Вопросы к экзамену «математика»

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ «МАТЕМАТИКА»

1. 
   Числовой ряд и его сумма. Действие над рядами. Простейшие свойства числовых рядов. Необходимое условие сходимости ряда.
   
2. 
   Признаки сходимости числовых рядов: критерий Коши, признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак.
   
3. 
   Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость.
   
4. 
   Знакочередующие ряды, признак Лейбница. Оценка остатка ряда.
   
5. 
   Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Числовые ряды с комплексными членами.
   
6. 
   Функциональные ряды, область сходимости и сумма ряда. Равномерная сходимость функциональных рядов.
   
7. 
   Критерий Коши и признак Вейрштрасса равномерной сходимости.
   
8. 
   Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: непрерывность суммы, почленное дифференцирование и интегрирование рядов.
   
9. 
   Степенные ряды, теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
   
10. 
    Непрерывность суммы, интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
    
11. 
    Ряды Тейлора. Достаточные условия представления функции рядом Тейлора.
    
12. 
    Разложение основных функций в ряд Тейлора. Применение рядов Тейлора в приближенных вычислениях.
    
13. 
    Приложение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений.
    
14. 
    Периодические функции. Гармоники. Тригонометрические многочлены. Ортогональные системы функций.
    
15. 
    Тригонометрический ряд Фурье. Условие Дирихле.
    
16. 
    Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье.
    
17. 
    Ряд Фурье для функций на отрезке длиной 2π; на [0, π], для функций с произвольным периодом; на произвольном отрезке [a,b].
    
18. 
    Комплексная форма ряда Фурье. Спектры.
    
19. 
    Понятие функций комплексной переменной. Предел и непрерывность функций комплексной переменной.
    
20. 
    Производная функция комплексной переменной. Условия Коши-Римана.
    
21. 
    Аналитические функции. Гармонические функции.
    
22. 
    Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства.
    
23. 
    Интегральная теорема Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций.
    
24. 
    Ряды в комплексной области. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.
    
25. 
    Степенные ряды в комплексной области. Ряд Тейлора и его коэффициенты. Основные разложения.
    
26. 
    Ряд Лорана и его область сходимости.
    
27. 
    Нули аналитических функций и их классификация. Устранимые особые точки.
    
28. 
    Полюсы, их связи с нулями. Существенно особые точки.
    
29. 
    Вычеты аналитических функций, их вычисление.
    
30. 
    Основная теорема о вычетах.
    
31. 
    Вычеты в бесконечно удаленной точке. Полная сумма вычетов.
    
32. 
    Приложение вычетов к вычислению интегралов.