Теорема эйлера. Теорема о пяти красках
жүктеу/скачать 114.27 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА §4. Теорема Эйлера. Теорема о пяти красках
|
Проблема четырех красок эквивалентна задаче о правильной нумерации границ тремя цифрами. Эта эквивалент- ность устанавливается теоремой Волынского¹): Нормальную карту можно правильно раскрасить четырьмя красками в том и только в том случае, если ее границы можно правильно занумеровать тремя цифрами. Доказательство этой теоремы вытекает из задач 43-45. Нам будет удобнее не раскрашивать страны четырьмя красками, а нумеровать их четырьмя номерами; в качестве таких номеров мы возьмем пары чисел (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Пары эти можно почленно складывать; чтобы при этом не выйти за пределы введенных нами четырех пар, следует получающиеся при сложении числа заменять остатками от деления их на 2, например (1, 0)+(1, 0)=(0, 0), (0, 1)+(1, 1) = (1, 0). 43. Доказать, что если нормальную карту можно правильно раскрасить четырьмя красками, то ее границы можно правильно занумеровать тремя номерами. 44. Границы нормальной карты правильно занумерованы тремя номерами (0, 1), (1, 0), (1, 1). Лалья обошла ряд стран этой карты и вернулась в исходную страну. Докажите, что если мы сложим номера всех границ, которые ладья пере- секла на своем пути, то в результате получим (0, 0). 45. Границы нормальной карты правильно занумерованы тремя номерами. Докажите, что ее можно правильно раскрасить четырьмя красками. 46. Пусть в нормальной карте число границ каждой страны делится на 3. Используя теорему Волынского, до- кажите, что ее можно правильно раскрасить четырьмя красками. В конце следующего параграфа, после того как читатель познакомится с теоремой Эйлера, проблема четырех красок будет решена для карт с числом стран, меньшим двенадцати. Владимир Викторович Волынский (1923—1943 гг.) - талантливый молодой математик. С 1939 по 1942 г. учился на Механико-математическом факультете МГУ. В 1943 г. погиб на фронте Великой Отечественной войны. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА §4. Теорема Эйлера. Теорема о пяти красках Границы некоторой страны могут распалаться на несколько контуров (рис. 38, а и б). Однако в этом случае, как видно из рисунков, страна будет обязательно разделяющей и, следовательно, карта - несвязной. Если же ограничиться связными картами, то границы каждой страны образуют один контур, похожий на контур прямолинейного многоугольника и отличающийся от последнего только тем, что участки между вершинами будут, вообще говоря, криволинейны. (В от- дельных точках этот контур может быть склеен сам с собой, как показано на рис. 39.) Воспользовавшись этим сходством между странами связной карты и обычными многоугольниками, мы докажем знаменитую теорему Эйлера): Пусть s - число стран, v - число вершин и g - число границ связной карты. Тогда s+v=g+2. 1) Леонард Эйлер (1707-1783 гг.) — один из крупнейших математиков, член Петербургской академии наук. жүктеу/скачать 114.27 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|