Автожир – легкий летательный аппарат, имеющий несущий винт, вращение которого в горизонтальном полете осуществляется от набегающего воздуха, и толкающий винт, приводимый в движение мотором [1].
Прыжковый взлет автожира происхо-дит в следующем порядке: в режиме раскру-тки – мощность мотора подводится к несу-щему винту, переключателем угла установки лопастей задан угол 
, подъемная сила несущего винта меньше веса аппарата; в режиме взлета – после набора на режиме раскрутки угловой скорости вращения винта, необходимой для взлета, мотор выключается, переключателем угла установки лопастей устанавливается больший угол атаки лопасти, благодаря чему подъемная сила несущего винта резко увеличивается. Если при этом подъемная сила превышает вес аппарата, то автожир поднимается в воздух с места, без всякого разбега, прыгает верти-кально вверх [2]. Появление автожиров с прыжковым взлетом избавляет их от жесткой привязки к аэродромам с их взлетными полосами [3].
Для изучения взлета рассмотрим автожир с центром масс, лежащим на оси винта. Предполагаем, что воздушный поток лежит в плоскости вращения винта.
1. Аэродинамическая модель
Предлагаемая модель отличается от известных тем, что в дифференциальных уравнениях движения автожира за независимую переменную принята угловая скорость вращения винта. Это, во-первых, делает более наглядными результаты расчетов в полученной математической модели прыжка и, во-вторых, позволяет организовать контроль и управление летными характеристиками автожира в виде синтеза, т.е. в виде явной зависимости от фазовой переменной 
.
Свяжем с лопастью винта систему координат Oxyz: ось Oz вертикальна, ось Oy направлена по хорде профиля лопасти, ось Ox – по размаху лопасти (рис. 1). Лопасть вращается вокруг оси Oz с угловой скоростью .
z
y
ω
b
x
О
l
l
x
Рис. 1. Лопасть винта в принятой системе
координат
Подъемную силу винта, определяющую вертикальный подъем автожира в режиме прыжка, можно представить в виде [4]
, (1)
n – число лопастей, b –- хорда лопасти (рассматриваем прямоугольные лопасти, для непрямоугольных лопастей можно считать 
), 
– коэффициент подъемной силы элемента лопасти 
(при данном угле атаки), 
– плотность воздуха.
Величина скорости набегающего потока 
определяется линейной (окружной) скоростью элемента профиля
, (2)
–- угловая скорость лопасти, x – горизонтальная координата элемента лопасти.
Подставим (2) в (1), проинтегрируем и получим выражение подъемной силы винта
,
где L – длина лопасти, 
.
Таким образом, уравнение вертикального движения автожира примет вид
;
или 
, (3)
где m – масса всего автожира, g – ускорение силы тяжести.
Момент аэродинамических сил сопротивления вращению лопасти определяется интегрированием по размаху l элементарного момента относительно оси Oz силы лобового сопротивления профиля
При параметрах n, b, 
, не зависящих от x,
,
где 
– коэффициент лобового сопротивления элемента лопасти (при данном угле атаки).
По теореме об изменении кинетического момента винта в режиме прыжка получим дифференциальное уравнение
, или 
. (4)
Рассмотрим уравнение (3) с учетом замены
;
.
Представим 
, тогда уравнение (3) примет вид
.
Воспользуемся выражением (4) для углового ускорения винта, тогда для скорости вертикального подъема будем иметь
или 
,
где 
– аэродинамическое качество профиля лопасти.
После деления переменных проинтегрируем
,
откуда
.
Получим
. (5)
Из условия 
при 
можно получить значение угловой скорости в конце подъема:
(6)
Значение угловой скорости 
определяет наибольшую вертикальную скорость в режиме прыжка.
Рассмотрим уравнение 
С учетом (4) и (5)
.
Интегрируя, найдем
Из условия 
при 
определим постоянную интегрирования 
:
тогда
. (7)
Формулы (5) и (7) составляют математическую модель прыжка при указанных предположениях.
Проиллюстрируем построенную модель на примере автожира с указанными массовыми, геометрическими и аэродинамическими характеристиками
,
,
,
,
,
,
.
На рис. 2а–8а приведены зависимости 
, на рис. 2б–8б – зависимости 
.
Рис. 2а
Рис. 2б
На рис. 2 а, б показано влияние начальной угловой скорости на параметры прыжка – чем больше начальная угловая скорость, тем выше прыжок. Увеличение начальной угловой скорости на 2
приводит к увеличению высоты прыжка почти в 2 раза. Конец прыжка, определяемый условием 
, наступает при разных угловых скоростях. Амплитуда графика скорости прыжка ниже при меньшей начальной угловой скорости, но максимальная скорость достигается при 
для всех случаев.
Рис. 3а. 
Рис. 3б. 
Из рис. 3а, б видно, что чем больше масса лопасти, тем выше прыжок при равных остальных параметрах и скорость подъема имеет большую амплитуду. Снижение массы лопасти на 25% ведет к снижению высоты прыжка почти в 2 раза. При этом масса лопасти не влияет на конечную угловую скорость винта и максимальная скорость в прыжке достигается при 
для всех случаев.
