Теріс сандардың дамуы

6 Ә, № 76 Ә. Бөкейхан атындағы орта мектеп,

Қарағанды қаласы.
Жетекші: Шерубаева Г.Ж.

1. 
   Кіріспе:
   

Натурал сандар нәрселерді санау нәтижесінде пайда болғандағы мәлім. Адамға шамаларды өлшеу қажет болғандығының және өлшеу нәтижесі әр дайым бүтін сандармен өрнектеле бермейтігінің салдарынан натурал жиынтығын ұлғайтуға тура келеді.

Сан ұғымының тарихи даму процесі мұнымен аяқталмайды.Алайда сан ұғымының ұлғайуына әр дайым алғашқы түрткі болып табылған жағдай адамдардың тек практикалық қажеті ғана емес еді. Математикалық өз міндет-мақсаттары сан ұғымының ұлғайуын талап еткен жағдайларда болған. Теріс сандар ұғымы алгебралық теңдеулерді шешу практикасында пайда болды.

Натурал сандар жиынын бөлшек сандарға жеткізе ұлғайтқаннан кейін кез-келген бүтін санды басқа бір бүтіннен азайту көпке дейін мүмкін емес болып көрінеді. Алайда теңдеулерді шешкенде аз саннан көп санды азайтуға тура келетін жағдай жиі кездесетін, сондықтан теріс сан ұғымына талап болуға тура келетін.

Мысырлықтармен вавилондықтар түгіл, ежелгі гректерде теріс сандарды білмеген. Теріс сан ұғымы сызықтық теңдеулер системасын шешкенде пайда болады.Есептеп шығару жұмысымен шұғылданғанда ол кездегі математиктер есептеу тақтасымен шұғылданған, ал бұл тақтада сандар есептеу таяқшалары арқылы кескінделген. Ол уақытта + және – таңбалары болмағандықтан, оң сандарды қызыл түсті таяқшалармен, ал теріс сандарды қара таяқшалармен кескіндеп көрсеткен. Теріс сандарды көп уақыт бойы “борыш” ,“кемшін” мағынасындағы сөздермен атаған. Тіпті VII ғасырдың өзінде Үндістанда оң сандарды мүлік, теріс сандарды борыш ретінде қарастырған, оларға амалдар қолдана білген.

Арифметикалық есептеулер жүргізу, теңдеулер шешу, алгоритмдер жасау барысында Қытай математиктері математика тарихында тұңғыш рет теріс сандар ұғымын енгізді. Олар теңдеудің оң, теріс коэффиценттерін және сандардың оң, терісін ажырату үшін әр түрлі таяқшалар мен таңбалар пайдаланған. Қытай математиктері теріс сандарды қосу, азайтудың қарапайым ережелерін тағайындады. Математикаға теріс таңбаны енгізу және оларға амалдар қолдану ережесін тағайындау жалпы сандар жөніндегі ілімнің қалыптасуына мол үлесін қосты. Қазір теріс сандар бүтін сандардың бір бөлігі.

Диофанттан Бхаскараға дейін.

Ежелгі грек математигі Диофант ІІІ ғасырдың өзінде-ақ мынадай түрлендіруде: (4х-3)(2х-3)=4х-12х+9 теріс сандарды көбейту ережесімен іс жүзінде пайдаланған болатын.

Алайда Диофант -3-ті жеке бір дербес сан деп қарастырмай, тек «азайтқыш» деп,ал кез-келген оң санды «қосылғыш» деп қана қарастырған. Көбейту ережесін ол былайша тұжырымдады: «Қосылғышқа көбейтілген азайтқыш нәтижесі азайтқыш; азайтқышты азайтқышқа көбейткенде қосылғыш шығады.» Дербес теріс сандардың болатындығын Диофант мойындамаған, ал теңдеулерді шешкенде теріс шешім шықса, оны «жарамсыз» деп біліп, ескермейтін.

Теріс сандарға үнді математиктері мүлде басқаша қараған. Олар теңдеулерді теріс шешімдері болуын мойындаған, теңдеу шешімдеріне төрт амалдың барлық ережелерін қолдана отырып, оң сандарды мүлік деп, теріс сандарды борыш деп мойындаған, алайда тиісті теориялық негіздеме келтірмеген. «Нөл» ұғымын тұңғыш рет енгізген - үнділер.

Біздің эрамыздың VII ғасырында өмір сүрген үнді математигі Брахмагупта баяндаған қосу және азайту ережелері мынандай:

Үнді математигі Бхаскара көбейту және бөлу ережелерін былайша тұжырымдаған: «Екі мүліктің немесе екі борыштың көбейтіндісі мүлік болады; мүліктің борышқа көбейтіндісі зиян болады.Бұл ереже бөлуге де қолданылады.»

Алайда, есептерді теңдеулер құру арқылы шығарғанда теріс сандар кеңінен пайдаланылып отырғанына қарамастан, Үндістанда теріс сандарды ерекше бір,онша нақты деуге келмейтін сандар деп есептеп, оларға азды-көпті күмәндана қараған.

Европалық математиктер де теріс сандарды көп уақытқа дейін мақұлдамады, өйткені олар бұл сандарды «мүлік-борыш» деп түсінуге таңырқай да күмәндана қарады. Расында да, мүліктерді, борыштарды «қосуға» немесе «азайтуға» болар, ал мүлікті борышқа «көбейтудің» немесе «бөлудің» қандай нақты мағынасы болмақ.

