Траектория движение тела, брошенного под углом к горизонту с учетом сопротивления ветра

1. 
   1. Актуальность исследования (почему данная тема взята автором для исследования).
   
2. 
   На протяжении всей истории человечества в многочисленных войнах враждующие стороны, доказывая свое превосходство, использовали сначала камни, копья и стрелы а затем снаряды и бомбы.
   
3. 
   Успех сражения во многом определялся точностью попадания в цель. При этом точный бросок камня, поражение противника летящим копьем или стрелой фиксировалось воином визуально. Это позволяло (при соответствующей тренировке) повторять свой успех в следующем сражении.
   
4. 
   Значительно возросшая с развитием техники скорость и соответственно дальность полета снарядов и пуль сделали возможными дистанционные сражения. Однако разрешающей способности глаза было недостаточно для точного попадания в цель.
   
5. 
   До XVI века артиллеристы пользовались таблицами, в которых на основе практических наблюдений были указаны углы, ветер, дальность полета, но меткость попадания была очень низкой. Возникла проблема научного предсказания - как достигнуть высокой меткости попадания снаряда.
   
6. 
   Впервые разрешить эту проблему удалось великому астроному и физику Галилео Галилею, исследования которого стимулировали появление баллистики (от греческого слова ballo - бросаю).
   
7. 
   Известно, что на дальность полета планирующих снарядов (диск и копье) сильное влияние оказывают наличие ветра и угол атаки при полете снаряда. Встречный и попутный ветер необходимо учитывать и при метании спортивных орудий. Разница в дальности полета молота из-за влияния внешних условий может составлять 4-6 м.
   
8. 
   Прогресс в конструировании оружия привел к тому, что в наши дни артиллерийские орудия стреляют 90-килограммовыми снарядами на расстояния более 40 км, противотанковые снаряды способны пробивать стальную броню толщиной 50см, а управляемые ракеты могут доставить исчисляемую в тоннах боевую нагрузку в любую точку земного шара.
   

Результатом проектной деятельности будет создание математической модели тела, движущегося в поле тяготения Земли, без учета его вращения вокруг собственной оси в программе Microsoft Office Excel.

В условиях данной модели тело рассматривается как некоторый шар, движущийся в поле тяготения Земли, при этом не учитывается его вращение вокруг собственной оси.

Модель позволяет изменять:

• 
  начальную скорость;
  
• 
  начальную высоту;
  
• 
  угол направления движения тела.
  
• 
  скорость ветра относительно земли
  

С помощью данной модели я постараюсь решить экспериментально первую задачу, которую ставил некогда перед собой Галилео Галилей, т. е. попытаюсь выяснить, какова форма траектории баллистического движения и как зависит дальность полета тела от силы сопротивления, скорости и направления ветра.

Описать траекторию полета тела, определив положение центра масс и его пространственное положение в функции времени полета (времени после запуска).

Меняя начальную скорость, начальную высоту, угол направления движения тела, скорость ветра относительно земли, построить графики зависимости дальности и высоты полета тела от этих параметров в программе Microsoft Office Excel.
4.Выдвижение гипотезы. ( Каким может быть предположительный ответ?)

• 
  При любых значениях угла, высоты, скорости движения снаряда форма траектории остается неизменной.
  
• 
  Дальность полета тела зависит от силы сопротивления воздуха, которая пропорциональна квадрату скорости движения тела.
  
• 
  Чем больше скорость ветра, тем ближе к исходной точке падает тело. Попутный ветер увеличивает дальность траектории, а встречный ветер - уменьшает дальность броска при одинаковой начальной скорости.
  

Для создания модели тела, движущегося в поле тяготения Земли, необходимо изучить теоретический материал по теме «Баллистика»:

1. 
   Баллистическое движение в поле тяготения Земли.
   
2. 
   Движение снаряда в воздухе.
   
