Теңдеулерді және жүйелерді бүтін сандар жиынында шешу

8х = 56 қысқаша: 8х = 56

8х : 8 = 56 : 8 х = 56 : 8

х = 7 х = 7.

Теңдеудің осы қасиеттерін қолданып, теңдеудің екі жағын да белгісіздің (айнымалының) коэффициентіне бөліп, белгісіздің сан мәнін, яғни теңдеудің түбірін табамыз.

Екі және одан көп айнымалылар теңдеулерді анықталмаған теңдеулер деп айтады. Анықталмаған теңдеулердің шешімі деп осы теңдеуді қанағаттандыратын айнымалылар мәндерінің барлық жиынын айтады.

Бір белгісізі бар бірінші дәрежелі теңдеуді қарастырайық:

а₁х + а₀ = 0 (1)

Теңдеудің а₀, а₁ коэффициенттері бүтін сандар болсын.

Бұл теңдеудің шешімі х =

бүтін сан болады, егер де а₀ саны а₁ санына қалдықсыз бөлінсе. Бұдан шығатын қорытынды, (1) теңдеуді бүтін сандар жиынында шешу барлық уақытта мүмкін емес. Мысалы үшін 3х – 27 = 0 және 5х + 21 = 0 теңдеулерін қарастырайық. Бірінші теңдеудің шешімі х = 9, ал екінші теңдеудің бүтін сандар жиынында шешімі жоқ.

Мұндай жағдайлармен екінші дәрежелі теңдеулерді шешкенде де кездесеміз: х² + х – 2 = 0 теңдеуінің х₁ = 1, х₂ = -2 бүтін шешімдері бар; ал х² – 4х + 2 = 0 теңдеуінің бүтін сандар жиынында шешімі жоқ, себебі оның шешімі х_{1, 2} = иррационал сан.

a_n x ⁿ + a_n-1 x ^n-1 + … + a₁ x + a₀ = 0 (n ≥ 0) (2)

түріндегі бүтін коэффициентті n – ші дәрежелі теңдеулер оңай шешіледі.

Теорема 1 a және b өзара жай сандар және [x₀, y₀] ax + by + c = 0 теңдеуінің кез – келген бүтін шешімі болсын, сонда мына формулалар:

x = x₀ – bt, y = y₀ + at (3)

t = 0, 1, 2, … болғандағы теңдеудің барлық шешімдерін берін береді.

Дәлелдеу: [x, y] - (1) теңдеудің кез – келген шешімі болсын. Сонда ax + by + c = 0 және ax₀ + by₀ + c = 0 теңдіктерінен мынау шығады:

ax - ax₀ + by - b₀ = 0, y – y₀ = ,

мұндағы у – у₀ бүтін сан және a, b өзара жай сандар болғандықтан, х₀ –х

мұндағы t бүтін сан, х₀ –х мәнін алдыңғы теңдікке алып барып қойсақ:

сонда x = x₀ – bt, y = y₀ + at формулаларын аламыз.

Жалпы жағдайда ax + by + c = 0 теңдеуінің шешімдерін табу үшін, белгісіз мүшелерінің коэффициенттерінің қатынасын шектеулі тізбекке жіктеу керек, ең соңғы мүшелерін алып тастап, жоғарыда көрсетілгендей амалдар орындау керек.

Бұл пайымдауды дәлелдеу үшін шектеулі тізбектің кейбір қасиеттері қажет болады.

Қысқармайтын бөлшегін қарастырайық, ондағы а санын b санына бөлгендегі бөліндіні q₁ деп _, қалдық мүшесін r₂ деп белгілейік, сонда

а = q₁ b + r₂, r₂ < b.

Енді, ары қарай, b санын r₂ қалдығына бөлгендегі бөліндіні q₂ деп, аламыз, сонда b = q₂ r₂ + r₃, r₃ < r₂.

Дәл осылай жалғастырсақ: r₂ = q₃ r ₃ + r₄ , r₄ < r₃