Утегенова галя ідірісљызы екі йлшемді интегралды› геометрия есептерін шешудіЈ айырымды› Щдістері

6М060100 – Математика маманды“ы бойынша жаратылыстану “ылымдарыныЈ магистрі академиялы› дЩрежесін алу Їшін дайындал“ан диссертацияныЈ

љызылорда, 2012 ж.

Ж±мыс љор›ыт Ата атында“ы љызылорда мемлекеттік университетініЈ

«Математика жЩне математиканы о›ыту Щдістемесі» кафедрасында орындалды

’ылыми жетекші: физика-математика “ылымдарыныЈ

докторы, профессор Баканов ’.Б.

Ресми оппонент: Щл-Фараби атында“ы љаза› °лтты› университетініЈ «Математикалы› жЩне компьютерлік пішіндеу» кафедрасыныЈ профессоры, физика-математика “ылымдарыныЈ докторы Шакенов љ.љ.

Диссертацияны ›ор“ау «___»____________2012 ж. са“ат____љор›ыт Ата атында“ы љызылорда мемлекеттік университетінде (мекен жайы: 120014, љызылорда ›аласы, Жа›аев кйшесі 75, № 6 о›у “имараты, физика-математика факультеті, №215 дЩрісхана) йтеді.

Диссертациямен љор›ыт Ата атында“ы љызылорда мемлекеттік университетініЈ “ылыми-техникалы› кітапханасында танысу“а болады.

Айталы›,

болсын.

Интегралды› геометрия есептері XIX “асырдыЈ басында ›арастырыла бастады. Математикада Радон тЇрлендіруі кеЈінен тарады. Б±л тЇрлендіру функцияныЈ ЩртЇрлі гипержазы›ты›тар бойынша алын“ан интегралын осы функция“а сЩйкес ›ояды. Радон тЇрлендіруіне кері тЇрлендіруді табу есебі интегралды› геометрия есебі болып табылады. Б±л есепті ал“аш›ы рет Радон шешті, сонан кейін б±л мЩселені Ф.Йон, А.А Хачатуров, П.О. Костелянец жЩне Ю.Г. Решетняк, И.М. Гельфанд жЩне М.И.Граев зерттеді.

Сызы›ты› кйпбейнелер Їшін ›ойыл“ан интегралды› геометрия есебі Ли группаларыныЈ теориясымен ты“ыз байланысты. Бас›а есептердіЈ арасында екінші ретті беттер (сфера жЩне эллипсоид) Їшін ›ойыл“ан интегралды› геометрия есептері кеЈірек ›олданылады. Радиусы кез келген сфералар жиыны Їшін ›ойыл“ан интегралды› геометрия есебі Р.КуранттыЈ жЩне радиусы белгілі сфералар жиыны Їшін Ф.ЙонныЈ ж±мыстарында ›арастырыл“ан. В.Г.РомановтыЈ ж±мысында эллипсоид жиындары Їшін ›ойыл“ан интегралды› геометрия есебініЈ шешімініЈ жал“ызды“ы туралы теорема дЩлелденген. Ал эллипсоидтар Їшін интегралды› геометрия есептерініЈ бас›а ›ойылымдары Г.И.ПлаксинніЈ, С.В. УспенскийдіЈ жЩне М.В. КлибановтыЈ ж±мыстарында ›арастырыл“ан.

Интегралды› геометрия есептері дамуыныЈ жаЈа кезеЈі 1966 жылдан басталды. Дербес туындылы дифференциал теЈдеулер Їшін ›ойыл“ан кйп йлшемді кері есептер мен интегралды› геометрия есептерініЈ арасында тереЈ байланыс бар екенін ал“аш рет йз ж±мыстарында М.М.Лаврентьев пен В.Г.Романов ашып кйрсетті. Жазы›ты›та“ы инвариантты ›исы›тар Їшін интегралды› геометрия есебініЈ шешімініЈ жал“ызды“ы жЩне шартты орны›тылы“ы туралы теореманы В.Г. Романов дЩлелдеген.

Шрі ›арай м±ндай есептермен М.М.Лаврентьев, В.Г Романов, Ю.Е.Аниконов, А.Л. Бухгейм, В.Р.Кирейтов, Р.Г. Мухометов, А.Х. Амиров, Д.С. Аниконов, В.А. Шарафутдинов, А.А. Алексеев, Т.Б.Ділманов жЩне та“ы бас›алар айналысып, маЈызды нЩтижелерге ›ол жеткізді.

Б±л диссертациялы› ж±мыста ›арастырыл“ан интегралды› геометрия есептерініЈ практикалы› ›олданыста (сейсмобарлаудыЈ нЩтижелерін интерпретациялау есебі, рентген тЇсірілімдерін интерпретациялау есебі жЩне томография есептері) маЈызы йте зор болып есептеледі.

Компьютерлік томографияныЈ математикалы› есептері интегралды› геометрия есептерімен йте ты“ыз байланысты. Ал компьютерлік томография есептерініЈ диагностика мен ба›ылауда (медицина жЩне биология, кристаллография жЩне химия, интроскопия жЩне геофизика) маЈызы йте зор.

Сонымен ›атар плазмалар физикасы мен астрофизикада жиі ›олданылатын кинетикалы› теЈдеулер Їшін ›ойыл“ан кері есептер интегралды› геометрия есептерімен йте ты“ыз байланысты.

• 
  интегралды› геометрия мен компьютерлік томографияныЈ математикалы› есептері арасында“ы байланыс кйрсетілді;­­­­
  
• 
  компьютерлік томографияныЈ медицинада, дефектоскопия жЩне микроскопияда, геофизикада, астрофизикада жЩне Жер атмосферасыныЈ физикасында ›олданылуы кйрсетілді;
  
• 
  компьютерлік томографияныЈ негізгі теЈдеулері сипатталды;
  
• 
  компьютерлік томографияныЈ негізгі теЈдеуін шешу есебініЈ корректілі еместігі кйрсетілді;
  
• 
  ж±мыста ›арастырыл“ан корректілі емес есептерді шешудіЈ регуляризациялау Щдісі сипатталды;
  
• 
  интегралды› геометрия есебініЈ дифференциалды-айырымды› аналогыныЈ орны›тылы“ы туралы теорема дЩлелденді;
  
• 
  интегралды› геометрия есебініЈ шектеулі-айырымды› аналогыныЈ шартты орны›тылы“ы туралы теорема дЩлелденді.
  

• 
  интегралды› геометрия мен компьютерлік томография есептерініЈ арасында“ы байланыс;
  
• 
  компьютерлік томография Їшін регуляризациялаушы алгоритмдерді ›±ру схемалары;
  
• 
  екі йлшемді интегралды› геометрия есебініЈ дифференциалды-айырымды› аналогыныЈ орны›тылы“ы;
  
• 
  екі йлшемді интегралды› геометрия есебініЈ шектеулі-айырымды› аналогыныЈ шартты орны›тылы“ы.
  

Сонымен ›атар, ж±мыс нЩтижелерін о›у Їрдісінде «Кері есептерді шешудіЈ санды› Щдістері» пЩнін о›ытуда пайдалану“а болады.

Айталы›, шекарасы тегіс Г:

(2)

›исы“ы болатын D – жазы›, шектелген жЩне бірбайланысты облыс болсын, м±нда“ы z – Г ›исы“ыныЈ ±зынды“ы. облысында

теЈдеулерімен тегіс ›исы›тар берілсін, м±нда“ы – б±рышымен шы“атын ›исы› нЇктесі, айнымалы s параметрі – до“аныЈ ±зынды“ы. Ал жЩне функцияларыныЈ аны›талу облысы

жиынымен аны›талады, м±нда“ы – нЇктесінен б±рыш жасай шы“атын ›исы›тыЈ нЇктесі мен осы ›исы›тыЈ облыстыЈ шекарасымен ›иылысу нЇктесі арасында“ы бйлігі.

