Vii халықаралық математика, физика, информатика мұғалімдерінің шығармашылық байқауы I. Математикалық бөлім

VII Халықаралық математика, физика, информатика
мұғалімдерінің шығармашылық байқауы
I.Математикалық бөлім 
1. Грек тарихшысы Геродоттың жазулары бойынша: “Біздің эраға дейінгі VI ғасырда 
сақтарға қарсы Кир Патшасы қарсы шықты. Оның әскерлеріне сақтар савроматтармен 
бірігіп қарсы тұрды. Сақтар мен савроматтардың әскерлер саны 91 мыңнан асады. 
Сақтардын әскер саны савроматтардын 23 мыңға кем әскер санынын 2 есесінен көп. 
Савроматтардын әскер саны сақтардын 32 мыңға кем санынын 3 есесінен көп”. Егер 
Геродот әскер санын әрқашанда мыңға дейін дөңгелектеген болса, әр тайпада қанша 
әскер болған? 
2. Р(х) көпмүшенің дәрежесі 2019 болатын және барлық х үшін Р(x) + P(2020-x) = 10 
орындалатындай Р(х) көпмүшені ойлап табыңыз. 
3. Табандары АD = 8
√  және ВС = 8√  болатын АВСD трапециясы берілген. Бұрыш 
ВАD = 30
және бұрыш АDC = 60 . D нүктесі арқылы трапецияны екі тең шамалы 
фигураға бөлетін түзу жүргізілді. Осы түзудің трапеция ішінде орналасқан кесіндінің 
ұзындығын табыңыз. 
4. Егер 
 екені белгілі болса, √ 
 + √ 
 +√ 
 –тің ең кіші 
мәнін табыңыз. 
II.Әдістемелік бөлім 
№ 5-7 тапсырмаларында математикалық қателер болуы мүмкін («жауаптарында» 
да, «шешулерінде» де). Барлық қателерді көрсетіңіздер, егер «шешуі» дұрыс болмаса, 
дұрыс шешуін көрсетіңіздер. Егер есептің шарттары дұрыс болмаса, онда ол неліктен 
солай екенін түсіндіріңіздер. 
5. Теңдеуді шешіңіз: 
Жауап: 
 
Шешуі: 
болатынын оңай байқауға болады. 
Анықталу облысы:
Оның шешімі :
( 
). 
(
) болғандықтан,
(
)
(
), бұдан
және 
Екінші түбірі анықталу облысына кірмейді, жауап 
6. Төртбұрыштың бұрыштарының қосындысы 360
 екенін дәледеңіз. 
Шешуі: Кез келген төртбұрыштың бұрыштарының қосындысы х болсын. Кез келген 
төртбұрышта оны екі төртбұрышқа бөлетіндей ЕF кесіндісін жүргізейік ( сурет 1).

Онда АЕDF, ЕFBC және АВСD төртбұрыштарының бұрыштар қосындысы х болсын.
Онда 
∠DAE + ∠AEF + ∠ EFD + ∠FDA=
=∠FEB + ∠EBC+∠BCF +∠CFE = ∠ADC + 
+
∠DCB + ∠CBA+∠BAD = x, бұдан 
(
∠DAE + ∠AEF + ∠ EFD + ∠FDA)+ (∠FEB
+ 
∠EBC+∠BCF +∠CFE) = ∠DAE +∠FDA + 
+
∠EBC +∠BCF + (∠AEF +∠FEB) +(∠EFD+ 
+
∠CFE)
Демек 2х = х + 360
, бұдан х = 360 . 
Сурет 1 
 
7. 
Бүкіл
үшін
қатынасын 
қанағаттандыратын барлық 
функциясын табыңыз. 
Жауап: 
 
Шешуі: 
–ті деп белгілейік. 
үшін
. Бұдан . 
1 жағдай: . 
. және қойсақ, ( )
.
Бұдан 
. 
Барлық x үшін 
. 
Барлық x үшін 
( )
. 
2 жағдай: 
және қояйық. Сонда ( )
барлық 
үшін, бұдан
=
+ 1 = 
. 
Басқа жолмен қарастырсақ, 
( )
.
Демек,
(1) 
болғандықтан, √ 
немесе √ 
Егер 
√ 
, (1)-де x-ке 2, ал y-ке  3 қойсақ, 85 = 12√ , дұрыс емес. 
Егер
√ 
болса, дәл сол сандарды қойсақ, 85 = 12√ . Демек,
мүмкін емес.

8.Екі оң санның арифметикалық ортасы - 
, ал гармоникалық ортасы - 
. 
Ариметикалық орта мен гармоникалық ортаның көбейтіндісі a және b сандарының 
көбейтіндісне тең. Әділқазы мүшелері осыдан жақсы есеп құрастыруға шешім қабылдады: 
 a
1
= 1, b
1
= 2 сандары берілген. Кез келген натурал n үшін a
n
және b
n
сандары - a
n-1 
және b
n-1
сандарының сәйкесінше арфиметикалық және гармоникалық орталары. 
a
2019
×b
2019
 көбейтіднің мәні неге тең? 
Шешуі: a
n
×b
n
көбейтіндінің мәні барлық n үшін бірдей, сондықтан a
2019
×b
2019
= 
=a
1
×b
1
=2. Әділқазы мүшелері есептің шарты қызықсыз деп, шартын осылай өзгертті: 
Бірінші күні таңертен мұғалім тақтаға 1 және 2 сандарын жазды. Барлығы екі сан. 
Оқушы күнде тақтада жазылған сандарды өшіріп орындарына олардын арифметикалық 
гармоникалық орталарын қысқарылмайтын бөлшек түрінде жазады. Оқушы 2019-шы 
күні кешке тақтаға қандай сандар жазады? 
Бұл есептің авторлары нені ескермеген? Түсіндіріңіз және дәлелдеңіз.