3. 
   Основные причины сопротивления воздуха полету:
   

• 
  вязкость воздуха;
  
• 
  баллистические волны;
  
• 
  влияние ветра, плотности воздуха и атмосферного давления на траекторию полета.
  

Главной задачей научной баллистики является математическое решение вопроса о зависимости кривой полета (траектории) брошенных и выстреленных тел от ее факторов (силы пороха, силы тяжести, сопротивления воздуха, трения). Для этой цели является необходимым знание высшей математики, и добытые таким путем результаты представляют ценность только для людей науки и конструкторов оружия

Разработка и проектирование видов и систем баллистического оружия основываются на применении математики, физики, химии и конструкторских достижений для решения многочисленных и сложных задач баллистики. Основателем современной баллистики принято считать И.Ньютона (1643–1727). Формулируя законы движения и рассчитывая траекторию материальной точки в пространстве, он опирался на математическую теорию динамики твердого тела, которую разработали И.Мюллер (Германия) и итальянцы Н.Фонтана и Г.Галилей в 15 и 16 вв. .

Истоки баллистики теряются в древности. Самым первым ее проявлением было, несомненно, метание камней доисторическим человеком. Такие предшественники современного оружия, как лук, катапульта и баллиста, могут служить типичным примером самых ранних видов применения баллистики. Прогресс в конструировании оружия привел к тому, что в наши дни артиллерийские орудия стреляют 90-килограммовыми снарядами на расстояния более 40 км, противотанковые снаряды способны пробивать стальную броню толщиной 50 см, а управляемые ракеты могут доставить исчисляемую в тоннах боевую нагрузку в любую точку земного шара.

Движением снарядов в пространстве между пусковой установкой и целью занимается внешняя баллистика. Когда снаряд приведен в движение, его центр масс прочерчивает в пространстве кривую, называемую траекторией.

Основная задача внешней баллистики и состоит в том, чтобы описать эту траекторию, определив положение центра масс и пространственное положение снаряда в функции времени полета (времени после запуска). Для этого нужно решить систему уравнений, в которых учитывались бы силы и моменты сил, действующие на снаряд.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как суперпозицию двух независимых движений: равномерного движения по горизонтали и равноускоренного движения тела, брошенного вертикально вверх (рис. 1)

Выражая проекции скорости и координаты через модули векторов, решиу задачу для случая х₀=0 и y₀=0.

Для того, чтобы получить уравнение траектории, нужно время t из уравнения через координату x и подставить в уравнение для y:

Получилась квадратичная зависимость между координатами. Значит траектория - парабола.

В этом случае предполагается, что на тело не действуют никакие другие силы, кроме земного тяготения и оно движется в вакууме над плоской неподвижной земной поверхностью. Согласно первому закону Ньютона, при отсутствии действия на тело внешних сил оно будет двигаться прямолинейно и равномерно вдоль оси ОХ. Такая ситуация возможна при стрельбе из артиллерийских орудий в глубоком космосе, вдали от источников тяготения при пренебрежимо малом сопротивлении межзвездной среды. Однако такая возможность на текущий момент возможна лишь в фантастической литературе

Движение снаряда в воздухе

Для сугубо земных практических условий стрельбы снаряд выпускается под некоторым углом бросания к горизонту и во время его движения на него действуют сила тяжести и аэродинамическая сила. Первая направлена к земной поверхности и сообщает снаряду ускорение, направленное вертикально вниз. Так как размеры снаряда много меньше преодолеваемой им дистанции, то его движение можно рассматривать как движение материальной точки по кривой, называемой траекторией полёта. Снаряд рассматривается как материальная точка, и учитываются его лобовое сопротивление (сила сопротивления воздуха, действующая в обратном направлении по касательной к траектории и замедляющая движение снаряда), сила тяжести, скорость вращения Земли и кривизна земной поверхности. (Вращение Земли и кривизну земной поверхности можно не учитывать, если время полета по траектории не очень велико.)

