Векторная алгебра

Известно, что ряд физических величин являются векторами, для характеристики которых необходимо указать не только их численное значение, но и направление. Геометрической моделью векторной величины является направленный отрезок, длина которого характеризует величину, а направление отрезка – направление векторной величины.

Свободные векторы - это векторы, для которых точка начала и конца не имеет значения, важны лишь его длина и направление. Такие векторы обозначаются одной малой буквой … В этом случае длина обозначается . Свободные векторы можно переносить в любую точку пространства с сохранением длины и направления.

Правило треугольника. Суммой векторов и называется третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора при условии, что вектор отложен из конца вектора .

Замечание. Аналогично определяется сумма трех и более векторов.

Правило параллелограмма. Совмещаем начала двух векторов и строим на них параллелограмм. Вектор диагонали этого параллелограмма, идущий из их общего начала, будет суммой векторов.

1) ,

2) ,

3) и одинаково направлены, если α > 0, и противоположно, если α < 0.

Замечание. = α - условие коллинеарности двух векторов.




Метод координат. Базис и координаты вектора на прямой, на плоскости и в пространстве.

Метод координат, разработанный Декартом в ХVII веке позволяет свести все действия над векторами к действию над обычными вещественными числами.

Геометрически - диагональ параллелограмма, построенного на векторах α и β.

= α +β+γ,

который является диагональю параллелепипеда, построенного на векторах

α, βи γ.

= ,

где α₁, α₂,…, α_n – вещественные числа.
Линейная зависимость и линейная независимость векторов

Опр. Векторы называются линейно независимыми, если линейная комбинация этих векторов – нуль-вектор лишь при условии α₁= α₂=…= α_n = 0:

= .

Это значит, что ни один из векторов не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

Опр. Векторы называются линейно зависимыми, если линейная комбинация этих векторов – нуль-вектор, когда не все числа α₁, α₂,…, α_n равны нулю. Пусть α₁0,тогда разделим уравнение

= на α₁ и выразим вектор :

=,

т.е. в этом случае какой либо из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.

Оказывается, что из всей совокупности векторов всегда можно выбрать несколько векторов так, что все остальные векторы можно единственным образом представить в виде линейной комбинации выбранных векторов.

Совокупность таких выбранных векторов называется базисом, а векторы, входящие в базис, называются базисными. Базис всегда образован максимальным числом линейно независимых векторов.
Проекция вектора на ось и ее свойства

Опр. Углом между векторами и называется наименьший угол () между этими векторами, приведенными к общему началу.



Опр. Ось – прямая, с выбранным на ней направлением.

Опр. Пусть на плоскости дана прямая l и пересекающая ее прямая m. Проекцией т.А на ось l параллельно прямой m называется основание прямой А_l проведенной из т.А на ось l, параллельно прямой m.

Опр. Пусть на плоскости дана прямая l и пересекающая ее прямая m. Проекцией вектора на ось l параллельно прямой m называется вектор , началом которого служит проекция т.А на ось l параллельно прямой m, а концом – проекция т. В.


Опр. Ортогональной проекцией т.А на ось l называется основание перпендикуляра А_l , опущенного из т.А на ось l.



Опр. Ортогональной проекцией вектора на ось l называется длина направленного отрезка на этой оси (А_l,В_l – ортогональные проекции т. А и В на ось l), взятая со знаком «+», если направление совпадает с направлением оси l и со знаком «-», если направление противоположно направлению оси l.

пр_l = cos φ, φ – угол между вектором и осью l,

пр_l >0, если 0<φ<π/2 - острый,

пр_l <0, если π/2<φ<π – тупой.

1. 
   Равные векторы имеют равные прекции.
   
2. 
   Проекция суммы векторов на одно и то же направление равна сумме проекций каждого вектора на это направление
   

3. 
   При умножении вектора на число его проекция умножается на это число
   

α – координата вектора в базисе , = (α).

Отметим, что базисов в пространстве может быть выбрано бесконечное множество. Но, если базис выбран, то разложение вектора в этом базисе всегда является единственным. Один и тот же вектор в разных базисах будет иметь разные координаты.

Разложить вектор по базису – значит найти координаты вектора в этом базисе.

Теорема. Все линейные операции над векторами сводятся к точно таким же линейным операциям над их соответствующими координатами.


Декартова прямоугольная система координат

Опр. Система координат – совокупность базиса и некоторой фиксированной точки.

Декартов базис в пространстве образован тройкой взаимно перпендикулярных векторов единичной длины ,

=1,

- орты трех взаимно перпендикулярных осей ОХ,ОУ,ОZ декартовой системы координат, выходящей из общей точки О – начала координат. Такой базис называется ортонормированным.

Разложение вектора а декартовом базисе в пространстве

= = (x,y,z)

x,y,z – декартовы координаты вектора - проекции вектора на соответствующие оси координат.

α, β, γ – углы между вектором и осями координат ОХ,ОУ,ОZ соответственно,

cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы вектора.

Радиус-вектором т. М(x,y,z) в трехмерном пространстве называется вектор, идущий из начала координат в эту точку. Координатами т. М в декартовой системе координат называют координаты соответствующего ей радиус-вектора .

= , x= =cosα, y==cosβ,

z==cosγ,

α, β, γ – углы между вектором и осями координат ОХ,ОУ,ОZ соответственно,

cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы вектора .

Все линейные операции над векторами сводятся к точно таким линейным операциям над их соответствующими координатами.

Пусть даны векторы и : = (x₁,y₁,z₁)= , = (x₂,y₂,z₂)= .

1. 
   Сумма векторов + = (x₁+ x₂, y₁+ y₂, z₁+ z₂).
   
2. 
   Разность векторов - = (x₁- x₂, y₁- y₂, z₁- z₂).
   

Очевидно = = (x₂- x₁, y₂- y₁, z₂- z₁).

3. 
   Произведение вектора на число = α = α(x₁,y₁,z₁) = (αx₁,αy₁,αz₁).
   

- координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Координаты вектора , являющегося линейной комбинацией векторов ,,, будут равны линейной комбинации одноименных координат этих векторов. Т.е. запись

в координатной форме будет иметь вид:

Таким образом, если в пространстве задан базис , , , то координаты (α, β, γ) вектора в этом базисе найдутся из решения этой системы.

Для плоского случая

Можно рассмотреть задачу о линейной зависимости векторов.

Два вектора линейно независимы, т.е. образуют базис на плоскости, если они не коллинеарны.

Три вектора линейно независимы, т.е. образуют базис на плоскости, если они не компланарны.

Если вектор задан в декартовой системе координат, то его длина находится по теореме Пифагора: = (x₁,y₁,z₁), =.

Расстояние АВ между двумя точками А(x₁,y₁,z₁) и В(x₂,y₂,z₂) можно рассматривать как длину вектора = (x₂- x₁, y₂- y₁, z₂- z₁), = .

4.Орт вектора. Направляющие косинусы вектора.

Опр. Ортом оси l называется вектор , имеющий единичную длину и направление, совпадающее с направлением оси.

Опр. Ортом вектора называется вектор , направление которого совпадает с направлением вектора и длина равна 1.

, =1, =.

Чтобы найти координаты орта, нужно разделить этот вектор на его длину:

= = .

Как известно, для задания вектора нужно знать его длину и направление. Направление вектора задается углами α, β, γ, которые он образует с осями координат ОХ,ОУ,ОZ, соответственно. Зная координаты вектора, можно найти косинусы этих углов, которые называются направляющими косинусами вектора

cos α = , cos β= , cos γ=.

Зная длину вектора и углы, которые он образует с осями координат, можно найти координаты вектора.

Величины направляющих косинусов являются ординатами орта данного вектора = (cos α, cos β, cos γ).

сos² α + cos² β + cos² γ = 1 – основное свойство направляющих косинусов.

Задача 2. Даны два вектора = и =. Найти векторы (+),

(-), 3, -2,(5-4).

Задача 3. Доказать, что точки А(8,-6,7), В(2,-2,3), С(-1,0,1) лежат на одной прямой.

Задача 4. Даны три вектора =(-3,-4), =(5,-6), =(-11,-2). Получить разложение по базису , геометрически и аналитически. От.: 2-.

Задача 5. Радиус вектор т.М(x,y,z) составляет с осью ОХ угол 60⁰, с осью OZ угол 45⁰, =8,у>0. Найти координаты точки М. От.: М(4,4√2,4).

