Задача оценивается в 7 баллов Использование калькуляторов и дополнительных материалов запрещено

Каждая задача оценивается в 7 баллов

Использование калькуляторов и дополнительных материалов запрещено
9 класс, 1 день

1. 
   Дописать справа к числу 523 … три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9.
   
2. 
   Определите 2007-ой десятизначный знак после запятой десятичной дроби .
   
3. 
   Докажите, что
   
4. 
   Пусть ABCD – параллелограмм (АВ>CD), М – середина АВ, а N – пересечение CD и биссектрисы угла АВС. Докажите, что если СМ и BN перпендикулярны тогда АN – биссектриса угла DAB.
   

1. 
   Пусть a, b и c действительные положительные числа, такие, что abc=1. Докажите, что
   
2. 
   Сколько существует натуральных чисел, больших 10, каждое из которых равно сумме его цифр и их произведения (например, 29=2+9+2*9)?
   
3. 
   Внутри четырехугольника ABCD взята точка М так, что ABМD – параллелограмм. Докажите, что если .
   
4. 
   Решите систему уравнений
   

1. 
   Сколько существует натуральных чисел, больших 10, каждое из которых равно сумме его цифр и их произведения (например, 29=2+9+2*9)?
   
2. 
   Действительные числа х и у удовлетворяют следующим условиям: . Докажите, что х⁶+х³у³+у⁶ является натуральным, и вычислите (найдите) его.
   
3. 
   Пусть сторона АВ треугольника АВС является диаметром окружности с радиусом R, и С лежит на этой окружности. Биссектриса угла пересекает ВС в точке Е, а окружность – в точке D. АС пересекается с окружностью, описанной около треугольника CED, в точке F. Если ВС=а, выразите CF через R и а.
   
4. 
   В каком из выражений: (1-х²+х³)¹⁰⁰⁰ или (1+х²-х³)¹⁰⁰⁰ после раскрытия скобок и приведения подобных членов, больший коэффициент при х²⁰?
   

Каждая задача оценивается в 7 баллов

5. 
   Пусть а, b, с действительные числа удовлетворяющие условиям . Докажите, что значение выражения не зависит от значений a, b, c.
   
6. 
   Доказать, что если длины сторон прямоугольного треугольника выражаются целыми числами, то произведение чисел, выражающих длины катетов, делится на 12.
   
7. 
   В офисе, где работает 94 сотрудников, каждый из сотрудников знает хотя бы один язык – казахский или русский. Причем, 70% из тех, которые знают казахский, также знают и русский, а 80% из тех, которые знают русский, также знают и казахский. Сколько сотрудников данного офиса знают оба языка?
   
8. 
   Владелец кодового дипломата забыл 3-значный набор цифр (000-999), с помощью которого открывается дипломат. Он только помнит, что сумма цифр равна 15. Какое минимальное количество вариантов ему следует опробовать, чтобы гарантированно открыть дипломат?
   

9. 
   Сколько существует пар натуральных чисел х и у, меньших тысячи, таких, что х²+у² делится на 7?
   
10. 
    Дана последовательность целых чисел а₁, а₂, …,а₂₀₀₇, для которой справедливо а₁=1, а₂=3 и при любых натуральных выполняется а_n+1=3a_n - 2a_n-1. Найдите а₂₀₀₇.
    
11. 
    Владелец кодового дипломата забыл 3-значный набор цифр (000-999), с помощью которого открывается дипломат. Он только помнит, что сумма цифр равна 15. Какое минимальное количество вариантов ему следует опробовать, чтобы гарантированно открыть дипломат?
    
12. 
    В треугольнике АВС выполняется равенство
    

5. 
   Какое из чисел больше: или ? Почему?
   
6. 
   Определите простые числа p и q, если известно, что уравнение x⁴ - px³ + q = 0 имеет целый корень.
   
7. 
   Из точки С проведены касательные СА и СВ к окружности О. Из произвольной точки N окружности опущены перпендикуляры ND, NE и NF соответственно на прямые АВ, СА и СВ. Докажите, что ND=.
   
8. 
   Номер автобусного билета состоит из шести цифр (первые цифры могут быть нулями). Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр равна сумме последних трех. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.
   

Жұмыс уақыты – 4 сағат

Әр есеп 7 ұпайға бағаланады

Калькуляторларды және қосымша материалдарды қолдануға тыйым салынады

1. 
   523 … санына үші цифрды жағынан жазыңыз, шыққан алты таңбалы сан 7, 8 және 9-ға бөлінуі керек.
   
2. 
   ондық бөлшегінің үтірден кейінгі 2007-ші ондық таңбасын тбыңыз.
   
