Тақырып–1: Дифференциалдық теңдеулер туралы негізгі ұғымдар
жүктеу/скачать 336 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Тақырып–2: Туындысы арқылы шешілмеген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер.
- Тақырып–3: Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер: n – ші ретті сызықтық теңдеулер.
- Тақырып–4: n – ші ретті біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.
- Тақырып–5: n – ші ретті бірті емес сызықтық дифференциалдық теңдеулер.
- Тақырып–6: Коэффициенттері тұрақты n – ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.
- Тақырып–7: Коэффициенттері тұрақты n – ші ретті біртексіз сызықтық теңдеулер.
- Тақырып–8: Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Қалыпты (нормалды) жүйе.
- Тақырып–9: Симметриялық түрдегі жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі.
- Тақырып–10: Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі.
- Тақырып–11: Біртексіз сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі.
- Тақырып–12: Коэффициенттері тұрақты дифференциалдық теңдеулер жүйесі.
- Есеп шығару мысалдары: 1-мысал
- 3-мысал
- 4-мысал
- 5-мысал
- 6-мысал
- 7-мысал Теңдеу
- 8-мысал
- 9-мысал
- 10-мысал .
- 11-мысал
- 12-мысал
- 13-мысал
| Тақырып–1: Дифференциалдық теңдеулер туралы негізгі ұғымдар. Дифференциалдық теңдеулерге әкелетін есептер. Бірінші ретті жай дифференциалдық теңдеулер. Анықтамалар. Дифференциалдық теңдеудің реті. Теңдеудің шешуі: жалпы шешуі, интегралы, жалпы интегралы. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің геометриялық мағнасы. Коши есебі. Дифференциалдық теңдеулерге әкелетін механика, геометрия, физика, химия есептерінің мысалдары. Айнымалылары бөлінетін теңдеулер. Біртекті теңдеулер және оларға келтірілетін теңдеулер. Жалпыланған біртекті теңдеу. Бірінші ретті сызықтық теңдеулер. Толық дифференциалды теңдеулер. Интегралдық көбейткіш. Риккати теңдеуі. Әдебиет: [1] 1 – тарау 1.1 – 1.10. 5 – 44 б
Тақырып–2: Туындысы арқылы шешілмеген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Параметр енгізудің жалпы әдісі. Туындысы арқылы шешілмеген теңдеулердің қарапайым түрлері. Лагранж теңдеуі. Клеро теңдеуі. Ерекше шешімдер. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалғыз ғана шешуінің бар болуы туралы теорема. Әдебиет: [1] 2 – тарау, 2.1 – 2.7, 96 – 111 б Тақырып–3: Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер: n – ші ретті сызықтық теңдеулер. Негізгі анықтамалар. Ретін төмендетуге болатын дифференциалдық теңдеулер. Сызықтық теңдеулердің жалпы қасиеттері. Әдебиет: [1] 3 – тарау , 3.1 – 3.4, 122 – 138 б Тақырып–4: n – ші ретті біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Шешулердің қасиеттері. Функциялардың сызықты тәуелсіздігі. Вронский анықтауышы. Біртекті сызықтық теңдеудің n – шешулерінің сызықты тәуелсіздігінің қажетті және жеткілікті шарты. Остроградский – Лиувилль формуласы. Теңдеудің шешулерінің іргелі жүйесі. n – ші ретті біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеудің жалпы шешуінің формуласы. Белгілі іргелі шешулер жүйесі бойынша біртекті сызықтық теңдеу құру. Әдебиет: [1] 3 – тарау, 3.5 – 3.8 ,147 – 150 б Тақырып–5: n – ші ретті бірті емес сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Біртексіз сызықтық теңдеудің жалпы шешуінің түрі. Тұрақтыларды вариациялаудың Лагранж әдісі. Әдебиет: [1] 3 – тарау, 3.7 – 3.8 ,150 – 155 б Тақырып–6: Коэффициенттері тұрақты n – ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Біртекті теңдеулер. Коэффициенттері тұрақты біртекті сызықтық теңдеудің сипаттамалық теңдеуі. Сипаттамалық теңдеудің түбірлері. Әртүрлі болған жағдайда біртекті сызықтық теңдеудің іргелі шешулер жүйесін құру. Сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің арасында комплекс – түйендес түбірлері болған жағдай. Сипаттамалық теңдеудің тең түбірлері болған жағдай. Эйлер теңдеуі. Әдебиет: [1] 4.1, 163 – 165 б Тақырып–7: Коэффициенттері тұрақты n – ші ретті біртексіз сызықтық теңдеулер. Біртексіз сызықтық теңдеулердің оң жағының берілу түріне сәйкес дербес шешулерін құру. Екінші ретті біртекті сызықтық теңдеулер теоричсының кейбір мәселелері. Екінші ретті біртекті теңдеудің бір дербес шешуі бойынша жалпы шешуін құру. Біртекті сызықтық теңдеу мен Риккати теңдеуі арасындағы байланыс. Дәрежелік қатарлар көмегімен интегралдау. Әдебиет: [1] 4.2 – 4.4, 174 – 179 б Тақырып–8: Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Қалыпты (нормалды) жүйе. Негізгі ұғымдар. Қалыпты жүйені біртіндеп жою әдісімен интегралдау. Қалыпты жүйенің геометриялық және механикалық мағналары. Коши есебі. Қалыпты жүйенің жалпы және дербес шешулері. Қалыыпты жүйенің интегралы. Интегралданатын комбинациялар. Әдебиет: [1] 5.1, 218 – 220 б, 7.1 -7.2, 228 – 234 б Тақырып–9: Симметриялық түрдегі жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Қалыпты жүйені симметриялық түрдегі жүйеге келтіру. Симметириялық түрдегі дифференциалдық теңдеулер жүйесінің интегралдары, бірінші интегралдары және жалпы интегралы. Әдебиет: [1] 7.3, 234 – 240 б Тақырып–10: Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі. Біртекті жүйенің шешулерінің қасиеттері. Функциялар жүйесінің сызықты тәуелсіздігі: n функциялар жүйесінің сызықты тәуелділігінің қажетті шарты. Біртекті n сызықтық теңдеулер жүйесінің сызықты тәуелсіздігінің қажетті жәнге жеткілікті шарты. Іргелі шешулер жүйесі туралы теорема. Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы шешуінің түрі. Белгілі іргелі шешулер жүйесі бойынша біртекті сызықтық, теңдеулер жүйесін құру. Әдебиет:[1] 8.1 – 8.2, 240 – 250б. Тақырып–11: Біртексіз сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Біртексіз сызықтық жүйенің жалпы шешімінің құрылымы. Тұрақтыларды вариациялаудың Лагранж әдісі. Әдебиет: [1] 9, 256 – 258 б Тақырып–12: Коэффициенттері тұрақты дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Эйлер әдісі. Біртекті сызықтық жүйенің сипаттамалық теңдеуінің түбірлері әртүрлі болған жағдайда жүйенің іргелі шешулер жүйесі мен жалпы шешуін құру. Сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің арасында комплекс – түйіндес түбірлері болған жағдай. Біртексіз сызықтық теңдеулер жүйесін тұрақтыларды вариациялау әдісімен интегралдау. Әдебиет: [1] 10, 10.1 259 – 262 б Есеп шығару мысалдары: 1-мысал Координаталар осьтерінің арасындағы жанамасының кесіндісі жанасу нүктесінде қақ бөлінетін қисықтарды табу керек. Шешуі Іздеп отырған қисық l  болсын да,  деп оның жанасу нүктесін белгілейік  . СВ-жанама,  . CM=MB. Суреттегі МВD үшбұрышынан  , яғни  қатынасын аламыз. Ал  . Туындының
анықтамасы бойынша Сурет-1.1 бұрыштық коэффициенті. Сондықтан, 2-мысал  функциясы берілген. Мұндағы С кез келген тұрақты сан, оның  дифференциалдық теңдеуінің шешуі болатындығын тексеру керек.
Осы теңдеудің Шешуі  функциясының туындысын тауып берілген теңдеуге қоямыз
 ,
функциясын берілген дифференциалдық теңдеуге қойғанда ол тепе-теңдікке айналады. Сондықтан берілген функция теңдеудің шешуі болады. Дербес шешуін табу үшін теңдігіне  мәндерін қойып  теңдігін аламыз. Осыдан берілген теңдеудің дербес шешуі  алынады.
3-мысал  теңдеуінің шешімін табу керек.
Шешуі Теңдеудегі айнымалыларды бөліп, жалпы интегралын анықтаймыз. Ол үшін  көбейтіндісіне бөлеміз де интегралдаймыз
 , 
Интегралдау нәтижесінде  немесе  шешімін аламыз.
4-мысал  теңдеуінің шешімін табу керек.
Шешуі Берілген теңдеуді біртекті теңдеу түріне келтіруге болады  , әрі қарай  ауыстыруын қолданамыз. Осыдан  және  . Сонда  және  . Айнымалыларды бөліп интегралдаймыз:  ,  немесе  . Нәтижесінде z-тің орнына қойып,  шешімін аламыз.
5-мысал  теңдеуі берілсін. Оны  түрінде жазуға болады. Сондықтан  болады да  берілген теңдеудің жалпы интегралын анықтайды.
6-мысал  теңдеуінің шешімін табу керек.
