Статистикалық термодинамикаға кіріспе
Лиувилл теоремасы. Эргоидтік гипотеза
жүктеу/скачать 0.55 Mb.
|
| Лиувилл теоремасы. Эргоидтік гипотеза.
Жүйе микрокүйлерін бейнелейтін және Гамильтон механикасы заңдарына бағынатын фазалық нүктелердің қозғалысы туралы 1938 жылы Лиувилл теоремасы ұсынылған. Бұл теорема бойынша: фазалық кеңістікте қозғалыста болатын фазалық нүктелердің тығыздығы тұрақты. Математикалық түрде теорема былай жазылады: = 0. (3) Теореманы қорытып шығару кезінде фазалық нүктелердің қозғалысы сығылмайтын сұйықтықтың қозғалысына ұқсас деген болжам жасалады. Теңдеу (3) «фазалық сұйықтықтың» тығыздығының сақталу принципін сипаттайды. Лиувилл теоремасының басқа да анықтамасы бар: фазалық нүктелердің белгілі бір саны болатын фазалық көлем энергетикалық қабатта жүйе күйінің өзгерісіне сай қозғалған кезде өзінің шамасын өзгертпейді. Бұдан фазалық кеңістіктегі көлемнің кез келген элементі (бөлігі) уақыт өтісімен өзінің кескінін өзгерткенімен, кеңілмейді және сығылмайды деген қорытынды шығады. Лиувилл теоремасының бұл анықтамасы фазалық көлемнің сақталу принципі деп аталады. Лиувилл теоремасы тепе-теңдіктегі және тепе-теңдікте емес ансамбльдер үшін дұрыс орындалатын теорема. Статистикалық термодинамиканың бірқатар қағидаларын қарастыруды Лиувилл теоремасы жеңілдетеді. Сол себепті статистикалық термодинамикада канондық байланысқан q және р айнымалылары қолданылады, Лиувилл теоремасы осы айнымалыларға негізделген жэне жүйенің қозғалысы кезінде q және р өзгерістері болса да фазалық көлем өзгермейді. Эргоидтік гипотеза. Лиувилл теоремасына сәйкес, фазалық нүктелердің фазалық кеңістікте қозғалысы кезінде фазалық кеңістіктің барлық бөліктерінің тығыздығы бірдей болады. Бұл қағиданы статистикалық механиканың негізгі принциптерінің анықтамаларын беру үшін Эргоидтік гипотезамен толықтыру керек. Эргоидтік гипотезаны Больцман және Максвелл ұсынған гипотезаның мағынасы: оқшауланған жүйеде шамалары тұрақты фазалық нүкте бастапқы қалыпқа келерде фазаның кеңістіктегі мүмкін болатын барлық нүктелер арқылы өтеді. Басқаша айтқанда, механикалық жүйе жеткілікті ұзақ уақыт ішінде барлық мүмкін болатын күйлерден өту арқылы өзінің бастапқы күйіне оралады, бұл кезде энергия сақталу заңы орындалады: U (или E) = H(q, p) = const. (4) Эргоидтік гипотезаны Максвелл «жолдың үздіксіздік пинципі» деп атаған, бұл принцип дәлелденбейді, сондықтан ол гипотеза деп аталады. Ал реал жағдайларда фазалық нүктелері фазалық кеңістіктегі облыстарға ешқашан енбейтін жүйелер болады. Мұндай жүйелер эргоидтік емес жүйелер деп аталады. Эргоидтік емес жүйелерге планетарлық жүйе мысал болады. Планетарлық жүйеде планеталар элиптика жазығында орналасқан, дегенмен перпендикуляр жазықтықта орналасатын орбитальдардың болуы да энергетикалық жағынан мүмкін. Сөйтіп, эргоидтік гипотеза статистикалық механикада зерттелетін жүйелер эргоидтік болуы шарт деген шектеу қояды. Эргоидтік гипотеза, Лиувилл теоремасымен бірге, статистикалық механиканың негізгі қағидаларын (принциптерін) береді. Бұл принциптер кейде постулаттар деп те аталады: тең ықтималдық принципі: оқшауланған жүйелер үшін оларда барлық мүмкін болатын фазалық кеңістіктер тең ықтималды. орташа мәндер туралы теорема: жүйеде F(q, p) шамаларының