Уақыт бойынша туынды. Эйлер айнымалысында үдеу компоненттерін шешу

Декартты координата жүйесінде

1. декартты координата жүйесі болсын. Эйлер айнымалысындағы берілген жылдамдық өрісіндегі үдеу вектор компоненттерін анықтау қажет.

а) , , .

Сілтеу:

(5.3) өрнегін қолдану қажет, мысалға:

а);

б) , , ;

в) ;

г) , , .

2. 1 - тапсырмадағы жылдамдыққа арналған өрнекті интегралдап, қозғалыс заңын алу қажет; осы бойынша Лангранж айнымалыларындағы үдетілу компоненттерін, кейін Эйлер айнымалыларындағы үдетілу компоненттерін тауып, шыққан нәтижені 1-тапсырмадағымен салыстыру қажет.

3. Эйлер айнымалысындағы цилиндрлік координата жүйесінде жылдамдық өрісі берілген. Үдеу векторының тензорлық векторын анықтау қажет.

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , .

Үдеудің ковариантты компоненттерін (5.2) - өрнегін қолданып шешеміз, мұндағы , - Кристоффель белгісі.

Мысалы: 3- тапсырманың а)-сі үшін



, ; цилиндрлік жүйесінде -дің мәні нөлге тең, сондықтан

6 Ток сызықтары және траекториясы
Ток сызықтары деп ток сызығына жанама әрбір берілген t момент уақыты үшін оның кез келген нүктесіндегі моменті жылдамдық бағытымен сәйкес келетін сызықты айтады. Туынды вектор өрісі үшін осындай сызықтар векторлы сызықтар деп аталынады. Ток сызықтарының дифференциалды теңдеулері келесі түрге ие болады
(6.1)
мұндағы - скалярлы параметр;

- ток сызығы бойынан алынған элементінің компоненті;

- жылдамдық векторының компоненттері.
Орта бөлшектерінің қозғалыс заңын анықтайтын дифференциалдық теңдеуі келесі түрде жазылады
(6.2)
Токтың сызықтары мен траекториясы бір-бірімен анықталынған қозғалыс кезінде сәйкес келеді, ал анықталынбаған қозғалыс кезінде керісінше сәйкес келмейді.

1. (5, 1.б) тапсырмасына негізделінген жылдамдық өрісі үшін ток сызығы мен траекториясы бір-бірімен сәйкес келетінін дәлелдеу қажет.

(3.2) өрнегі арқылы ток сызықтарының дифференциалдық теңдеуін табамыз. шартын ескере отырып, болғанда ток сызығының теңдеуін аламыз
, ,
(5.1) тапсырмасында , , . Берілген қозғалыс заңы бойынша ток сызығының теңдеуімен сәйкес келетін траектория теңдеуін аламыз.

2. тағайындалынған қозғалыста ток сызықтары траекториямен сәйкес келетінін дәлелдеу қажет.

(6.1) және (6.2) өрнектерін қолданамыз.

3. берілген өрістегі үшін ток сызықтары траекториямен сәйкес келетінін дәлелдеу қажет.

4. Берілген өріс үшін , , ток сызықтары шеңбер болатынын дәлелдеу қажет.

5. Тұтас ортадағы қозғалыс заңы келесі түрде берілген

, , . Траектория түрін, жылдамдық шамасын, және арасындағы байланысты, сонымен қатар А және В контакттарды анықтау қажет.

Жауабы: Шеңбер радиусы , , .

6. Тұтас ортадағы қозғалыс заңы декартты координата жүйесінде берілген , , . Сфералық координа жүйесіндегі траекторияны анықтау қажет.

Жауабы: Сферамен қиылысу сызығы , цилиндрдің .

мұндағы - біршама сандық параметр.

1. берілген қатысты ортогональды декартты координата жүйесіндегі қозғалыс заңына сәйкес анықтау қажет:

а) Лангранж және Эйлер айнымалыларындағы үдеу векторының компоненттерін;

б) координата жүйесінің уақыт бойынша трансформациясын;

в) басты күйдің координатты осіне бағытталынған қатысты қиықтың ұзартылу коэффициентін;

г) актуалды координата жүйесіндегі орын ауыстыру векторының компоненттерін;

д) жылдамдық деформациясы мен деформацияланған тензордың ковариантты компоненттерін және осы тензорлардың басты бағыттары мен басты мәндерін;

е) үздіксіз аз деформация күйін зерттеу;

ж) орта бөлшектеріндегі көлемдік өзгерісінің қатысты жылдамдығын анықтау.

1)

3) ;

4) .

Сілтеу:

Бірінші мысалдың шешімін қарастырамыз:

а) (7.8) - қозғалыс заңының өрнегі келесі түрге ие болады

(7.9)

Эйлер мен Лангранж айнымалыларындағы қозғалыс векторының компоненттері
, , (7.10),
(7.11)
(4.3) өрнегіне сәйкес Эйлер мен Лангранж айнымалыларындағы жылдамдық компоненттерін анықтаймыз
, , (7.12),
(7.13)
Үдеу компоненттерін алуға мүмкіндік бар, себебі координата жүйесі декартты, (4.4) және (5.3) өрнектерін сәйкестендіре отырып мәнін аламыз.

