Въведение в логиката

ВЪВЕДЕНИЕ В ЛОГИКАТА

Учебник за 9 клас

София, 1994 г. ИК "СВЯТ-НАУКА"

Простите мисли не могат да бъдат непосредствена основа за извеждане на други мисли. Намирате се например на палубата на кораб в открито море и между многото впечатления, които имате, е и това, че живачният стълб на барометъра е много по-нисък, отколкото например преди час. Вие констатирате това в простата мисъл:

И какво от това? Сигурно мнозина ще кажат, че следва разра-зяването на буря. Но тези, които правят този извод, вече са напуснали пределите на простата мисъл, свързали са я с други мисли и от тяхното съчетаване са стигнали до извода за приближаващата буря. Те знаят, че:

Като че ли изводът само привидно следва от простата мисъл, взета в нейната самостоятелност, независимо от връзката й с други мисли. Разбира се, че в този случай капитанът няма да се задоволи с извода, а ще действа. Въз основа на други знания, които са свързани с полученото знание за приближаването на буря, той ще заповяда да се свалят платната, да се измерят скоростта и посоката на вятъра, да се установи кораба така, че да устои на бурята... Пак на тази основа той сигурно ще нареди на умозаключаващите пасажери да опразнят палубата и да се скрият в каютите.

За нас в случая е важно това, че простата мисъл трябва да бъде съчетана с мисли, които са осъзнаване на по-общи зависимости. Тези по-общи зависимости са дълбоката земна основа на сложните съчетания, които вече разгледахме - конюнкцията, дизюнкцията, импликацията и еквивалентността.

Таблиците за истинност разкриват свойствата на прости, но основни отношения, които са вплетени в тъканта на съчетанията от мисли. Затова от съединяването на сложни мисли с други мисли са стига с необходимост до изводи.

Всяко съчетание, изградено с помощта на коя да е логическа връзка, крие в себе си умозаключителни заложби. Когато към такава сложна мисъл се прибави друга мисъл, която утвърждава или отрича някой от компонентите на сложната мисъл, умозаключи-телните заложби се реализират, възможността за извеждане се осъществява.

Тези възможности са много. Ще разгледаме само някои, особено тези, които са били изучавани още в древната логика.

Нека да започнем с връзки между мисли, изразени на нашия език:

1. Ако на Юпитер има действуващи вулкани, то има въглероден двуокис в атмосферата му.

Следователно, има въглероден двуокис в атмосферата му.

Първата мисъл е условно положение, изградено с помощта на познатата ни вече импликация. Лесно може да определим нейния антецедент: "на Юпитер има действуващи вулкани" и нейния кон-секвент: "има въглероден двуокис в атмосферата му". Второто положение утвърждава наличието на антецедента. Изводът представлява утвърждаване на консеквента.

За нас вече не е трудно да заменим с променливи антецедента и консеквента, а също и връзката "АКО, ТО" с познатия ни знак за импликация.

Второто положение е утвърждаване на антецедента и следователно трябва да бъде записано с буквата, с която сме го означили. Трите точки под чертата заместват "следователно":

Същото, но записано линейно, ще изглежда така:

т.е. импликацията, взета заедно с утвърждаване на антецедента й, води след себе си консеквента. Главната константа тук е втората импликация, С нея сме заменили трите точки от предишния запис.

Символният запис точно възпроизвежда структурата на свързаните мисли, от която тръгнахме. Разликата е само в това, че умо-заключението, което изразихме със средствата на родния ни език, е образно казано от плът и кръв, а символният запис е само неговият безжизнен скелет.

Но как да сме сигурни, че от утвърждаването на антецедента на една истинна импликация следва нейния консеквент? Няма да разчитаме на интуицията си, а ще прибегнем към таблицата за истинност на импликацията и ще намерим къде в нея, първо, импликацията е истинна и второ, заедно с това е истинен нейният антеце-дент:

И	И	И
И	Н	Н
Н	И	И
Н	Н	И

Импликацията е истинна в три случая, но само в първия от тях (той е подчертан) е истинен нейният антецедент. В този случай стойността на В, на консеквента, е също истинна.

Структурата на умозаключението, което разглеждаме е изучавана още в древността. Наричат го условно-категорично умозаклю-чение, тъй като първата предпоставка е условна мисъл, а втората мисъл категорично (т.е. безусловно) утвърждава антецедента. В логиката го наричат обикновено МОДУС ПОНЕНС, т.е. утвърдителен вид на условно-категоричното умозаключение.

МОДУС ПОНЕНС: _

От утвърждаване антецедента на една истинна импликация следва утвърждаване на нейния консеквент.
Ако съчетаем истинната импликация:
1. Ако нещо е човек, то е смъртно същество;

с отрицанието на консеквента й:

2. Съществото не е смъртно;

е естествено да стигнем до извода:

Следователно, то не е човек
Структурата явно е:


Ако сме затруднени, отново ще се върнем към таблицата за истинност на импликацията и ще се убедим, че истинна импликация и неистинен консеквент съвпадат само в последния, четвъртия случай. В таблицата той е подчертан с пунктир.

Това представлява отрицателната разновидност на условно-категоричното умозаключение. Наричат го МОДУС ТОЛЕНС, тъй като при него чрез отричане на консеквента се стига до отричане на антецедента.