Шешуі Теңдеуді  түрінде жазайық. Сонда  ге тең. Теңдеудің толық дифференциалды болу шартын тексерейік.  , яғни  теңдеуі толық дифференциалды. Олай болса,  шарттары орындалады. Осы теңдіктердің біреуін, мысалы екіншісін у бойынша интегралдайық. Сонда    . Осы функцияның х бойынша дербес туындысын тауып бірінші теңдікпен теңестірелік, яғни  , немесе  . Интегралдаудан кейін  ,  функциясы анықталады. Сонымен берілген теңдеудің жалпы интегралы мына түрде алынады  .
7-мысал Теңдеу  түрінде берілген. Оның шешімін табу үшін теңдеуді  түрінде жазып  белгілеуін енгізейік. Сонда  және  арқылы  теңдігінен  анықтаймыз. Интегралдау нәтижесінде  алынады да жалпы шешім мына түрде жазылады  .
8-мысал  - Лагранж теңдеуі. Белгілеу енгіземіз:  сонда  теңдікті дифференциалдаймыз  . Әрі қарай  немесе  - сызықты теңдеуі алынады. Оның интегралы  - Лагранж теңдеуінің жалпы шешімі. Мұнда  -қа бөлгенде  шешімін жоғалтуымыз мүмкін. Ал  дегеніміз  теңдеуінің түбірі. Бұл жағдайда  түбірін жоғалтамыз, яғни  берілген теңдеудің шешімі.
9-мысал  теңдеуінің  алғашқы шартын қанағаттандыратын шешімін табу керек.
Шешуі. Есептің шешімі  . Бірақ М(1,1) нүктесі арқылы қисығынан басқа шексіз көп интегралдық қисықтар өтеді:  . Егер  болса, онда  0.
10-мысал  . Бұл теңдеудің  бір дербес шешімі белгілі. Ауыстыру енгіземіз:  немесе  , әрі қарай  . Теңдеуге қоямыз  . Осыдан  немесе  .
Мұның шешімі 11-мысал Біртекті емес  теңдеуінің жалпы шешуін табу керек.
Шешуі Берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешуі 
Сипаттамалық теңдеудің нөлге тең түбірі жоқ  . Сондықтан дербес шешімді
түрінде іздейміз. Белгісіз А және В коэффициенттерін табу үшін дербес шешуді екі рет дифференциалдап берілген теңдеуге қоямыз. Сонда 
теңдігін аламыз.Осы теңдіктің екі жағындағы х-тің бірдей дәрежесінің алдындағы коэффициенттерін салыстырып 
мәндерін табамыз. Енді жалпы шешімді 
түрінде жазуға болады. Мұнда
 ал  .
Теңдеудің оң жағы  түрінде берілген. Мұндағы  n дәрежелі көпмүшелік.
Бұл жағдайда дербес шешуді 
түрінде іздеу керек. Мұндағы  n–ші дәрежелі көпмүшелік, ал r–сипаттамалық теңдеудің  –ға тең түбірлерінің саны.
Егер 12-мысал Біртекті емес  сызықты теңдеуінің жалпы шешуін табу керек.
Шешуі Сипаттамалық теңдеу  .
Оның түбірлері  .
Сондықтан біртекті теңдеудің жалпы шешімін 
түрінде жазамыз.Сипаттамалық теңдеудің бір түбірі 
бірінші дәрежелі көпмүшелік болғандықтан дербес шешімді 
түрінде іздеу керек. Бұл шешуді дифференциалдап, теңдеуге қоямыз. Сонда 
теңдігі шығады. Мұнда х-тің коэффициенттерін салыстырып 
мәндерін табамыз. Сонымен, дербес шешімнің түрі 
Енді жалпы шешімді табамыз 
Теңдеудің оң жағы 
Мұндағы А және В – белгісіз коэффициенттер, ал 13-мысал Берілген  теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі Сипаттамалық 
теңдеуінің түбірлері  және  . Сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі
Берілген теңдеудің оң жағында  , ал  , яғни  сәйкес келеді. Осыдан  болады да дербес шешімді
түрінде іздеу керек. Дифференциалдап, содан кейін берілген теңдеуге қойып 
теңдігін аламыз. Бұл теңдіктен 
коэффициенттерін анықтаймыз. Сонда дербес шешімнің түрі 
Жалпы шешім былай жазылады 
Әдебиет
жүктеу/скачать 336 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
жанаманың
және 
дифференциалдық теңдеуі алынады. Бұл теңдеудің шешімі 
- гиперболалар жиыны. 
алғашқы шартын қанағаттандыратын дербес шешуін табу керек.
, олай болса 
.
болса, онда I жағдай шығады.
. Сонда 
және 
түрінде берілген. Мұндағы 
–белгілі сандар. Дербес шешімнің түрі мынадай
–сипаттамалық теңдеудің 
–ға тең түбірлерінің саны.