б) актуалды координата жүйесіндегі метрикалық түпкі тензор компоненттерін шешеміз

в) координата осьтеріндегі доғалардың элементар ұзындықтары келесі өрнекпен анықталынады . Осы жағдайда

е) шексіз аз деформациялар кезінде (7.18) өрнегінен А-ның аз шаманың бірінші ретті шамасы екенін аламыз, сондықтан

2. Үздіксіз аз деформация кезінде тензорының тензорлық және физикалық компоненттерін цилиндрлік координат жүйесінен есептейміз.

3. Үздіксіз аз деформациялар кезінде - ге тең болсын. Ортаның қатты дене тәріздес орын ауыстыратынын дәлелдеу қажет.

Қарастырылатын денеге ішкі күштердің нәтижесінде деформация пайда болады (дененің бөлшектерінің өзара әсер ету күштері). Осы күштерді анықтау мақсатында қиылысу әдісін қолданады. Кез келген денеде нүктесі арқылы ойша нормалі бар жазықтық жүргіземіз. Жазықтық денені екі бөлікке бөледі. Осы бөлшектердің өзара әсерлесуі ішкі күштерді береді, олар қиылысу бетімен үздіксіз орналасқан. нүктесінде ауданын белгілеп, ондағы ішкі күштің мәнін есептейміз. Берілген аудандағы кернеулік вектор деп нормальды кернеу деп атайды, ол келесідей анықталынады

Кернеу тензоры өзара ортогональды үш бағытқа ие; аудандар, басты бағыттарға ортогональ, олар басты аудан деп аталынады, ал олардағы кернеу - басты кернеу деп аталады. Басты кернеулерді анықтай отырып, басты аудандардағы кернеу векторы нормаль бойынша бағытталынған, ал жанама кернеулер болмайды

- кернеу тензоры нүктедегі кернеулік күйді толығымен сипаттайды. Оны біле отырып, басты кернеуді сонымен қатар максимал және минимал жанама кернеулерді анықтауға болады. Кернеу тензоры ортадағы ішкі күштердің тепе-теңдігін сипаттауы қажет. Осы нәтиже бетіндегі берілген теңсіздікте және дененің әрбір нүктесінің тепе-теңдігі өрнегінде көрсетілген. Декартты координаталардағы тепе-теңдік теңдеуі келесі түрге ие

1. Дененің нүктесінде кернеу компоненті белгілі

Бағыттауыш косинус нормалі бар ауданды анықтау қажет , , , толық кернеуді, нормаль және жанама.

2. Өзара ортогональ аудандарда жанама кернеулер өзара ортогональ бағытта тең.

3. Алдыңғы теңдеуді қолданып, бос бетті цилиндрдің көлденең қиылысында контур нүктесінде ішкі жүктің әсерінен жанама вектор кернеуі контурға жанама бағытталынған.

4. Дене бетіндегі нүктеде нормалы берілген. тензор векторының компонентасын беттік жүктемені өзгертпей анықтау мүмкін бе?

Жауабы: мүмкін.

5. Дененің перпендикуляр бетіндегі ауданның нормаль кернеуі шектік шартқа еңбейтінің дәлелдеу қажет.

Шешімі: Координата жүйесі ретінде үшшектік мәнін қолданамыз , , , мұндағы - бетке нормаль, , - бетке жанама жазықтық векторлары. Алынған жүйеде кернеу компонентінің координаталарын , ал бетке нормаль , компоненталарына ие. Шектік шартты қолданып, туындысынан шығатынын аламыз.

6. Нүктедегі басты бағыттауыш декартты координата жүйесіне қатысты бағыттаушы косинустары бар үш векторымен берілсін, басты кернеуді біле отырып декарттық координата жүйесіндегі кернеу тензорын анықтау қажет.

Басты осьтегі кернеу тензорын жазып, осы тензордағы нормалі бар ауданның кернеу компоненттерін анықтау қажет.

7. Декартты координата жүйесіндегі кернеу тензорының компоненттері , , берілген. Аудан мен оған әсер етуші жанама максимал кернеуді табу қажет.

Жауабы: , . Осьтік координаталарына аудан бұрышымен бұрылған.

8. Екі жағдай үшін басты бағыттар мен кернеуді анықтау қажет.

а) ;

б) .

Жауабы: а) , , ;

б) ,

9. Туынды аудандағы жанама кернеуге сипаттама беру қажет, кернеуді , , басты аудандарға қатысты ауданға бағыттауыш косинустар мен басты кернеу арқылы сипаттаймыз.

Жауабы:

10. ; кернеулері үшін келесі белгіленулер көрсетілген. Егер көлемдік күштер жоқ болса мәніне нақты функциясымен сипаттама беру.

Жауабы:

11. Көлдененнен майысқан турабұрышты пластинканың кернеуі үшін

Жауабы: