Тема 3 Задачі на зважування та переливання



Дата21.07.2016
өлшемі177.67 Kb.
12.06.2013

Тема 3

Задачі на зважування та переливання

  1. Теоретичний матеріал

Щоб навчитися правильно міркувати, потрібно вирішувати завдання на кмітливість. Одним з класів завдань такого вигляду є завдання на зважування та переливання. У математичній науці завдання на зважування та переливання допомагали людям використовувати науку в повсякденному житті, розвивати логіку і мислення.

В результаті опрацювання запропонованого матеріалу учні познайомляться з новими для них задачами на переливання та зважування, навчаться їх розв’язувати.

1.Задачі на зважування

Задачі на зважування - досить поширений вид математичних завдань.

У таких завданнях той, хто розв’язує задачу повинен локалізувати предмет, що відрізняється від інших по вазі за обмежене число зважувань. Пошук розв’язування в цьому випадку здійснюється шляхом операцій порівняння, правда, не лише одиночних елементів, але і груп елементів між собою. Розв’язуючи такі задачі не забувайте розібрати всі варіанти. Якщо шукаєте фальшиву монету, то корисно поділити всі монети на три кучки, при цьому кількість зважувань зменшується.

55

У Буратіно є 27 золотих монет. Але відомо, що Кіт Базиліо замінив одну монету на фальшиву, і вона по вазі важче справжніх. Як за три зважування на чашкових вагах без гир Буратіно знайти фальшиву монету?

Розв’язання

Розділимо монети на 3 купки по 9 монет. Покладемо на чаші вагів першу і другу купки; в результаті цього зважування ми точно дізнаємось, в якій з купок знаходиться фальшивка (якщо ваги покажуть рівність, то вона - в третій купці). Тепер, аналогічно, розділимо вибрану купку на три частини по три монети, покладемо на ваги дві з цих частин і визначимо, в якій з частин знаходиться фальшива монета. Нарешті, залишається з трьох монет визначити важчу: кладемо на чаші вагів по 1 монеті - фальшивою є важча; якщо ж на вагах рівність, то фальшивою є третя монета з частини.

56

Серед 101 однакових за виглядом монет одна фальшива, така, що відрізняється за вагою. Як за допомогою чашкових вагів без гир за два зважування визначити, легшою або важчою є фальшива монета? Знаходити її не потрібно.

Розв’язання

Зважуємо 50 і 50 монет, можуть бути два випадки.



1 випадок. Монети мають однакову вагу. Беремо монету, що залишилася, і ставимо її в ліву купку замість однієї з тих, що є там:

а) ліва купка важча => фальшива монета важча;

б) ліва купка легша => фальшива монета легша.

2 випадок. Монети мають різну вагу. Беремо важчу купку і розбиваємо її на дві купки по 25 монет:

а) вага купок однакова => фальшива монета легша;

б) вага купок неоднакова => фальшива монета важча.

57



Є 8 монет. Одна з них фальшива і легша за справжню монету. Визначить за 3 зважування яка з монет фальшива.

Розв’язання

Ділимо монети на дві рівні купки – по 4 монети в кожній. Зважуємо. Ту купку, яка легша, знову ділимо на дві однакові купки – тепер по дві монети в кожній. Зважуємо. Визначаємо, яка з них легша. Кладемо на чаші вагів по 1 монеті з цієї купки. Фальшива та, яка легша.

58

Ліса Аліса і Кіт Базиліо – фальшивомонетники. Базиліо робить монети важче справжніх, а Аліса – легше. В Буратіно є 15 однакових на вигляд

монет, але якась одна – фальшива. Як двома зважуваннями на чашкових вагах без гир Буратіно може визначити, хто зробив фальшиву монету – Кіт Базиліо або Ліса Аліса?

Розв’язання

Буратіно може розділити свої монети на три купки по 7, 4, 4, або по 5, 5, 5, або по 3, 6, 6, або по 1, 7, 7 монет. При першому зважуванні він покладе на ваги дві купки монет однакової величини. Якщо при цьому ваги виявилися в рівновазі, значить, всі монети на вагах справжні, а бракована монета в купці, що залишилася. Тоді при другому зважуванні на одну чашу вагів Буратіно покладе купку з бракованою монетою, а на другу – стільки справжніх монет, скільки всього монет він поклав на першу чашку, і тоді він відразу визначить, легше фальшива монета, чим справжня, чи важча. Якщо ж при першому зважуванні ваги виявилися не в рівновазі, значить, всі монети в купці, що залишилася, справжні. Тоді Буратіно прибере з вагів легку купку, а монети з важкої купки розділить на дві рівні частини і покладе на ваги (якщо в купці було 5 або 7 монет, заздалегідь додасть до них одну справжню монету). Якщо при другому зважуванні ваги виявилися в рівновазі, значить, фальшива монета легша справжніх, а якщо немає, то важча.

59

Є 10 монет. Одна з них фальшива і легша за справжню монету. Як, за допомогою чашкових вагів без гир, визначити яка з монет фальшива?