Сопротивление воздуха полёту вызывается тремя основными причинами:

• 
  вязкостью воздуха,
  
• 
  отрывом пограничного слоя с образованием завихрения,
  
• 
  образованием баллистической волны.
  

Вязкость воздуха объясняется наличием внутреннего сцепления между частицами воздуха. При движении снаряда происходит следующее явление. Частицы воздуха, непосредственно примыкающие к снаряду, вследствие сцепления с его поверхностью, движутся со скоростью снаряда. Следующий слой частиц воздуха в результате внутреннего сцепления также приходит в движение, но уже с несколько меньшей скоростью. Движение этого слоя передаётся следующему, и так до тех пор, пока разность скоростей частиц не станет равной нулю. Образуется так называемый пограничный слой (рис. 2).

Рис. 2.

В пограничном слое возникают касательные напряжения, которые можно отнести к силам трения. На их преодоление расходуется часть энергии снаряда, что и приводит к уменьшению скорости его полёта

При движение снарядов со скоростью меньшей скорости звука эти уплотнения, распространяясь во все стороны, "обгоняют" снаряд и уходят вперёд, не оказывая на него особенного влияния (рис. 3).

рис. 3. При дозвуковых скоростях: .

рис. 4 Схема распространения уплотнений воздуха перед снарядом при сверхзвуковых скоростях: .

Для преодоления такого большого давления у головной части расходуется наибольшая часть энергии снаряда, что приводит к резкому уменьшению скорости его полёта.

Суммарная сила сопротивления, образующаяся вследствие вышеуказанных причин, и есть полная аэродинамическая сила. Сила сопротивления движению пропорциональна квадрату скорости тела (табл.1, рис.5)

Табл.1.

скорость снаряда	10,00	15	20,00	25	30,00	35	40,00	45	50,0	55	60,0
сила сопротивления движению	3,16	3,87	4,47	5,00	5,48	5,92	6,32	6,71	7,07	7,42	7,75

рис. 5

Влияние ветра

Ветер оказывает значительное влияние на полёт снарядов. Это влияние тем больше, чем больше скорость (рис. 6) ветра и меньше вес и скорость снарядов. В зависимости от скорости ветра различают:

 Ветер может быть попутным, встречным, направленным под углом к плоскости стрельбы. Влияние продольного ветра на движущийся снаряд сводится к изменению сопротивления воздуха вследствие изменения скорости снаряда по отношению к атмосфере: При попутном ветре сопротивление воздуха уменьшается, так как, согласно правилу сложения скоростей Галилея, относительная скорость снаряда меньше его начальной скорости. При встречном – сила сопротивления движению возрастает (рис.7).

Табл. 2

скорость ветра, м/с	1,00	2,00	3,00	4,00	5,00	6,00	7,00	8,00	9,00	10,00	11,00	12,00
Относительная скорость тела при попутном ветре, м/с	36,33	35,33	34,33	33,34	32,34	31,35	30,35	29,36	28,36	27,37	26,37	25,38
Относительная скорость тела при попутном ветре, м/с	38,32	39,32	40,31	41,31	42,31	43,31	44,30	45,30	46,30	47,30	48,29	49,29
Сила сопротивления при попутном ветре, Н	343,08	324,51	306,47	288,95	271,94	255,46	239,49	224,05	209,13	194,7	180,8	167,4
Сила сопротивления при встречном ветре, Н	381,76	401,89	422,53	443,70	465,38	487,58	510,31	533,55	557,32	581,6	606,4	631,7

Неверно представлять себе действие, например, попутного ветра на снаряд как "подталкивание" снаряда.

Ветер имеет скорость гораздо меньшую, чем снаряд, не может даже "догнать" снаряд, так что о подталкивании не может быть и речи. При попутном ветре сопротивление воздуха уменьшается, поэтому дальность полёта снарядов увеличивается; при встречном ветре дальность полёта уменьшается (рис.8).

рис.8.

