Сызықты емес жүйелерінің түсінігі
Сызықты емес жүйелерді сызықтаудың әдістері
жүктеу/скачать 1.71 Mb.
|
| 3.1 Сызықты емес жүйелерді сызықтаудың әдістері
БЖ – ті есептеудің бірнеше әдістері бар.Оның біреуі жүйенің элементтеріне жеке анализ жасауға мүмкіндік береді, ал екіншісі жүйеге толық қолданылады.Көбінесе бірнеше әдістерді қолдануға тура келеді, әр қайсысы жүйенің кейбір бөліктерін шешуді қамтамасыз етеді. Практикалық шешім ретінде көп әдістер қолданылады.Әдістерге қысқаша сипаттама. Интегралдалатын аппроксимациялар әдiстерге - сызықты аппроксимация, үзiктi-сызықты, сызықты емес интегралдалатын әдістер жатады. Сызықты аппроксимация сызықты еместiктiң аз дәрежесiнiң жанында қолданылады. Сонымен бiрге таңдаулы нүктенiң параметрі осы нүктенің маңайында сақталады және бұл сызықты анализ әдісін қолдануға мүмкіндік береді. Үзікті - сызықты аппроксимация сызықты емес кластың түзу сызықты бөліктеріне арналған, яғни үзікті - сызықты мінездемесіне немесе сызықты еместі сызықты бөліктерге бөлуге арналған.Әрбір сызықты бөлік сызықты дифференциалды теңдеумен сипатталады. Жалпы шешім осы дифференциалды теңдеуді шешуге әкеледі. Сызықты интегралданатын аппроксимация Нэ-ге жақын аналитикалық сипатқа ие кейбір қисықтардың сипатын өзгертеді.Сонымен қатар «нақты» теңдеу ұқсас теңдеуге ауысады, және ол интегралданған болуы мүмкін.Мұндай шешімнің дәлдігі сызықты емес жүйенің анализі үшін жеткілікті. Сызықты аппроксимация әдісі.Айнымалы у біршама n айнымалыларға байланысты. (3.1) Сол сияқты тәуелділік қарапайым сызықты әдістермен талданбайды.Сызықтау у0 нүктенің кейбір шекарасында ғана мүмкін, 1 сурет.Айнымалы ретінде у0 нүктесіне қатысты Х,У шамаларының есімшелері ғана қолданылады,(2) теңдеу түрінде у0 нүктесінің шекарасында. Берілген теңдеуді өзгерткеннен кейін (3.1) теңдеу түрінде жазуға болады. (3.2) Мұндағы y0,x1-0,x2-0,xn-0 –жұмысты нүктедегі айнымалының мәні. (3.3) Сызықты емес теңдеудің сызықталған моделі келесі түрде болады(3.4) (3.4) Мұндай моделді құру үшін к1,к2,....,кn коэффициентерін таңдау қажет.Бұл коэффициенттер у0 нүктесінің шекарасында түзу аппроксимацияның бұрылуын анықтайды. Қарапайым жағдайда ол келесі түрде болады (3.5) (3.5) Коэффициентерді анықтау үшін екі ең көп тараған әдіс қолданылады:қатысты әдіс немесе Тейлордың қатарластыру әдісі және ең төменгі квадратты қате немесе ең кіші квадраттардың әдісі.Аз дәрежелі сызықты емес жүйе үшін екі әдісте бірдей қорытынды береді. Тейлор әдісі сызықты емес элемнтердің аналитикалық өрнегіне қолдану үшін тиімді.Тейлордың қатарластыруында ол қатардың бірінші мүшесін есепке алады. Ең кіші квадратты қате әдісі у0 нүктесінің үлкен жұмыстық шекарасында қолданылады.Екі әдістің графикалық шешімдері 3.1 суретте көрсетілген. АА сызығы аппроксимацияны қатысты әдіс арқылы көрсетеді.