Розв’язання

Розділимо 10 монет на 2 рівних купки – по 5 монет. Покладемо на чаші вагів. Визначимо, в якій з цих купок знаходиться фальшива монета. Тепер цю купку ділимо на 3 купки – в двох з них по дві монети, в третій одна монета. Зважуємо купки, в яких по дві монети. Якщо ваги покажуть рівність, то фальшивка в третій купці. Якщо покажуть нерівність, то фальшива монета в купці, яка легше. Тепер кладемо на чаші вагів по 1 монеті з цієї купки – фальшивою є легша.

60

Є стандартні ваги з чашами та дві гирі: 10 і 2 кг. Як з їх допомогою зважити 3кг слив?

Розв’язання

Зважуємо спочатку 2 кг слив. Потім ділимо їх порівну і кладемо на ваги, 1 кг слив отримали. Маючи 1кг і гирю в 2 кг можна відміряти будь-яку іншу кількість кілограмів слив,  в тому числі і 3 кг.


2.Задачі на переливання

Задачу на переливання називають задачею Пуассона, це знаменитий французький математик, механік та фізик. Коли він був ще молодим та вагався у виборі життєвого шляху, приятель показав йому декілька задач, які сам не зміг розв’язати. Пуассон швидко розв’язав всі. Але особливо йому сподобалась задача про дві судини: «Дехто має 12 пінт виноградного соку(пінта це 0,568л) і хоче подарувати половину другу, але у нього лише дві порожні судини: одна -8, друга – 5 пінт. Яким чином налити в більшу судину 6 пінт?». «Ця задача визначила мою долю, - казав Пуассон. –Я вирішив, що обов’язково стану математиком»

Задачі на переливання допомагають розвивати логічне мислення, просторову уяву, витримку, наполегливість у знаходженні оптимального розв’язку. Традиційно в задачах на переливання судини не мають ділень, тобто переливати можна лише до тих пір, поки судина, в яку наливаємо, не заповниться до кінця, або доки зовсім не спустіє судина, з якої переливаємо. Просто так зупинитися на середині або розлити вміст судини на дві рівні частини теж не вийде.

61

Поряд з лабораторією протікає бурхлива річка. Як за допомогою двох посудин об'ємом 3 і 5 літрів відміряти рівно 4 літри річкової води?



Розв’язання

Крок

1

2

3

4

5

6

7



0

0

3

0

2

2

3



0

5

2

2

0

5

4

річка







+3













4 літра можуть поміститися лише в 5-літрову судину. Вони можуть бути отримані після доливання 1 літра до 3, 2 літрів до 2, 3 літрів до 1, або шляхом відливання від 5 літрів 1 літра. Щоб можна було відлити рівно 1 літр, потрібно, щоб в судині призначення було вільне місце рівно для 1 літра, тобто щоб в 3-літровій судині перед цим було 2 літри. Різницю об'ємів судин легко отримати: 2 літра виходять, якщо набрати повну 5-літрову судину і відлити з неї в порожню 3-літрову судину. Після цього їх треба перелити в 3-літрову судину, заздалегідь випорожнивши її назад в річку.

62



У великого алхіміка є нерозчинна колба, в якій міститься 12 мілілітров сірчаної кислоти, а також дві нерозчинні мензурки об'ємом 5 і 7 мілілітров. Як йому отримати дві порції по 6 мілілітров сірчаної кислоти, необхідних для досвіду? (Кислота розчинить будь-який інший посуд в лабораторії.)

Розв’язання

Крок

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

12ml

12

5

5

10

10

3

3

8

8

1

1

6

5ml

0

0

5

0

2

2

5

0

4

4

5

0

7ml

0

7

2

2

0

7

4

4

0

7

6

6

63



Одного дня Вінні-Пух захотів поласувати медом і пішов до бджіл в гості. По дорозі нарвав букет квітів, щоб подарувати бджілкам. Бджілки дуже зраділи, побачивши ведмедика з букетом квітів, і сказали: «У нас є велика бочка з медом. Ми дамо тобі меду, якщо ти зможеш за допомогою двох судин місткістю 3 л і 5 л налити собі 4 л!» Вінні-пух довго думав, але все-таки зміг розв’язати задачку. Як він це зробив?

Розв’язання

Крок

1

2

3

4

5

6

5 л

5

2

2

0

5

4

3 л

0

3

0

2

2

3

Або


Крок

1

2

3

4

5

6

7

8

5 л

0

3

3

5

0

1

1

4

3 л

3

0

3

1

1

0

3

0

64



Дядько Федір зібрався їхати до батьків в гості і попросив у кота Матроскина 4 л простоквашинського молока. А в Матроскина лише 2 порожніх бідона: трилітровий і п'ятилітровий. І восьмилітрове відро, наповнене молоком. Як Матроскину відлити 4 літри молока за допомогою наявних судин?