При стрельбе из артиллерийских орудий, особенно на средние и большие дальности, существенное влияние на дальность полёта снаряда оказывает продольный ветер.

Наиболее существенным из всех метеорологических факторов, влияющих на полёт снарядов, мин и пуль, является боковой ветер. Боковой ветер отклоняет снаряды в сторону от плоскости стрельбы, причём отклонения могут достигать даже при умеренном ветре значительных величин.

Влияние плотности воздуха

Значительное влияние на дальность полёта снаряда оказывает плотность воздуха, которая увеличивает или уменьшает сопротивление воздуха. Плотность воздуха зависит от его температуры, атмосферного давления и влажности. Чем выше температура воздуха, тем меньше его плотность и, следовательно, меньше сила сопротивления воздуха. Поэтому с повышением температуры снаряд полетит дальше. И, наоборот, чем ниже температура, тем больше плотность воздуха, тем ближе полетит снаряд при всех прочих равных условиях Чем меньше будет плотность воздуха, тем меньше будет и сила сопротивления воздуха.

С увеличением атмосферного давления плотность воздуха увеличивается, и, следовательно, увеличивается сила сопротивления воздуха. С понижением давления уменьшается плотность воздуха, уменьшается сопротивление, и снаряды имеют большую дальность полёта.

За нормальное атмосферное давление принято давление, равное 750 мм ртутного столба на высоте 110 м над уровнем моря.

С увеличением высоты над уровнем моря на каждые 100 метров давление падает на 8 - 9 мм ртутного столба.

Величина силы сопротивления воздуха, а, следовательно, и интенсивность воздействия на снаряд, может значительно превосходить силу тяжести. Эта разница тем больше, чем меньше вес снаряда и больше скорость его полёта. При этом необходимо отметить, что величина силы сопротивления возрастает особенно резко при движении снарядов со скоростями, превышающими скорость звука.

Вследствие значительной сложности такого явления, как сопротивление воздуха, до сих пор нет полной теоретической зависимости, выражающей величину силы сопротивления.

Из повседневной практики известно, что поток газа действует на тело, помещенное в этот поток, с некоторой силой, названной силой лобового сопротивления. Эта сила возрастает с увеличением скорости потока. Результирующая сила давления, действующая на шар в направлении потока, будет пропорциональна динамическому напору и площади поперечного сечения шара . Хорошей иллюстрацией к возникновению силы лобового служат представленные в таблице величины коэффициентов лобового сопротивления тел различной формы

Табл. 3

	тело	Сx
	диск	1,11
	полусфера	1,35...1,40
	полусфера	0,30...0,40
	шар	0,4
	каплевидное	0,045
	каплевидное	0,1

Существует ряд эмпирических формул для выражения силы сопротивления воздуха. Приведу одну из них:

F_сопр = к_x r V² S_мид/ 2.

Коэффициент лобового сопротивления C_x зависит от числа Рейнольдса C_x = f (Re). Число Рейнольдса Re = r V d / m, где m =1,01∙10^-3 кг/м с - коэффициент динамической вязкости воздуха. Для условий (V₀ = 30 м/с, r = 1,2 кг/м³, d = 12 см) получаем значение числа Re " 5,3∙10³. Для тела в форме шара по графику C_x = f(Re) из монографии (Г. Шлихтинг "Теория пограничного слоя" (табл 3) находим значение C_x=0,4-0,45. Максимальное значение силы сопротивления в момент выброса снаряда (V₀ = 30 м/с) равно

F_сопр0 = 0,4∙1,2∙30²∙1,13∙10^-2/2=2,75 Н.

Вообще, коэффициент лобового сопротивления снаряда можно определить экспериментально в аэродинамической трубе или на испытательном полигоне, оснащенном точным измерительным оборудованием. Задача облегчается тем, что для снарядов разного диаметра коэффициент лобового сопротивления одинаков, если они имеют одинаковую форму.