Ол жұмыстық нүкте маңайына сәйкес келеді, бірақ жұмыстық шекарада тарқайды. ВВ сызығы аппроксимацияны ең кіші квадраттар әдісі арқылы көрсетеді. Ол сызықты емес қисықтан аз шалқиды, бірақ оның бұрылуы у0 жұмыстық нүктедегіқатысты бұрылуға сәйкес келмейді. 3.1 сурет. Сызықты аппроксимация қатысты және ең кіші квадраттар әдісі арқылы Тейлор қатарында сызықтаудың орналасуы.Бастапқы берілген шарттағы дифференциалды теңдеуді қарастырайық (3.6). (3.6) Тәуелсіз айнымалы ретінде t-уақытты аламыз, және Тейлор қатарына қоямыз.жалпы өрнек келесі түрде болады (3.7). (3.7) Сандық нәтижелер бекiтiлген кесiндiлер арқылы өрнектеледi h уақыт. (3.8) Сонда бастапқы қабылданған нүкте һ үақыт интервалында тізбектей ауысады және келесі түрде болады (9). (3.9) Туындылар yn,yn,yn,...қатар жылдам сәйкес келуі үшін һ аз интервалында есептеледі. Енді Тейлор қатарындағы Yn+1 туынды есептеледі. Туындының бірінші қатары Уn+1 дифференциалы һ бойынша алынады. (3.10) Туындының екінші қатары һ бойынша Уn+1 дифференциалдау арқылы алады. (3.11) Бас туындылар табылады.Тейлордың қатарластырылуы әдетте, есептеудің басында қолданылады, бұдан әрі біршама қиындау әдіс қолдану керек. Ең кіші квадраттар әдісі бойынша сызықты аппроксимация.Ең кіші квадраттар әдісі немесе орташа квадраттық қателік әдісі сызықты еместі сызықтыға ұқсасқа ауыстырады.Әдістің мәні.Тәуелді айнымалы У және Х1,Х2,...Хn.. тәуелді айнымалы n беріледі, ол (3.1) теңдеу түрінде сипатталады.У0 нүктесі және оның шартараптары қарастырылады. У және айнымалы Х өзара қатынастары нүктелердің жиынтығы ретінде берілген.айнымалы Х-тің мәні сәйкесінше Х10,Х20,....Хn0,, тең болады.Сонымен қатар Y ∆ мәніне m жиынтығының 1 21 11 мәндері сәйкес келеді. түріндегі тәуелділік алу қажет (3.4), екі шаманың квадраттарының айырмасы 0У шамасынан аз болатындай.Бір шама 0У (4)өрнектен анықталады, ал екіншісі берілген сандық жиынтықтан анықталады.(12) өрнек ең аз болғандағы к1,к2,....кn шамаларын табу қажет. (3.12) Е2 минимизациялау үшін туындының бірінші бөлінділерінің әр бірін нөлге теңестіреміз. (3.13) Шешімі қарапайым әдістер бойынша анықталатын к1,к2,....,кn ,білгісіздерге қатысты n сызықтық теңдеулер жүйесі алынады.Көбіне әдістер екінші реттен аспайтын теңдеулер жүйесіне қолданлатындықтан, коэффициенттер өрнекпен анықталады.Бір тәуелсіз айнымалы үшін өрнек осылай жазылады, мұндағы к тең(3.14) (3.14) Екі тәуеелсіз айнымалы үшін теңдігі орындалады (3.15) Мұндағы: Өрнекті жеңілдету үшін келесі шама енгізіледі: (3.16) Таңдап алынған нүктелердің сандық мәндері симметриялы түрде таңдалуы мүмкін.Қиылысатын туындылары бар өрнектердің нөлге тең болуы коэффициенттерді есептеуді жеңілдетеді.Екі айнымалы жағдайы үшін с=0 коэффициентін береді. жүктеу/скачать 1.71 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|