Айталы› (3) ›исы›тары немесе екі параметрге байланысты ›исы›тар жиыны келесі шарттарды ›ана“аттандырсын:

1. 
   облысыныЈ кез-келген екі нЇктесі ар›ылы жал“ыз ›исы“ы йтеді; ›исы›тар жиыныныЈ Щр›айсысы Г шекарасын жЩне нЇктелерінде ›ияды, бас›а нЇктелер Г-да жатпайды; барлы› ›исы›тардыЈ ±зынды“ы бір›алыпты шектелген;
   
2. 
   , сонымен ›атар осы функциялардыЈ барлы› туындылары Т жиынында бір›алыпты шектелген;
   
3. 
   , м±нда“ы – т±ра›ты;
   
4. 
   
   

Егер ›исы›тар жиыны а)-г) шарттарын ›ана“аттандыратын болса, онда (1) интегралды› геометрия есебі келесі

ал ›исы“ы жЩне нЇктелерін ›осатын ›исы“ыныЈ бйлігі,

Шынында да, (6) йрнегінен х йсімен б±рышын ›±райтын ›исы“ына нЇктесінде жЇргізілген жанаманыЈ ба“ыты бойынша туындысын алатын болса›, онда

(7) теЈдігінен бойынша туынды алатын болса›, онда (4) теЈдеуін аламыз.

Сосын (1) есебініЈ берілімдері бойынша функциясы Їшін (5) шекаралы› шартын аламыз.

жЩне функциялары Їшін келесі леммалар орындалады:

Айталы› абсцисса немесе ордината остеріне паралелль кез келген тЇзу D облысыныЈ шекарасын екі-а› нЇктеде ›исын.

Айталы›

_,



j = 1,2,

м±нда“ы ­- натурал сандар.

Айталы›

шартын ›ана“аттандырсын, ал

(8)-(9) шарттары орындалуы Їшін и(х,у) функциясы жЩне К(γ,z) ›исы›тар жиыны тегіс болуы керек.

Келесі белгілеулерді ›олданайы›:




жЩне т.т.
Келесі дифференциалды-айырымды› есепті ›арастырайы›:

(10)

теЈдеуін жЩне

Негізгі нЩтижені дЩлелдеу Їшін келесі лемма ›олданылады.

шартын ›ана“аттандырады деп есептейік. Сонда барлы› N_j >9, j = 1,2 Їшін

Салма›ты› функциясы бар екі йлшемді келесі

деп ›арастыру“а бол“анды›тан (12) формуласын

Енді х йсімен б±рышын ›±райтын ›исы“ына нЇктесінде жЇргізілген жанаманыЈ ба“ыты бойынша (13) йрнегінен туынды алатын болса›, онда

Салма›ты› функциясы бар Їздіксіз екі йлшемді интегралды› геометрия есебі Їшін келесі нЩтиже орынды:

Келесі дифференциалды-айырымды› есепті ›арастырайы›:

М±нда“ы

Осы ›ойыл“ан (18)-(19) есебі Їшін келесі нЩтиже орынды.

ите ›атты априорлы› жорамалдар жасай отырып, (1) жЩне (12) екі йлшемді интегралды› геометрия есептерініЈ шектеулі – айырымды› аналогтарыныЈ шартты орны›тылы“ын кйрсетуге болады.

Айталы› жиындары 2.1 бйлімшесіндегідей аны›талсын, ал

болсын, м±нда“ы , –натурал сан. Келесі белгілеулерді енгізейік:

Алдымен (4)–(5) есебініЈ шектеулі–айырымды› аналогын ›арастырайы›.