Пусть составляющие силы сопротивления (Fсопр x , Fсопр y) остаются постоянными во время движения и равными максимальным значениям силы сопротивления для тела в начальный момент времени (рис.9). Эти два допущения оказывают противоположное действие на конечный результат, частично компенсируют друг друга и существенно облегчают решение уравнений движения. При названных допущениях движение снаряда вдоль оси ОХ будет равнозамедленным с ускорением a_x = - Fсопр x / m; вдоль оси ОУ - равнозамедленным до вершины подъема с ускорением a_y = - g - Fсопр y/m и равноускоренным после вершины подъема с ускорением a_y = + g - Fсопр y/m. Это обстоятельство позволяет целиком выполнить кинематический расчет траектории движения снаряда.

рис. 9.

m a_x = - F_{сопр x}, где F_{сопр x} = F_сопр∙cosβ;

m a_y = - mg - F_{сопр y}, где F_{сопр y} = F_сопр∙sinβ.

a_x = - F_{сопр x}/ m

a_y = - (g + F_{сопр y}/ m)

Уравнения движения будут иметь вид:

x=x_о+v_оxt- F_{сопр x} t²/2m

y=y_о+v_оyt- (g + F_{сопр y})t²/2m

Запишу уравнение траектории движения снаряда с учетом силы сопротивления воздуха.

Сравню траектории движения снаряда в условиях наличия и отсутствия сил сопротивления (табл. 4, рис. 10).

Из таблицы видно, что наибольшему коэффициенту лобового сопротивления соответствует меньшая дальность полета и высота подъема.

Объектами баллистического исследования являются: огнестрельное оружие, отдельные его части, заготовки деталей оружия, различные стреляющие устройства, боеприпасы, инструменты и материалы, используемые для изготовления деталей оружия и боеприпасов, предметы с пробоинами от снарядов и с отложившимися на них продуктами. Кроме того, объектами такого исследования могут быть предметы спортивного инвентаря – мячи, ядра, диски, копья и т.д.

Всегда считалось, даже специалистами, что на дальность полета планирующих снарядов (диск и копье) сильное влияние оказывают наличие ветра и угол атаки при полете снаряда. Для снарядов с большой массой (ядро и молот) эти факторы во внимание не принимались. Однако, встречный и попутный ветер необходимо учитывать и при метании спортивных орудий. Разница в дальности полета молота из-за влияния внешних условий может составлять 4-6 м.

На основе всех проделанных опытов можно сделать окончательный вывод об изменении формы траектории баллистического движения.

Изменив все параметры, я убедился, что, при любых значениях угла, высоты, скорости движения снаряда форма траектории остается неизменной.

Дальность полета тела зависит от силы сопротивления воздуха, которая пропорциональна квадрату скорости движения тела.

1. 
   Шапиро Я.М. Внешняя баллистика. М., 1946
   Серебряков М.Е. Внутренняя баллистика. М., 1949
   
2. 
   Физика. Учебник для 10 класса./Г.Я.Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н.Сотский. –М. Просвещение, 2006. – 366 с.
   
3. 
   Информатика. 7- 9 класс. Практикум-задачник по моделированию/ под ред. Н.В.Макаровой.-СПб.Ю Питер, 2006, -176 с.
   

ССЫЛКИ НА РЕСУРСЫ ИНТЕРНЕТ ПО ТЕМЕ УЧЕБНОГО ПРОЕКТА

4. 
   В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев Механика сплошных сред. Лекции. (Физический факультет МГУ) Издательство Физического факультета МГУ, 1998 г.
   
5. 
   Ускорение свободного падения
   
6. 
   Энциклопедия Кругосвет-Баллистика
   
7. 
   Баллистика-Викопедия
   
8. 
   Большая Советская Энциклопедия-Баллистика
   
9. 
   http://www.pishtov.com/ballistic/veter.htm
   
10. 
    Яндекс Google Rambler
    
11. 
    http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/voennaya_tehnika/BALLISTIKA.html