Задача 6. Доказать, что векторы , , образуют базис в пространстве и найти координаты вектора в этом базисе: =(2,3,1), =(-1,2,-2), =(1,2,1), =(2,-2,1).

, (α=2,β=-1,γ=-3).

Задача 7. Даны две точки М₁(x₁,y₁,z₁) и М₂(x₂,y₂,z₂). Найти координаты точки М₃, лежащей на отрезке М₁ М₂ и делящей длину этого отрезка в отношении m:n=λ.

Лекция 4

Если один из векторов или оба нулевые, то скалярное произведение полагается равным нулю.

Реальным прообразом скалярного произведения является работа А постоянной силы , действующей на тело под углом α к направлению движения при перемещении на прямолинейном участке пути, характеризуемом вектором : А== (,).

Свойства скалярного произведения.

Теор.1. Необходимым и достаточным условием равенства нулю скалярного произведения двух ненулевых векторов ( (, )=0) является их ортогональность ().

Теор.2. Скалярное произведение двух ненулевых векторов и равно произведению модуля одного из них на проекцию другого на ось, определяемую первым вектором.

(, ) = cos(^ )=,

1,2 свойства – геометрические свойства.

3) (, )= (,) – переместительное свойство,

4) (α, )=α(, ) – постоянный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

5) (+ , )=(, )+(, ) – распределительное свойство.

Рассмотренные свойства позволяют при скалярном перемножении линейных комбинаций векторов действовать по тем же законам, что и при перемножении алгебраических многочленов.

Пример.

Выражение скалярного произведения в декартовых координатах

Теор. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных декартовых координат относительно одного и того же базиса.

Док-во.: Пусть векторы и заданы в одном и том же декартовом базисе (): = (x₁,y₁,z₁)= , = (x₂,y₂,z₂)= . Тогда

(, )=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

1. 
   Вычисление работы силы F по перемещению S.
   

Тогда работа .

2. 
   Вычисление длины вектора.
   

3. Нахождение угла между векторами.

Из определения скалярного произведения (, ) = cos(^ )

cos(^ ) = .

4. Нахождение проекции вектора на вектор.

Из выражения скалярного произведения (, ) = cos(^ )=

5. Проверка условия перпендикулярности векторов.

Из (, )=cos(π/2)=0 и наоборот.

Решение задач.

1. К т. А(1,2,-3) приложены 3 силы: F₁ = 2i – k, F₂ = i + j + k, F₃ = 3i +2j. Найти работу равнодействующей этих сил вдоль вектора АВ, если В(2,-2,1).

От.: А=0 F S.

2. Даны векторы =, =. Найти скалярное произведение векторов, длины векторов, косинус угла между векторами, проекцию вектора на направление вектора .

От.: (, ) = 7, = 3 ед.дл.

3. Даны векторы , , где=π/3. Найти скалярное произведение векторов, длины векторов, косинус угла между векторами, проекцию вектора на вектор .

От.: (, ) = -11, = ед.дл.

4. Найти внутренний угол при вершине С треугольника АВС, если А(-2,3,1), С(-

2,-4,0), В(-2,-1,4).

Найдем векторы, исходящие из одной точки С, СА и СВ. СА= (0,7,1), СВ= (0,3,4). Cos (CA^CB) = = = угол С равен 45º.
Векторное произведение векторов

Опр. Векторным произведением векторов двух векторов и называется третий вектор , удовлетворяющий трем условиям:

1) вектор перпендикулярен векторам и ;

2) длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , и равна произведению длин этих векторов на синус угла φ между ними

;

3) вектор направлен так, что из его конца кратчайший поворот от вектора

Геометрически модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Механический смысл векторного произведения.

Пусть т.О неподвижная т. твердого тела. К нему приложена сила F к т. А. Момент этой силы относительно неподвижной т. О равен векторному произведению векторов ОА и F:

.



Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак:

= -,

так как при повороте от вектора к меняется на противоположное направление вектора .

2. Векторное произведение коллинеарных векторов () равно нулевому вектору ().

= 0, . Отсюда следует, что = 0.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак векторного произведения: =.

4. Векторное произведение подчиняется распределительному закону

[+ , ]=[, ]+[, ].

5. Из определения векторного произведения следует, что векторные произведения единичных векторов будут соответственно

[i,i] = [j,j] =[k,k] = 0, [i,j] = k, [j,k] =i , [k,i] = j.

