Задача: заданы параметры. Необходимо определить 9 направляющих косинусов.

Здесь .

Пусть . Тогда из (1) – (2) имеем

Здесь .

Положения равновесия:

R. W. Longman – 1968; R. W. Longman, P. Hagedorn, A. Beck – 1981;

В. А. Сарычев, С. А. Мирер – 2001; В. А. Сарычев, С. А. Мирер, А. А, Дегтярев – 2005.

II. Случай

R. W. Longman – 1971; В. А. Сарычев, С. А. Мирер, А. А. Дегтярев – 2008.

В. А. Сарычев, С. А. Гутник – 1984.

Рассмотрим последние два уравнения системы (17), переписав их в виде

где

Систему (18) можно переписать несколько иначе:

(19)
На рис. 1, 2, 3 представлены три различных варианта взаимного расположения ветвей гипербол и окружности.

Рис.1. Взаимное расположение окружности

и ветвей гиперболы ()

Рис.2. Взаимное расположение окружности

и ветвей гиперболы ()

Рис.3. Взаимное расположение окружности

и ветвей гиперболы ()
Таким образом, система (18), а, следовательно, и система (17) имеет либо восемь, либо четыре решения.
Определим границы в плоскости параметров , разделяющие области с различным числом решений системы (18). Бифуркационными точками являются точки плоскости , принадлежащие одновременно ветвям гипербол, не проходящих через начало координат, и окружности; в бифуркационных точках касательные к гиперболе и окружности совпадают. Опуская достаточно простые выкладки, приходим к уравнению астроиды
(20)
В области существуют восемь решений, в области существуют четыре решения.
Случай 2 может быть рассмотрен аналогично. Применив использованный в случае 1 подход, можно показать, что и в случае 2 границей, отделяющей область существования восьми решений от области существования четырех решений, также является астроида
(21)
На рис.4 представлены астроиды (20) и (21), выделяющие в плоскости три области с различным числом положений равновесия осесимметричного спутника-гиростата. В области существуют 16 решений, в области существуют 12 решений, в области существуют 8 решений.

Рис.4. Области существования 16, 12 и 8 положений равновесия

Представим

Тогда интеграл энергии может быть записан следующим образом:

В случае 1 достаточные условия устойчивости выполняются в областях

В случае 2 достаточные условия устойчивости выполняются в областях