Разглежданите случаи трябва внимателно да бъдат различавани от други, които имат външна прилика с разглежданите, но всъщност представляват логически грешки.

Да предположим, че някой обосновава по такъв начин безспорния факт, че не сме известни на обществеността:

Ако си Стоичков, то си и известен. Ти не си Стоичков; Следователно не си известен.

Структурата на "умозаключението" е:

Тук от отричане на антецедента се прави опит да се заключи, че и консеквентът е неистинен. От затруднението, ако има такова, ще ни избави таблицата за истинност на импликацията. От трите случая на истинност на импликацията само в третия и четвъртия случай антецедентът е неистинен. Като разгледаме тези два случая, ще видим, че в третия неистинният антецедент се съчетава с истинен консеквент, а в четвъртия - той се съчетава с неистинен кон-секвент. Както вече отбелязахме, Аристотел учи, че "извод е онова, което следва с необходимост." Тук нищо не следва с необходимост. Следователно, няма извод.

А щом няма извод, положенията които предшестват, нямат качества на предпоставки. Този логически дефект се нарича "грешка на отричане на антецедент".

Но дори да не прибягваме към таблицата за истинност, можем да разкрием нелогичността на разсъждението по друг начин. Вярно е, че ти, аз и т.н., сме неизвестни. Но тези неща се отнасят към конкретната материя на разсъждението. Видяхме, че като ги заменим с променливи, запазвайки същата обща структура, можем вече да ги конкретизираме по най-различен начин. Какво ще се получи, ако заменим "ти" в "ти не си Стоичков" с Исак Нютон?

Вярно е, че Исак Нютон не е Стоичков, но не е вярно, че той не е известен. Следователно в случая е сбъркана самата структура, понеже веднъж с нея "стигаме" до истинни, а друг път до неистинни "изводи".

Същото би се получило, ако от положенията "Ако вали дъжд, то земята става мокра" и "Земята е мокра" направили извода, че "вали дъжд" Схематично:

И без помощта на таблицата може да разкрием нелогичността на разсъждението. Мокротата на почвата може да е резултат от топене на снега, т.е. не е задължително свързана с наличието на явлението дъжд. Тази грешка се нарича "утвърждаване на консеквен-та", когато на тази основа се опитваме да утвърдим антецедента.

И	И	И
И	Н	И
Н	И	И
Н	Н	Н

Какво знаем за една дизюнкция без каквито и да е нейни конкретизации? Това, че тя е истинна при истинност поне на един от аргументите й. С други думи, ако не единият, то поне другият трябва да е налице. В предшествуващото изречение са изразени умозаключителните заложби, които искаме да разкрием. Ако единият аргумент от тях е неистинен, то задължително другият трябва да е истинен. Защо? Защото ако другият също е неистинен, ще излезе, че и двата са неистинни, а това е случаят, в който дизюнкцията е неистинна (последният, четвъртият ред в таблицата). Допускането, че дизюнкцията е истинна, вече задължително води до приемане истинност на поне един от аргументите. Ако отричането на единия не води с необходимост до наличие на другия, ще се получи противоречие с първоначалното допускане за истинност на дизюнкцията. Достигането до противоречие (едновременно утвърждаване и отричане на едно и също нещо) е като червена лампичка, която ни предупреждава, че някъде връзката на мислите се е скъсала. Затова схемата на умозаключението е:

Съвсем същото по структура има в:

Единствената разлика между двата израза е в това, че веднъж отричаме първия, а след това втория аргумент. Но това не засяга структурата на мислите, която е еднаква и в двата случая. Мисълта се движи от отричане на единия към утвърждаване на другия аргумент. Поради това схемата се нарича отрицателно-утвърдителен мо-дус на дизюнктивното умозаключение. В логиката често се среща с латинското си име МОДУС ТОЛЕНДО ПОНЕНС. Той е единственият вид на включващата дизюнкция. В таблицата за истинност той отговаря на подчертаните с непрекъсната линия втори и трети ред. В тях истинност на дизюнкцията съвпада с неистинност на един от аргументите й с истинност на другия. Може да се попита защо не следваме хода на мислите си - от утвърждаване на единия от аргументите към отричане на другия? Тази възможност се пресича от ред 1 (подчертан с пунктир, в който утвърждаването на единия аргумент съществува съвместно с утвърждаването на другия).

Знаем, че тъкмо възможността от едновременна истинност на аргумента е изключена при изключващата дизюнкция:

И	И	Н
И	Н	И
Н	И	И
Н	Н	Н

От таблицата се вижда, че двата случая на нейната истинност съответстват на противоположна стойност на аргументите - ако единият е истинен, то другият е неистинен. С това са свързани нейните умозаключителни възможности.

От типичната изключваща дизюнкция на древните:

"Ден е или нощ"

можем от отрицанието на единия от аргументите да съдим с необходимост за утвърждаването на другия:

Това е отрицателно-утвърдителният вид на дизюнктивното умозаключение, който видяхме по-горе с включващата дизюнкция. Но с изключващата дизюнкция е свързана още една възможност за умозаключение. От утвърждаване на един от аргументите (например ден е) логично се стига до отричане на другия (следователно не е нощ). В този случай структурата на мислите е друга: