындағы есеп Шредингер теңдеуі жәрдемімен шешілуге тиіс. Осциллятор үшін Шредингер теңдеуі былайша жазылады:
_+_ (5.4)

мұндағы _осциллятордың толық энергиясы.



Гармоникалық осциллятордың энергия деңгейлері бірінен – бірі бірдей қашықтықта орналасқан. Бұл 5.4-суретте көрсетілген мұнда және меншікті функциялар да көрсетілген.





1. 
   Кванттық сандар. Зееман және Штарк эффектісі.
   

және атомдағы электронның импульс моментінің (механикалық орбитальды моментінің) шамасын анықтайды







және электронның импульс моментінің шамасын берілген бағытта анықтайды.

Электронның орбиталды импульс моментінің векторы L кеңістікте 2/+1 бағыттарды қабылдай алады. Суретте электронның орбиталды кванттық саны l=0 (а) және l=1 (б) болғандағы L векторының мүмкін болатын бағыттары көрсетілген. Сәйкесінше магнит өрісінде n бас кванттық саны бар деңгейдің 2/+1 деңгейшелерге ажырауы – Зееман эффектісі деп, ал сыртқы электр өрісінде энергия деңгейлерінің ажырауы Штарк эффектісі деп аталады.

n және l кванттық сандары электронды бұлттың өлшемі мен пішінін сипаттайды , ал кванттық саны кеңістіктегі электронды бұлттың бағытын сипаттайды. Атомдық физикада l=0 кванттық саны сипатталатын электронның күйін s-күй деп, (осы күйдегі электронды s-электрон) l=1 – р-күй, l=2 – d-күй, l=3 – f -күй және т.б. деп атайды.

Суретте s-, р-, d-, f -электрондар үшін ықтималдылық тығыздықтардың графикалық кескіндері және әрбір жағдайға сәйкес кеңістіктік квантталуы – импульс моментінің проекциясы сәйкес мәндерге (мысалы, l=2, m=2 үшін _2_) ие болатын бор орбитасының бағыттары көрсетілген.

Электрон меншікті механикалық импульс моменті спинге ие. Спин Штерн және Герлах тәжірбиелерінде, яғни күшті біртекті емес магнит өрісі арқылы s-күйде орналасқан сутегі атомының жіңішке шоғыры өткен кезде байқалады. Бұл күйде l=0, импульс моменті L = _l(l+1)=0 және магнит өрісі атомның қозғалысына әсер етпеуі қажет. Бірақ та атомдар шоғыры екі шоғырға ажырайды, олай болса электронның орбиталды қозғалысына тәуелсіз механикалық моменттің кеңістік квантталуы байқалады.

Көбіне электронның спинін қатты шардың өз өсінен айналуымен байланысқан импульс моменті деп елестетеді, бірақ мұндай модель өте қате нәтижеге әкеледі электрон бетіндегі сызықтық жылдамдық жарық жылдамдығынан 200есеге артады.

Сондықтан электронның спинін бөлшектің массасы, ал зарядталған бөлшектің – заряды болатыны сияқты, олардың тағы спині бар деп микро-бөлшектің ішкі ажырамаған кванттық қасиеті ретінде қарастыру керек.



заңымен квантталады, мұндағы s – спиндік кванттық сан. Спиннің L проекция-сы L векторы 2s+1 бағытта бола алатындай квантталады. Штерн және Герлах тәжірибелері спинның екі бағыты болатынын байқады, яғни 2s+1 = 2, осыдан s = ½ .





Сонымен атомдағы электронның күйі төрт кванттық сандар жиынтығымен анықталады:

Бас кванттық сан n ( n =1,2,3,...)

Орбиталды кванттық сан l (l = 0,1,2,...(n - 1 ))

Магниттік кванттық сан m (m =0,-l,..., -1,0,1,..., +l)

Магниттік спиндік m (m =+ ½, -1/2)

1. 
   Қатты денелердің зоналық теориясының элементтері
   

Мұндай жүйе үшін Шредингер теңдеуін дәл шешу мүмкін емес, сондықтан көп дене есебін берілген сыртқы өрісте қозғалатын бір электронның есебіне әкелуге мүмкіндік беретін, түрлі ықшамдалған жуықтауларды қолданады.

Зондық теорияның негізінде адиааталық жуықтау жатыр, онда атомның ядросы қозғалмайды деп есептейді.

Кванттық-механикалық жүйе ауыр және жеңіл бөлшектерге, яғни ядролар және электрондарға бөлінеді. Бұл бөлшектердің массасы және жылдамдықтарында едәуір айырмашылық болатындықтан,электрондар қозғалмайтын ядроның өрісінде қозғалады, ал баяу қозғалатын ядро барлық электрондардың өрісінде орнласқан деп есептеуге болады. Кристалдық тордың түйініндегі ядро қозғалмайды деп қабылдай отырып, электрондардың қозғалысы ядролардың тұрақты периодтық өрісінде қарастырылады.

Әрі қарай өздігінен келісілген өрісті (самосогласованное поле) жуықтау қолданылады. Берілген электронның барлық басқа электрондармен әсерлесуі оған деген стационар электр өрісінің әсерімен алмастырылады. Бұл өріс барлық басқа электрондар және басқа ядролар зарядтарының кеңістікте орташала-нуынан жасалады.

Сонымен, зондық теория шегінде көп электронды есеп сыртқы периодты өрістегі барлық ядролар мен электрондардың орташаланған және келісілген өрісіндегі бір электронның қозғалысына келтіріледі.

Кванттық механикаға сәйкес еркін электрондар кез келген энергияны ием-денеді – олардың энергетикалық спектрі үздіксіз. Ал атомдағы электрондар энергияның белгілі бір дискретті мәндеріне ие. Қатты денеде электрондардың энергетикалық спектрі өзгеше, ол тиым салынған энергетикалық зона деп аталатын тиым салынған энергия мәндерімен бөлінген жекеленген тиым салынбаған энергетикалық деңгейлерден тұрады. Тиым салынған энергетикалық зонада электрондар болмайды.

2. 
   Металдар, диэлектриктер және жартылай өткізгіштер
   

1) Тиым салынған энергетикалық зонаның енімен және

2) Рұқсат етілген энергетикалық зонаның түрліше толтырылуымен түсіндіріледі.

Толығымен электрондармен толтырылған зона валенттік зона деп аталады.

Электрондармен жартылай толтырылған немесе бос зона өткізгіштік зонасы деп аталады.е

Металдар.

а) Егер электроннан тұратын зонаның ең жоғарғы бөлігі толтырылған болса, онда электрондардың жылулық қозғалысының энергиясы (кТ -10 эВ) электрондардың зонадағы бос деңгейлерге өтуіне жеткілікті және металдың өткізгіштігін қамтамасыз етеді.

б) Егер валенттік зона бос зонаменжабылатын болса, онда метал типті өткізгіштікті қамтамасыз ететін, валентті электрондармен жартылай толтырылған гибридті зона пайда болады.

Диэлектриктер және жартылай өткізгіштіктер.

Диэлектрик жағдайында (6-сурет) тиым салынған зонаның ені Е бірнеше эВ; жылулық қозғалыс электрондарды валенттік зонадан өткізгіштік зонаға жеткізе алмайды.

Жартылай өткізгіш жағдайында (8-сурет) тиым салынған зонаның ені Е 1эВ, сондықтан электрондарды валенттік зонадан өткізгіштік зонаға жеткізу жылулық қозу есебінен немесе электрондарға Е энергия беруге қабілетті сыртқы ток көзінен болуы мүмкін.