Рис. 4а. , 
Рис. 4б. ,
По графикам, представленным на рис.4а, б, определяем, что чем меньше масса автожира, тем выше прыжок и скорость подъема имеет большую амплитуду; конец прыжка наступает при разных угловых скоростях - при меньшей массе автожира конец наступает с меньшей угловой скоростью. Увеличение массы автожира 
на 20% приводит к снижению высоты прыжка более чем в 3 раза. Максимальная скорость в прыжке достигается при
, 
, 
для соответственно1-го, 2-го и 3-го случаев.
Рис.5 а. ,,
Рис. 5б. ,,
Влияние ширины лопасти представлено на рис. 5а, б: при большей площади лопасти винта автожира прыжок выше и скорость подъема имеет большую амплитуду; конец прыжка наступает при разных угловых скоростях – при меньшей ширине лопасти автожира конец прыжка наступает с большей угловой скоростью. Увеличение ширины лопасти в 1.5 раза ведет к увеличению высоты прыжка почти в 4 раза. Максимальная скорость в прыжке достигается при
,
,
для соответственно1-го, 2-го и 3-го случаев.
Рис. 6а. , , 
,
Рис. 6б. ,,
Из рис. 6а, б следует, что при меньшем коэффициенте подъемной силы и меньшем коэффициенте аэродинамического качества лопасти винта автожира прыжок ниже и скорость подъема имеет меньшую амплитуду; конец прыжка наступает при разных угловых скоростях – при большем аэродинамическом качестве лопасти автожира конец прыжка наступает с меньшей угловой скоростью и максимальная скорость в прыжке достигается при
, 
, 
для соответственно1-го, 2-го и 3-го случаев.
Снижение значения коэффициента аэродинамического качества на 5 единиц при одинаковом коэффициенте лобового сопротивления уменьшает высоту прыжка в 8раз.
Рис. 7а. ,,
Рис. 7б. ,,,
На рис. 7а, б показано влияние коэффициента лобового сопротивления. Таким образом, при меньшем коэффициенте лобового сопротивления и большем аэродинамическом качестве лопасти винта автожира прыжок выше и скорость подъема имеет большую амплитуду; изменение коэффициента лобового сопротивления при постоянном коэффициенте подъемной силы лопасти не влияет на конечную угловую скорость прыжка, максимальная скорость в прыжке достигается при для всех случаев. Увеличение значения коэффициента аэродинамического качества на 5 единиц при одинаковом коэффициенте подъемной силы увеличивает высоту прыжка в 2.5 раза.
Рассмотрим автожир с прикрепленным на конце каждой лопасти точечным грузом массой 
. В модели добавим к моменту инерции лопасти момент, создаваемый грузом 
. Проиллюстрируем данную модель. (Остальные параметры такие же, как в 1.3)
Рис. 8а
Рис. 8б
Рис. 8 а, б отражает влияние прикрепленного на конце лопасти груза; чем больше груз, тем выше прыжок; при этом даже относительно малой массы груз – в 3 кг увеличивает высоту прыжка более чем в два раза. Скорость подъема имеет большую амплитуду; прикрепленный груз не влияет на конечную угловую скорость прыжка; максимальная скорость в прыжке достигается при для всех случаев.
Для случая 1.3 по формулам (8), (9) энергетической модели получаем 
, если 
, 
, если 
, т. е. в нашем случае 
меньше чем 
(так как 
).
2. Энергетическая модель прыжка
По теореме об изменении кинетической энергии в интегральной форме
– угловая скорость винта автожира в конце прыжка, 
– угловая скорость винта автожира в начале прыжка, 
– момент инерции винта (в зависимости от конструкции можно учесть моменты инерции лопастей, торсиона и втулки), – работа аэродинамических сил (работа сил сопротивлений),
m – масса всего автожира, g – ускорение силы тяжести, h – высота прыжка.
Момент инерции прямоугольной лопасти с равномерным распределением массы по длине лопасти равен 
, где 
– масса одной лопасти, 
– момент инерции одной лопасти относительно оси винта, l – длина лопасти.
Для автожира с тремя лопастями
,
– скорость конца лопасти в конце прыжка, 
– скорость конца лопасти в начале прыжка.
Оценим высоту прыжка при разных предположениях относительно работы аэродинамических сил.
-
Если предположить, что
,
тогда 
,
.
Примем 
, где 
– масса автожира и пилота, тогда
Здесь принято 
. Пусть, например, 
Воспользуемся формулой (6) для оценки 
, тогда
. (8)
Для достижения высоты прыжка в 10 м потребуется 
(при 
).
Для достижения высоты прыжка в 20 м потребуется 
(при ).
2. Если предположить, что
, тогда ;
EMBED Equation.3 
Тогда при 
(9)
Для достижения высоты прыжка в 10 м потребуется (при ).
Для достижения высоты прыжка в 20 м потребуется 
(при ).
Список литературы
1. Братухин И.П. Автожиры. Теория и расчет. М.: Госмашметиздат, 1934. 110 с.
2. Жабров А.А. Автожир и геликоптер. М.; Л.: Изд-во ЦС Осоавиахима, 1939. 149 с.
3. Солодников И., Торошин А., Карлов А. Авиация общего назначения. Киев, 2010.
4. Колесников Г.А. Аэродинамика летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1993. 544с.
011 Математика. Механика. Информатика Вып. 1(5)