Келесі айырымды› есепті ›арастырайы›:
(21)
теЈдеуін жЩне
(22)
(23)
шарттарын ›ана“аттандыратын функциясын табу керек.

М±нда“ы

шартын ›ана“аттандырсын. Сонымен ›атар (21)–(23) есебініЈ шешімі бар жЩне

Їшін

Теореманы дЩлелдеу Їшін келесі леммаларды пайдаланамыз.

Лемма 2.4.2. и жЩне торлы› функциялары Їшін келесі формула орындалады

Диссертациялы› ж±мыста екі йлшемді интегралды› геометрия есептерініЈ дифференциалды-айырымды› жЩне шектеулі-айырымды› аналогтері зерттелді. Зерттеу барысында:

• 
  компьютерлік томография туралы мЩліметтер келтірілді;
  
• 
  медицинада, дефектоскопия жЩне микроскопияда, геофизикада, астрофизикада жЩне Жер атмосферасыныЈ физикасында, ›атты денелер физикасында компьютерлік томография схемасыныЈ ›олданылуы сипатталды;
  
• 
  рентгендік компьютерлік томографияныЈ жЩне ультрадыбысты томографияныЈ теЈдеулері кйрсетілді;
  
• 
  компьютерлік томографияныЈ негізгі теЈдеуін алудыЈ жалпы схемасы келтірілді;
  
• 
  интегралды› геометрия есебі мен компьютерлік томографияныЈ негізгі теЈдеуі арасында“ы байланыс аны›талды;
  
• 
  Радон тЇрлендіруі туралы мЩліметтер ай›ындалды;
  
• 
  компьютерлік томографияныЈ математикалы› есебініЈ корректілі еместігі кйрсетілді;
  
• 
  компьютерлік томографияныЈ математикалы› есебіне сЩйкес келетін бірінші текті операторлы› теЈдеуді шешудіЈ регуляризациялау Щдісі сипатталды;
  
• 
  вариациялы› Щдіске негізделген регуляризациялаушы операторды ›±ру алгоритмі кйрсетілді;
  
• 
  ›олданбалы есептерде локальды регуляризациялау ЩдісініЈ ›олданылуы келтірілді;
  
• 
  сызы›ты емес компьютерлік томографияныЈ математикалы› есебініЈ ›ойылымы сипатталды;
  
• 
  регулярлы ›исы›тар Їйірі Їшін екі йлшемді интегралды› геометрия есебініЈ ›ойылымы кйрсетілді;
  
• 
  интегралды› геометрия есебіндегі жЩне функцияларыныЈ дифференциалды› ›асиеттері аны›талды;
  
• 
  интегралды› геометрия есебініЈ дифференциалды-айырымды› аналогы келтірілді;
  
• 
  дифференциалды-айырымды› есептіЈ шешімініЈ орны›тылы“ы туралы теорема дЩлелденді;
  
• 
  салма›ты› функциясы бар Їздіксіз екі йлшемді интегралды› геометрия есебініЈ ›ойылымы сипатталды;
  
• 
  салма›ты› функциясы бар екі йлшемді интегралды› геометрия есебініЈ дифференциалды-айырымды› аналогы келтірілді;
  
• 
  салма›ты› функциясы бар екі йлшемді интегралды› геометрия есебіне сЩйкес ›ойыл“ан дифференциалды-айырымды› есептіЈ шешімініЈ орны›тылы“ы туралы теорема дЩлелденді;
  
• 
  екі йлшемді интегралды› геометрия есептерініЈ шектеулі-айырымды› аналогтарыныЈ шартты орны›тылы“ы туралы теорема дЩлелденді;
  
• 
  жуы› шешімніЈ жина›талуы туралы теорема дЩлелденді.
  