3. 
   Теңсіздікті дәлелдеңіз:
   
4. 
   ABCD – параллелограмм болсын (АВ>CD), М – АВ-ның ортасы, ал N – CD мен АВС бұрышының биссектрисасының қиылысуы. СМ мен BN перпендикуляр болса, онда АN кесіндісі DAB бұрышының биссектрисасы болатынын дәлелдеңіз.
   

2. 
   Цифрларының қосындысы мен көбейтіндісін қоссақ сол сан өзі шығатындай, 10-нан үлкен қанша натурал сандар бар? (Мысалы, 29=2+9+2*9)?
   
3. 
   ABCD төртбұрышының ішінен М нүктесі ABМD параллелограмм болатындай етіп алынған. Егер болса, онда дәлелдеңіздер.
   
4. 
   Теңдеулер жүйесін шешіңіз:
   

1. Цифрларының қосындысы мен көбейтіндісін қоссақ сол сан өзі шығатындай, 10-нан үлкен қанша натурал сандар бар? (Мысалы, 29=2+9+2*9)?

2. 
   Нақты х және у сандары келесі шарттарды қанағаттандырады: . Онда х⁶+х³у³+у⁶ натурал сан екенін дәлелдеңіз және оны табыныз.
   
3. 
   АВС үшбұрышының АВ қабырғасы – радиусы R-ге тең шеңбердің диаметрі, ал С – осы шеңбердің нүктесі. бұрышының биссектрисасы ВС-ны Е нүктесінде, ал шеңберді D нүктесінде қияды. Ал АС кесіндісі CED үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді F нүктесінде қияды. Егер ВС=а болса, онда CF-ты R және а арқылы өрнектеңіз.
   
4. 
   (1-х²+х³)¹⁰⁰⁰ және (1+х²-х³)¹⁰⁰⁰ өрнектерінің жақшаларын ашып, ұқсас мүшелерін біріктіргеннен кейін олардың қайсысында х²⁰ – ның алдындағы коэффициенті үлкен болады?
   

Жұмыс уақыты – 4 сағат

Әр есеп 7 ұпайға бағаланады

Калькуляторларды және қосымша материалдарды қолдануға тыйым салынады

5. болатындай а, b және с нақты сандар болсын. Келесі өрнек a, b және c мәндеріне тәуелсіз екенін дәлелдеңіздер.

7. 
   Офисте 94 қызметкер. Әр қызметкер кем дегенде бір тіл біледі – қазақша немесе орысша. Сонымен қатар қазақша білетіндердін 70% тағы орыс тілін біледі, ал орысша білетіндердің 80% тағы қазақ тілін біледі. Офиста қанша қызметкер екі тілді де біледі?
   
8. 
   Дипломаттың иесі кодпен ашылатын дипломаттың 3-таңбалы саннан (000-999) тұратын кодты ұмытып қалыпты. Оның теқ ол санның цифрларының қосындысы 15 екені ғана есінде бар. Дипломатты кепілді түрде ашу үшін ең аз дегенде оған қанша вариант қарап шығу керек?
   

2. 
   х²+у² 7-ге бөлінетіндей, мыңңан кіші х, у натурал сандарының қанша жұбы бар?
   
3. 
   а₁, а₂, …,а₂₀₀₇ бүтін сандар тізбегі берілген. а₁=1, а₂=3 және кез келген натурал үшін а_n+1=3a_n - 2a_n-1 қатынасы орындалады. Тізбектің а₂₀₀₇ мүшесін табыныз.
   

7. 
   Дипломаттың иесі кодпен ашылатын дипломаттың 3-таңбалы саннан (000-999) тұратын кодты ұмытып қалыпты. Оның теқ ол санның цифрларының қосындысы 15 екені ғана есінде бар. Дипломатты кепілді түрде ашу үшін ең аз дегенде оған қанша вариант қарап шығу керек?
   
8. 
   АВС үшбұрышында тендігі орындалса, онда АВ+ВС< болатынын дәлелдеңіз.
   

2. 
   Қайсысы үлкен: ме әлде ме? Неліктен?
   
3. 
   x⁴ - px³ + q = 0 теңдеуінің бүтін түбірі бар болатындай барлық p және q жай сандарын табыңыз.
   

2. 
   С нүктесінен О шеңьеріне СА және СВ жанамалары жүргізілген. Кез келген шеңбердің N нүктесінен АВ, СА және СВ түзулеріне сәйкесінше ND, NE және NF перпендикулярды түсірілген. ND=болатынын дәлелдеңіз.
   
3. 
   Автобус билетінің нөмірі алты цифрдан тұрады (бірінші цифрлары нөл де болуы мумкін). Егер бастапқы үш цифрдың қосындысы қалған үшеуінің қосындысына тең болса билет бақытты деп аталады. Бақытты билеттердің нөмірлерінің барлығының қосындысы 13-ке бөлінетінің дәлелдеңіз.