Выражение векторного произведения через координаты векторов в прямоугольной декартовой системе координат.

Пусть даны два вектора = (х₁, у₁,z₁) и = (х₂, у₂,z₂). Учитывая свойства векторного произведения, найдем = [х₁i+ у₁j+z₁k, х₂i+ у₂j+z₂k] = х₁ х₂[i,i] +

х₁ у₂ [i,j] + х₁ z₂[i,k] + … = i(y₁z₂ – z₁y₂) – j(x₁z₂ – z₁x₂) + k(x₁y₂ – y₁x₂) =

.
Приложения векторного произведения

1. Нахождение площадей параллелограмма и треугольника.

, .

2. Нахождение вектора, перпендикулярного двум другим векторам.

Если требуется найти вектор, перпендикулярный одновременно двум векторам, то в качестве такого вектора можно взять вектор, пропорциональный векторному произведению заданных векторов, т.е.

= , где α – некоторое число.

3. Нахождение момента силы.

1. Найти векторное произведение векторов и

= == 1i -19j – 7k.

= (1,-19,-7). Его модуль

Площадь параллелограмма .

2. . Найти векторное произведение векторов и

= , = , его модуль и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Векторы заданы в произвольном базисе. Найдем векторное произведение векторов и , используя их разложение в этом базисе и учитывая свойства векторного произведения.

Модуль векторного произведения = 14=14*2*1*0.5=14 и площадь параллелограмма равна 14 кв.ед.

3. Даны вершины треугольника А(-2;1;3), В(2;-1;0), С(-4;3;5). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной на сторону АС.

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов-сторон. Обозначим = АС= (-2,2,2) , = АВ = (4,-2,-3). Тогда площадь треугольника

Для нахождения высоты используем известную формулу площади треугольника S = a*h, где а – длина основания, h – высота. Отсюда h = . В нашем случае а = = Тогда высота треугольника h =

4. Найти момент силы F = 2i + j – k, приложенной к т. А(1,2,-3) относительно неподвижной т.В(-2,3,1).

, ВА = (3,-1,-4). = 5i -5j +5k.

Обозначается оно так: = .

Смешанное произведение по абсолютной величине численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , .

Пусть векторы и не компланарны. Перенесем векторы так, чтобы начала их находились в одной точке О. Построим на этих векторах как на ребрах параллелепипед.

Найдем вектор , модуль которого равен площади параллелограмма S, построенного на векторах ,. Далее

Так как по определению векторного произведения и , то этот вектор параллелен высоте параллелепипеда = и следовательно

Итак, модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.

2. Выражение смешанного произведения через координаты его сомножителей в декартовой системе координат.

Пусть даны векторы , , .

Найдем = х₁х^* + у₁у^* + z₁z^*.

3. При циклической перестановке векторов величина смешанного произведения не изменяется. Если поменять местами 2 соседних вектора, смешанное произведение изменит знак.

Доказательство следует из свойств определителя.

если ,

если и коллинеарны , то = 0 , т.е. координаты векторов пропорциональны,

если , компланарны, то их смешанное произведение равно нулю = 0.

2. Проверка линейной независимости системы 3-х векторов (или проверка условия, что три вектора образуют базис в пространстве).

Если ≠ 0, то совокупность векторов является линейно независимой, следовательно образует базис в пространстве. В этом случае векторы не компланарны. Если = 0 , то векторы являются линейно зависимыми и компланарными.


Решение задач
1. Даны вершины тетраэдра А(1,2,-1), В(0,1,1),С(-1,2,3), Д(2,1,2). Найти объем тетраэдра и высоту, опущенную из вершины . D

V_пир. = V_пар. =

V_пар. = V_пир. = , S₀ =

; ;

= H. H = = = . H= .

2. Доказать, что векторы , образуют базис в пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Три вектора образуют базис в пространстве, если они некомпланарны и их смешанное произведение не равно 0.

Тогда любой вектор можно представить в виде линейной комбинации этих векторов , где α, β, γ – коэффициенты линейной комбинации являются координатами вектора в базисе векторов , . Запишем линейную комбинацию в координатной форме:

3. Доказать, что четыре точки А(4,-3,5), В(2,-3,1), С(-1,1,4), D(5,5,2) лежат в одной плоскости.