Розв’язання

Переливаємо з восьмилітрового відра 5 літрів молока в п'ятилітрове. Переливаємо з п'ятилітрового бідона 3 літри в трилітровий бідон. Переливаємо їх тепер у восьмилітрове відро. Отже, тепер трилітрове відро порожнє, у восьмилітровому 6 літрів молока, а в п'ятилітровому - 2 літри молока. Переливаємо 2 літри молока з п'ятилітрового бідона в трилітровий, а потім наливаємо 5 літрів з восьмилітрового відра в п'ятилітровий бідон. Тепер у восьмилітровому 1 літр молока, в п'ятилітровому - 5, а в трилітровому - 2 літри молока. Доливаємо трилітровий бідон з п'ятилітрового і переливаємо ці 3 літри у восьмилітрове відро. У восьмилітровому відрі стали 4 літри, так само, як і в п'ятилітровому бідоні.



Крок

1

2

3

4

5

6

7

8

8 л

8

3

3

6

6

1

1

4

3 л

0

0

3

0

2

2

3

0

5 л

0

5

2

2

0

5

4

4

65



У Карлсона є відро варення, воно вміщає 7 літрів. У нього є 2 порожніх відерка - 4-літрове і 3-літрове. Допоможіть Карлсону відлити 1 літр варення до чаю в менше (3-літрове) відерко, залишивши 6 літрів у великому (7-літровому) відрі.

Розв’язання

Крок

1

2

3

4

7 л

7

3

3

6

4 л

0

4

1

1

3 л

0

0

3

0

66



Тому Сойєру потрібно пофарбувати паркан. Він має 12 л фарби і хоче відлити з цієї кількості половину, але у нього немає судини місткістю в 6 л. У нього 2 судини: одна – місткістю в 8 л, а інша – місткістю в 5 л. Яким чином налити 6 л фарби в судину на 8 л? Яке найменше число переливань необхідно при цьому зробити?

Розв’язання

Крок

1

2

3

4

5

6

7

8

12 л

12

4

4

9

9

1

1

6

8 л

0

8

3

3

0

8

6

6

5 л

0

0

5

0

3

3

5

0

67



Губці Бобу терміново потрібно налити з водопровідного крану 6 л води. Але він має лише дві судини: 5-літрову і 7-літрову. Як йому це зробити?

Розв’язання

Крок

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7 л

7

2

2

0

7

4

4

0

7

6

5 л

0

5

0

2

2

5

0

4

4

5

68



Влітку Вінні-Пух зробив запас меду на зиму і вирішив розділити його навпіл, щоб з'їсти половину до Нового Року, а іншу половину - після Нового року. Весь мед знаходиться у відрі, яке вміщає 6 літрів, у нього є 2 порожніх банки - 5-літрова і 1-літрова. Чи може він розділити мед так, як задумав?

Розв’язання

Крок

1

2

3

4

5

6

6 л

6

1

1

2

2

3

5 л

0

5

4

4

3

3

1 л

0

0

1

0

1

0




  1. Практичний матеріал

Задачі для самостійного розв’язування

 №69

Є 68 монет, всі вони різні по вазі. Як за 100 зважувань знайти найлегшу і найважчу?

70

У вас 10 мішків з монетами, по 1000 монет в кожному. У одному з мішків всі монети фальшиві. Справжня монета важить 1г., фальшива – 1,1г.. Маючи точні ваги, як визначити мішок з фальшивими монетами за допомогою лише одного зважування? А якщо невідомо, скільки мішків було з фальшивими монетами?

71

На різдвяній ялинці висять три пари кульок: дві білі, дві блакитні і дві червоні. Зовні кульки однакового розміру. Проте в кожній парі є одна легша і одна важча кульки. Всі легші кульки важать між собою однаково, як і всі важчі кульки. За допомогою двох зважувань на чашкових вагах визначите всі легші і всі важчі кульки.

72

Є дев'ять мішків: вісім з піском і один – із золотом. Мішок із золотом лише ледве важче. Вам дається два зважування на чашкових вагах, щоб знайти мішок із золотом.

73

Є 27 тенісних кульок. 26 важать однаково, а 27-й важчий. Яка мінімальна кількість зважувань на чашкових вагах гарантує знаходження важчої кульки?

74

Відміряйте рівно 4 літри, якщо у вас є 3-літрова банка, 5-літрова банка і необмежений доступ до води.

75

Є 8-літрова судина, заповнена водою, і дві порожні судини – об'ємом 5 і 3 літри. Як розділити воду на дві рівні частини (4 і 4 літри), використовуючи найменшу кількість переливань?

76

Є 7-літрова судина, заповнена водою, і два порожніх – об'ємом 4 і 3 літри.

Поділите воду на 2, 2 і 3 літри, використовуючи мінімальну кількість переливань.

77

Дано 3 судини: судина А (8-літровий з 5-у літрами води); судина В (5-літровий з 3-мя літрами води); і судина С (3-літровий з 2-мя літрами води). Відміряйте 1 літр, переливши воду лише двічі.

78

Відміряйте 6 літрів води, використовуючи 4 і 9-літрові судини.

79

Відміряйте 2 літри води, використовуючи:

1) 4 і 5-літрові судини;

2) 4 і 3-літрові судини.



Увага!

Повний розв’язок задач № 69-79 необхідно надіслати до 18:00 12.06.2013 на електрону скриньку mathschool.13@gmail.com


Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет