Теорема Вейерштрасса. №2. Теорема

№5. Теорема Коши.


№6. Теорема Тейлора.(Брук Тейлор, 1685-1731).



1.Остаточный член ф. Тейлора в форме

Шлёмильха- Роша:



2.Остат. член ф. Тейлора в форме Лагранжа:



(p=n+1)

3.Остат. член ф. Тейлора в форме Коши:



(p= 1)
4.Остаточный член ф. Тейлора в форме Пеано:

при. (5)

№7 Локальный экстремум ФНП.

Теорема (Необходимые условия экстремума).

1) - точка локального экстремума ,

2) ,





Теорема Достаточные условия строгого экстремума.





1) если является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то - точка строгого локального минимума (максимума) функции ;



2) если квадратичная форма является неопределенной, (знаконеопределенной), то в точке нет экстремума.

№8. Интеграл Римана. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

№9. Теория поля (основные определения: поток,работа,циркуляция,дивергенция,ротор).

Криволинейный и поверхностный интегралы 2-го рода.

- векторное поле, (векторная функция а векторного аргумента М, (, обычно М(х,у,z)).
Поток ВП через ориентированную кусочно-гладкую поверхность (T-область) .

(Если - поле скоростей жидкости, то количество жидкости, протекающей через за единицу времени в направлении

вектора нормали к поверхности (задающего ориентацию поверхности)).
Дивергенция (расходимость) векторного поля ,

.

Дивергенция ВП в точке М (инвариантное определение)

, V –объем тела Т,

предел отношения потока ВП через малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при стремлении диаметра Т к нулю.

1.8 Функциональные ряды.

(1)

ФР сх. равномерно на Х , если сх. равномерно на Х.



Теорема 1.(Критерий Коши равномерной сх-ти.)

сх. р. на Х


Теорема 2. (Признак Вейерштрасса.)

- сходящийся ЧР:



сх. р. и абс. на Х

/ЧР - знакоположительный, мажорирующий ФР /

Теорема 3,4. Признаки равн. сх-ти Дирихле и Абеля. (Можно дополнительно рассмотреть).
Свойства равномерно-сходящихся ФР:
Теорема 5. (непрерывность суммы ФР)

Если а) ,

б) ,



.
Д-во: (,)
!!!Пр.
Теорема 6. (почленное интегрирование ФР)
Если а) ,

б) ,

Теорема 7. (почленное дифференцирование ФР)

Если а) ,

б) (хотя бы в одной точке Х),

в),

1) ,

2) ,

3)

Теорема 8. Т.Дини. (дополнительно)

Пусть а) , Х=comp,

б),

в) ,

тогдаравномерно на Х.


1.9 Степенные ряды.

(2)
(3)

Теорема Абеля. (Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)
Если ФР (2) сходится при

(2) сходится, причем, абсолютно,.

Следствие:

Область расходимости	Область сходимости	Область расходимости
		X

Лемма Коши-Адамара.

Область сходимости СР имеет вид ,

где

или
P.S. Область сходимости СР имеет вид ,

где

или
P.P.S. При и проверяется сходимость ЧР(3)


Разложение функции в СР.



СР (6) называется рядом Тейлора ф-ции f с центром в точке .
-

многочлен Тейлора.

Если , то говорят, что f разложима в ряд Тейлора с центром в т. .
Теорема 1. (Необходимое условие.)








Теорема 2. (Достаточное условие.)
1)

2)



f разложима в ряд Тейлора (6).