ТҰтас орта механикасының моделдері

1. ТҰТАС ОРТА МЕХАНИКАСЫНЫҢ МОДЕЛДЕРІ

пәні бойынша тәжірибелік және өздік жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқаулар

Павлодар

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі

2. ТҰТАС ОРТА МЕХАНИКАСЫНЫҢ МОДЕЛДЕРІ

пәні бойынша тәжірибелік және өздік жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқаулар

Павлодар

Кереку

ӘОЖ 538.94 (075)

КБК 22.365я7

Т 89

1. С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университетінің

2. физика, математика және ақпараттық технологиялар факультетінің оқу-әдістемелік кеңесімен

3. басуға ұсынылды

М. Қ. Жукенов – физика - математика ғылымдарының кандидаты.

Ж. Д. Оспанова

Т 89 Тұтас орта механикасының моделдері : тәжірибелік және өздік

жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқаулар / құраст. :

Н. А. Испулов, А. Қ. Сейтханова, Ж. Д. Оспанова. – Павлодар : Кереку, 2013. – 48 б.

«Тұтас орта механикасының моделдері» пәні бойынша тәжірибелік және өздік жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқауында тақырыптар бойынша негізгі формулалар мен есеп шығару мысалдары және өздік жұмысы үшін тапсырмалар берілген.

Бұл әдістемелік нұсқау 5В060400 - «Физика», 6М060400 – «Физика» мамандығының оқу жұмыс жоспарына және пәннің жұмыс оқу бағдарламасына сәйкес жасалынған.

ӘОЖ 583.94 (075)

КБК 22.365я7
© Н. А. Испулов, А. Қ. Сейтханова, Ж. Д. Оспанова 2013

© С. Торайғыров атындағы ПМУ, 2013

Әдістемелік нұсқаудың мазмұнында негізгі теориялық түсініктер, есептеу үлгілері мен өздік жұмысқа арналған тапсырмалар берілген.

Жоғарыда аталған әдістемелік нұсқау кредиттік технологияға байланысты студенттер мен магистранттардың пән бойынша өз бетімен дайындалуға мүмкіншілік береді.

1 Тензорлық белгілену. Физикалық компоненттер
Тұтас орта механикасы – газ тәрізді, сұйық және қатты денелер деформациясының қозғалысына арналған механиканың жалпы бөлімі. Тұтас ортаны сипаттайтын геометриялық, физикалық шамалар және теңдеулер зерттелінетін координата жүйелеріне тәуелді болмауы қажет. Осы мақсатта кез-келген координата жүйелерінде дұрыс шешім табатындай теңдеулерді жазады. Осы идеяның іске асуы жалпы түрде ортақ тензорлы есептеуге әкеліп соғады. Тензор - координата жүйесінің (тығыздық, энергия, жылдамдық, кернеу, деформация және т.б.) таңдауынан тәуелсіз объект. Тұтас орта механикасының шектік тапсырмаларын шешудегі қарапайымдылық немесе оны шешудің мүмкіндіктерінің қол жетімділігі координаталардың қисықсызықты жүйелерін еңгізумен анықталынады. Қисықсызықты координаталардағы тензор компоненттері белгілі бір физикалық мағынаға ие болмайды (олар координата жүйелерінен тәуелді болады), сондықтан алынған нәтижелердің анализі үшін тензордың физикалық компоненттеріне ауысады. Физикалық компоненттер, мысалы векторлар, бұл оның ковариантты немесе контравариантты осіндегі қисықбұрышты немесе ортогоналды проекциялары. Координатаның ортогоналды жүйесінде барлық физикалық компоненттер қарапайыммен сәйкес келіп және базис осіндегі вектордың проекциясы болып табылады, сондықтан бұл жағдайда физикалық компоненттерді анықтау қарапайым базис векторын нормалауға әкеп соқтырады.

Мысал: ортогоналды координата жүйесінде екінші дәрежелі вектор берілсін . Оның соммасының туынды мүшесін қарастырайық ( - ді соммаламау қажет!)

1. Келесі белгіленуді шешу:

2. Келесіні көрсету

3. Егер ; келесіні көрсетеміз

а) ;

б)

в) егер , онда ;

г) егер онда және , онда .

а), б) анықтауыштарды шешумен тексеріледі;

в) .

4. Егер төмендегі өрнек орындалса, келесіні дәлелдеу керек

а) , онда ;

б) , онда ;

в) туындылары үшін болғанда, онда тең;

г) туындысы үшін ;

д) , онда ;

е) туындысы үшін болғанда, онда .