уақыт бойынша анықталған орташа мәні оның ансамбльдер бойынша анықталған орташа мәніне тең. Тығыздығы тұрақты ортада қозғалатын фазалық нүкте Лиувилл теоремасы мен эргоидтік гипотезаға сай фазалық кеңістіктегі мүмкін болатын барлық нүктелер арқылы өтеді деген тұжырым осы бірінші постулаттан шығады. Бұл тұжырымды басқаша айтсақ: оқшауланған термодинамикалық жүйені бейнелейтін микроканондық ансамбльде барлық фазалық нүктелер фазалық кеңістікте біркелкі таралады. Тең ықтималдық принципі бойынша күрделі оқиғалардың ықтималдығын анықтауға болады. Есептелінген теориялық нәтижелердің тәжірибеден алынған нәтижелермен сай келетіндігі бұл принциптің дұрыстығын дәлелдейді. Эргоидтік гипотеза бойынша, жүйенің әр ансамблінің күйі жеткілікті ұзақ уақыт өткенде басқа ансамбльдерінің күйіне келеді. Бұл тұжырымнан жоғарыда айтылған екінші постулат келіп шығады, яғни берілген жүйе үшін орташа шамаларды уақыт бойынша анықтаудың нәтижесі ансамбльдер бойынша анықтаудың нәтижесімен бірдей. Орташа мәндер туралы теорема термодинамикалық айнымалылар (жүйе қасиеттері) мен механикалық микроскопиялық сипаттамалар арасындағы байланысты табуға мүмкіндік береді. Жүйенің кез келген термодинамикалық қасиеті , (мысалы, қысым, энергия немесе энтропия) динамикалық айнымалылардың (p, q) уақыт бойынша анықталынған орташа мәндері арқылы табылады. Мысалы, газдың қысымы газдың қозғалыс мөлшерінің ыдыс бетіне (1см2, 1дм2 ... бетке) тасымалдануының орташа жылдамдығымен өлшенеді. Динамикалық айнымалылардың уақыт бойынша орташа мәндері мына теңдеумен анықталады: , (5) мұндағы t – анықталатын термодинамикалық қасиеттің мәнін өлшеуге кеткен «жеткілікті ұзақ» уақыт. Ал ансамбльдер бойынша орташа мәндер мына теңдеумен анықталады: (6) мұндағы ρ – тығыздық. Бұл теңдеу -ның белгілі бір уақыт мерзімінде барлық ансамбльдер бойынша анықталған орташа мәнін береді. Орташа мәндер туралы теореманы былайша өрнектейді: . (7) Бұл (7)-теңдеу жүйені бейнелеудің механикалық және термодинамикалық тәсілдерінің байланысын беретін негізгі теңдеу, ол тек эргоидтік жүйелер үшін қолданылады. Эргоидтік гипотеза уақыт бойынша есептелген орташаны фазалық кеңістік бойынша есептелген орташамен теңестіруге, басқаша айтқанда, орташа мәндерді бір жүйе үшін есептеуді көп жүйелер үшін есептеумен теңестіруге мүмкіндік береді. Уақыт бойынша есептелген орташа мәндері фазалық кеңістік бойынша есептелген орташа мәндеріне сәйкес келетін жүйелер эргоидтік жүйелер деп аталады. Тең ықтималдылық принципінің орындалуы үшін жүйенің эргоидтік болуы қажетті шарт. Алайда физикалық жүйелердің эргоидтігін тек постулат ретінде ғана айта аламыз. Эргоидтік гипотеза уақыт бойынша анықталған орташа шаманы фазалық кеңістік бойынша анықталған орташа шамамен алмастыруға немесе оларды теңестіруге мүмкіндік береді. Эргоидтік гипотеза бір жүйенің уақыт бойынша табылған орташа мәнін көп жүйелер бойынша сол сәтте табылған орташасымен алмастыруға мүмкіндік береді. Бұл гипотезаны жақсырақ түсіну үшін оны бір ағашты отырғызған кезден бастап өсіп-жетілгенше зерттеудің орнына әр түрлі жастағы көп ағаштардың ерекшеліктерін анализдеген орманшының зерттеуімен салыстыруға болады. жүктеу/скачать 0.55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|