Міне сондықтан да теріс сандардың математика саласында тиісті орнын алуы өте қиын болды.

Европада теріс сандар тіпті Леонардо Фибоначчи (XII-XIII ғасырлар) еңбегінде аздап сөз болғанды. Европаның XIV-XV ғасырлардағы басқа да ғалымдары теріс сандарды азды-көпті қолданған және «борыш» ретінде қарастырған; алайда ғалымдардың көпшілігі бұл жаңа сандарды «жалған» сандар деп атап, оларды «ақиқат» оң сандардан өзгеше қарастырған.

Бұл көзқарас неміс математигі Михаил Штифель 1544 жылы теріс сандарға «жоқтан кем », яғни нольден кем сандар деп жаңа анықтама бергеннен кейін де көп өзгере қойған жоқ.. Бұл көзқарас теріс сандарға теориялық негіздеме беру ісіндегі алға басқан қадам болып табылғанына қарамастан, жаңа сандар табиғатына адамдар «жоқтан кем» шама болады деген ойға кәнігі бола алмады. Штифельдің өзі: «Ноль ақиқат сандар мен абсурд сандардың аралығында болады»-деп жазды.

XVII ғасырда математика, механика, астрономия кең өрістеп дамыды.Теріс сандарды қолдану нәтижесінде математикалық есептеу жұмысы едәуір жеңілденді де, ол сандардың математикадағы мәні барған сайын арта түсті. XVII ғасырдың 20-шы жылдарының өзінде Стевин шәкірті,фламанд математигі А. Жирар теңдеулерді шешкенде теріс шешімдерді де ескеріп отырды және теріс сандарды оң сандармен қатар пайдаланды.

Француз математигі, физигі, философы Декарттың 1637 жылы басылып шыққан «Геометрия» деген атақты шығармасында оң сандар мен теріс сандардың геометриялық түсініктемесі баяндалады; оң сандар сан осінің бойында, бас нүкте нольдің (0) оң жағында жатқан нүктелермен, ал теріс сандар нольдің сол жағында жатқан нүктелермен кескінделеді.

Оң және теріс сандарға геометриялық түсініктеме беру теріс сандар табиғатын айқынырақ түсінуге және олардың барлығын мойындауға септігін тигізді. Теңдеулердің оң және теріс шешімдерін қарама-қарсы бағытталған кесінділермен кескіндеп көрсетуі арқылы Декарт бұл шешімдерді тең праволы, бірдей нақтылы деп есептейтіндігін әйгілейді, бірақ сонда да дәстүр бойынша олардың біреулерін ақиқат,екінші біреулерін жалған деп бұрынғыша атай берді.

Алайда, теріс сандарды көбейту және бөлу ережелері әлі де сипатталып негізделмегендіктен, тіпті XVIII ғасырдың өзінде ғалымдардың теріс сандарды да, оң сандар сияқты, өздігінше бар сандар деп тану жөніндегі таласы аяқтала қойған жоқ еді. Теріс сандарды осылайша танып мойындауды, атап айтқанда, Ньютон, Эйлер және ол кездегі орыс математиктерінің барлығы дерлік жақтады. Теріс сандарды жұрт XIX – ғасырдың бірінші жартысында оң және теріс бүтін сандардың дәйекті қатаң теориясы дамыған кезде жаппай танып мойындады.

Шығыс елдерінде, әсіресе, Орта Азияда келешек ұрпаққа деген ғылымның шамшырағын тұтатқан ірі ғалымдар өмір сүрген. Солардың бірі Мұхамед әл-Хорезми. Ол математика және астрономия салалары бойынша құнды еңбектер қалдырған. Олардың ішінде мәні болған еңбегі «Үнді есебі» деп аталады.

Әл-Фарабидің сандардың шығуы және оларға амалдар қолданудың табиғи төркіні туралы «Ғылымдар тізбегі» деп аталатын еңбегінде сан екенін атап көрсетеді.

Леонардо Пизанский «Арифметика» (1202 ж.) еңбегінде Еуропада бірінші болып теріс сандарды енгізеді.

Ян Видман 1489ж. басылып шыққан «Барлық сауда адамдарына арналған тез және әдемі есеп-қисап» деген еңбегінде бірінші рет қосу үшін «плюс» және азайту үшін «минус» таңбаларын қолданады.

Қорытынды:

Математиканы оқығанда, әрбір тақырыпты өткенде мені математика тарихы қызықтырды. Сабақта немесе сабақтан тыс уақытта математика тарихына тиісті мәлімдемелерді, көрнекті математиктердің өмірбаянымен,ғылыми еңбектерімен танысқан қызықтырды. Мектеп оқулықтарында мұндай мәліметтер аз. Осындай мәліметтерді жинау барысында математиканы оқып үйренуге, ақыл-ой өрісіміздің кеңеюіне ықпал болады деп ойлаймын.

Мен келешекте де өзімді қызықтырған математика жайлы, көрнекті математиктер өмірбаяны жайлы ізденіп жұмыс жасаймын.

Пайдаланған әдебиеттер:
1. Г.И.Глейзер «Мектептегі математика тарихы».

2. «Математика в школе» журналы.

3. А.П.Юшкевич «Ерте замандағы математика тарихы».

4. Б.Л. Лаптев, Н.И. Лобачевский.