Зерттеуден алын“ан нЩтижелерді интегралды› геометрия есептерін айырымды› Щдістермен шешуде жЩне томографияныЈ (геотомография, медициналы› томография, дефектоскопия) ЩртЇрлі математикалы› есептерін шешудіЈ санды› ЩдістерініЈ жина›тылы“ын негіздеуде ›олдану“а болады.

1. 
   Баканов Г.Б., Жоламанова Р.М., Утегенова Г.И. Оценка устойчивости дифференциально-разностного аналога задачи интегральной геометрии для семейства кривых // Материалы международной научно-практической конференции «Валихановские чтения – 15», посвященной 20-летию Независимости Республики Казахстан. – Кокшетау, 2011.- с.108-111.
   
2. 
   Баканов Г.Б., Жоламанова Р.М., Утегенова Г.И. Об устойчивости дифференциально-разностного аналога двумерной задачи интегральной геометрии // «љаза›стан ›о“амыныЈ даму тенденциялары: Щлеуметтік-саяси, инновациялы› аспектілері» атты республикалы› “ылыми-тЩжірибелік конференция материалдары. – љызылорда, 2011. – 488-493б.
   

1. 
   Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1974.
   
2. 
   Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. – М.: Наука. Физматлит, 1995. – 312 с.
   
3. 
   Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. - М.: Наука, 1980. 286 с.
   
4. 
   Иванов В.К., Васин В.В, Танана В.В. Теория линейных некорректных задач и её приложения. – М: Наука, 1978.- 206 с.
   
5. 
   Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и cвязанные с ней вопросы теории представлений. Сер. «Обобщенные функции», вып.5.-М. : Физматгиз, 1962.-656с.
   
6. 
   Лаврентьев М.М. Обратные задачи и специальные операторные уравнения первого рода // Международный конгресс математиков в Ницце, 1970. - М.: Наука, 1972.-е. 130-136.
   
7. 
   Лаврентьев М.М. Об одном классе операторных уравнений на плоскости // Условно-корректные математические задачи и проблемы геофизики - Новосибирск : ВЦ СО АН СССР, 1979. - с. 52-57.
   
8. 
   Radon J. Uder die Bestimming vor Funktionen durch ihre Integralwarte langs gewisser Maannigfritigkeiten // Ber.Verh. Sachz.Akad. -1917.-No.69.-s. 262-277.
   
9. 
   Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными.–М.: ИЛ. 1958. - 156с.
   
10. 
    Хачатуров А.А. Определение меры для области n – мерного пространства по ее значениям для всех полупространств // УМЖ. – 1954. – вып. 9, № 3. – с. 205-212.
    
11. 
    Костелянец П.О., Решетняк Ю.Г. Определение вполне аддитивной функции ее значениями на полупространствах // Успехи мат. наук. - 1954. - вып. 9, № 3.-е. 135-140.
    
12. 
    Гелфанд И.М., Граев М.И. Интегралы по гиперплоскостям основных и обобщенных функции // Докл .АН СССР .-1961. –Т.138,№6.-с.1266-1269
    
13. 
    Гельфанд И.М., Гиндикин С.Г., Граев М.И. Интегральная геометрия в аффинном и проективном пространствах // Итоги науки и техники.- М.: ВИНИТИ,1980,-т.16:Современ.пробл.матем .- с. 53-226.
    

• 
  исследованы свойства дифференциально-разностного аналога двумерной задачи интегральной геометрии;
  
• 
  доказано, что решение дифференциально-разностного аналога двумерной задачи интегральной геометрии единственно и устойчиво;
  
• 
  получены оценки условной устойчивости конечно-разностных аналогов двумерных задач интегральной геометрии.
  
• 
  
  

on the summary of the master's thesis on specialty 6M060100 and mathematics

• investigate the properties of differential-difference analogue of two-dimensional problem of integral geometry;

• that the solution of differential-difference analogue of two-dimensional problem of integral geometry is unique and stable;

• estimates of the conditional stability of the finite-difference analogues of two-dimensional problems in integral geometry;