а) ;

в) , сонда ;

г) туындыларынан тәуелсіздерді алу қажет

а) (- ді соммаламау қажет!);

б) элементар доғалардың қисықсызықты координаталар бойында өзара тең болады. (- ді соммаламау қажет!);

в) (- ді соммаламау қажет!)

мұндағы - қисық координаталар арасындағы бұрыш.
Сілтеу.

а), б) келесі өрнектерін қолдану қажет ;

в) (- ді қосу қажет!).

2. базис векторларында тұрғызылған параллеле-пипедтің көлемі тең екенің дәлелдеу қажет.

Параллелепипедтің көлемі координатаның декартты жүйе осінде проекциясынан құрылған анықтауышқа тең болады. Осы анықтауыштың туындысы берілген анықтауыштық жолдар және бағандары бойынша -ге тең.

а) қандай да бір координата жүйесінде тензордың компоненттері нөлге тең болса, онда олар координатаның кез келген жүйесінде нөлге тең болады;

б) симметрия және антисимметрия тензорлардың инвариантты құрылымдары болып табылады;

в) тензорлардың соммасы тензор болып табылады;

г) өзара тең тензорлардың компоненттері кез келген координата жүйелерінде тең болады;

д) вектордың ұзындығы скаляр болып табылады;

е) екі вектор арасындағы бұрыш скалярдың өзі.

Сілтеу.

Тензор компоненттерін түрлендіру өрнегін қолданып

3. Жоғарыдағы тапсырманы шешіп Кристоффель символын табуға болады

4. Цилиндрлік координата жүйесіндегі және нүктелерінде өздерінің компоненттерімен А және В тензорлары берілген

а);

б) осы тензорлардың симметрялық және антисимметриялық бөліктерін;

в) осы тензорлардың соммасы мен айырмашылығын.

а) ; өрнегін қолданамыз;

в) тензорларды қосқан уақытта олардың компоненттерін бір индекстік құрылымға келуі қажет.

5. Цилиндрлік және сфералық координата жүйелеріндегі ; тензорларының физикалық компоненттерін табу

6. Декартты координата жүйесінде төмендегі тензор берілген

7. Екінші рангты симметриялық тензор мен оның девиаторының осьтері сәйкес келетінін дәлелдеу қажет.

Егер - тензордың компоненті болатын болса, онда -оның девиаторының компоненттері. Есепті шығара отырып, А және S тензорларының басты бағыттары бір теңдеуден шығарылатынын дәлелдеуге болады.

8. Декартты координата жүйесінде тензоры берілген. Екінші тензордың басты мәндері мен басты бағыттарын табу қажет.

Сілтеу.

Тензордың басты бағыттарын табу үшін қолдану қажет.

9. цилиндрлік координата жүйесінде тензорлық өрісі берілген. Оның компоненттерінің туынды коварианттарын табу керек.

Сілтеу.

өрнегін қолдану қажет.

4 Лагранж және Эйлер айнымалылары. Жылдамдық, үдеу
Қозғалыс заңы келесідей түрде болады
i=1,2,3 (4.1)
мұндағы - бақылау жүйесіндегі кеңістіктік координаталар,

- ортаның бөлшектерін даралаушы параметрлер.
Одан әрі параметрлерінің орнына уақыттың алғашқы кезіндегі бөлшектің координаталары қолданылады, яғни .

шамалары Лангранж айнымалылары деп аталынады, шамалары Эйлер айнымалылары деп аталынады.

Ортаның бөлшектік жылдамдығы келесі өрнекпен анықталынады

Егер бөлшектің орын ауыстыру векторын енгізетін болсақ, онда

1. Эйлер айнымалыларындағы берілген жылдамдық өрісіндегі қозғалыс заңын, Лангранж айнымалыларындағы жылдамдық және үдеу компоненттерін анықтау қажет.

а) ;

б) ;

в) ; ; (,)

2. Егер , болғанда, Эйлер айнымалыларыдағы мәнін анықтау қажет.

Жауабы:

3. Тұтас ортадағы қозғалыс заңы берілген ,

Анықтау қажет:

а) Эйлер және Лангранж айнымалыларындағы орын ауыстыру векторы компоненттерін;

б) жылдамдық және үдеу векторларының компоненттерін.

Лангранж және ,

Эйлер айнымалыларындағы қозғалыс векторының компонеттерін табамыз.

(4.3) өрнегін қолданып ,

,

,

(4.4) бойынша үдеу векторының компоненттері: ,

4. Тұтас ортадағы қозғалыс заңы берілген:

Вектор компоненттерін анықтау қажет:

а) орын ауыстыру;

б) жылдамдық;

в) үдеу.

Жауабы:

5. Жылдамдық өрісі берілген , ,