Задачи к зачету (3 семестр) по проективной геометрии 1

Доказать следующие утверждения о взаимном расположении прямых и плоскостей в расширенном аффинном пространстве:

а) любые две прямые, лежащие в плоскости, пересекаются, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) точку;

б) любая прямая, не лежащая в плоскости, пересекает плоскость, т.е. имеет с ней общую (собственную или несобственную) точку;

в) любые две плоскости пересекаются по прямой, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) прямую;

г)Доказать, что в расширенном аффинном пространстве через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

а) На расширенной прямой задан проективный репер R = (A₁, A₂, E). Построить точки М(1, –1), N(–2, 1), L(–2, 2) по их координатам в этом репере.

б) На расширенной прямой задан проективный репер R = (A₁, A₂, ). Построить точки М(–1, 1), N(1, –2), L(–2, 3) по их координатам в этом репере.

3.

а)На расширенной прямой задан проективный репер R = (A₁, A₂, E), A₁, A₂ – собственные точки прямой , E – середина отрезка A₁A₂. Найти координаты несобственной точки прямой в репере R.

б) На расширенной прямой задан проективный репер R = (A₁, A₂, E¹), D – середина отрезка A₁A₂. Найти координаты точки D в репере R.

4.

а) На расширенной плоскости задан проективный репер R = (A₁, A₂, A₃, E), вершины и единичная точка которого – собственные точки. Построить следующие точки по их координатам в репере R: M(1, 2, 0), В(– 1, 3, 2), N(–1, 1, 2), K(–2, 1, 3), L(0, –2, 1), Q(0, –4, 0).

в) На расширенной плоскости построить прямую по ее координатам относительно заданного проективного репера R = ( , , A₃, E): а) m(0, 1, 2); б) n(2, 3, 1).

а) Сформулировать предложение, двойственное данному утверждению, в проективном пространстве:

а₁) через любую прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость;

а₂) через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость;

а₃) две прямые, проходящие через одну точку, принадлежат одной плоскости;

а₄) если три прямые попарно пересекаются и не лежат в одной плоскости, то они имеют единственную общую точку;

a₅) существуют четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

б) Пользуясь принципом двойственности, доказать, что на проективной плоскости:

б₁) через каждую точку проходит не менее трех прямых;

б₂) существуют по крайней мере три прямые, не проходящие через одну точку.

На расширенной плоскости построить дезарговы трехвершинники таким образом, что:

а) дезарговой осью является несобственная прямая, а дезарговым центром – собственная точка;

б) дезарговой осью является несобственная прямая, а дезарговым центром – несобственная точка; в) дезарговой осью является собственная прямая, а дезарговым центром – несобственная точка.