Задачи повышенной трудности

Задача № 116 – это фактически задача на перебор вариантов. Ее цель в данном параграфе состоит в том, чтобы дать учащимся возможность накопить некоторый опыт по подсчету числа вариантов и по построению дерева вариантов прежде, чем будут введены соответствующие термины и сформулировано правило произведения.

После обсуждения ответов и решений учащихся учитель может сказать примерно следующее:

«Вы получили разные ответы, но никто не смог доказать, что он перебрал все возможные случаи. Давайте попробуем разработать такой способ подсчета, при котором можно быть уверенным в том, что мы перебрали все возможные варианты.» Тогда словосочетание «перебор … вариантов» появляется в таком контексте, что смысл его объяснять не надо, тем более, что используемые слова учащимся к этому моменту уже знакомы из других жизненных ситуаций.

Далее учащимся предлагается сначала посчитать, сколько можно построить ломаных с началом в точке А. Рассуждаем так: из точки А можно пойти в точку B или в точку C или в точку D. Чтобы ничего не пропустить, сделаем рисунок:

Теперь подумаем, куда мы можем пойти из точки B, из точки C, из точки D, и т.д. В результате рассуждений получаем такой рисунок:

«Итак, мы видим, что можно построить 6 ломаных с началом в точке A. Запишем их названия. Как вы думаете, сколько всего ломаных мы получим, если проделаем такую же работу с остальными точками? Проверьте свое предположение дома.»

Здесь работа над задачей в классе заканчивается и учащимся предлагается закончить ее дома: изобразить все ломаные с началом в точке A и, рассуждая аналогично (сделав такой же рисунок), выписать и изобразить все ломаные с началом в точках B, C и D. В процессе выполнения этой работы учащиеся заметят, что каждая ломанае повторяется дважды, поскольку, например, ABCD и DCBA – это одна и та же ломаная. Поэтому всего различных ломаных получится не 6  4 = 24, а вдвое меньше – 12.

Время на работу с задачей в классе можно сократить, если заранее заготовить слайд с «деревьями», построенными из точек B, C и D.

Далее учащимся предлагается дома на альбомном листе изобразить все 12 ломаных и подумать над задачей №117.

Решение. Рассуждения здесь могут быть такими: «Перебирая возможные варианты для незамкнутых ломаных, мы первоначально получили 24 варианта. Затем выяснили, что мы получили 24 варианта названий ломаных, и в этих названиях каждая ломаная повторяется дважды, поэтому всего ломаных 12.

Превратим незамкнутые ломаные в замкнутые: добавим необходимое звено. Видим, например, что замкнутые ломаные ABCD, BCDA, CDAB и DABC – это одна и та же ломаная,

т. е. число различных замкнутых ломаных в 4 раза меньше числа незамкнутых: 12 : 4 = 3.»

Можно рассуждать по-другому. «Рассмотрим замкнутую ломаную ABCD. Ее название можно записать 8-ю способами (по два названия для каждой из начальных точек A, B. C, D). Это значит, что число замкнутых ломаных в 8 раз меньше числа всех возможных вариантов записи названий ломаных с вершинами в точках A, B, C и D: 24 : 8 = 3.»

И, наконец, тот же результат можно получить, попытавшись изобразить различные замкнутые ломаные с вершинами в этих точках. Больше трех вариантов найти не удается.

А Пятачок проделал то же самое с другим трехзначным числом. У него получилось так:

Постарайтесь разгадать, какое число записал Иа-Иа, а какое Пятачок.

Как правило, находятся учащиеся, которые справляются с этой задачей дома без чьей-либо помощи. Если их немного, не стоит торопиться с тем, чтобы они рассказали свое решение всем. Достаточно ответа на вопрос: с чего ты начал?

Если же таких учащихся не нашлось, дается подсказка: подумайте, какой может быть сумма цифр трехзначного числа, может ли она начинаться с цифры 3, с цифры 4 и т.д.? если нет, то почему? После этого задача опять задается на дом.

1) И + О = И, значит, О = 0. Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 (9 + 9 + 9 = 27). Поскольку, О = 0, а И может быть равно только 2 или 1, сумма цифр задуманного числа равна либо 20, либо 10. Проверим оба варианта.

Если И = 2, то ИО=20, тогда А должно быть равно 16. Но цифры 16 не существует.

Если И = 1, то ИО=10, тогда А должно быть равно 8. Это возможно.

Значит, Иа-Иа задумал число 181.

2) Аналогично у Пятачка: число ЧО может быть равно 20 или 10, т.е. Ч может быть равно 2 или 1. Проверим эти варианты.

Если Ч = 2, то П = 9. Это возможно.

Если Ч = 1, то П определить невозможно, так как П + П = 9, а 9 не делится на 2.

Значит, Пятачок задумал число 929.

166. Прохожий заметил идущий на остановку автобус в 180 метрах позади себя. Чтобы не опоздать, он побежал и через 12 секунд прибежал на остановку одновременно с автобусом. С какой скоростью пришлось бежать прохожему, если известно, что автобус движется со скоростью 19 м/сек?

Прежде чем давать эту задачу на дом, целесообразно прочитать ее в классе и сделать к ней рисунок, т.е. составить графическую модель ситуации, описанной в задаче:

1) 19  12 = 228 (м) – расстояние, которое проехал автобус;

2) 228 – 180 = 48 (м) – расстояние, которое пробежал прохожий;

3) 48 : 12 = 4 (м/с) – скорость прохожего.

Ответ: 4 м/с.
II способ.

1) 180 : 12 =15 (м/с) – скорость, с которой автобус догоняет прохожего;

2) 19 – 15 = 4 (м/с) – скорость прохожего.

Ответ: 4 м/с.

На какую из ранее решенных задач похожа эта задача? (задача №132, про шляпу, которую ветер сорвал со старухи Шапокляк)

I способ.

1) Какую величину требуется найти в задаче? (скорость)

2) Какие величины надо знать, чтобы определить скорость движения? (путь и время)

3) Какие из них нам известны? (время)

4) Подумайте, как определить путь.

II способ.

1) О каком движении речь идет в задаче: навстречу, вдогонку, объекты сближаются или удаляются? Как бы вы охарактеризовали скорость, с которой меняется взаимное расположение объектов? (движение вдогонку, автобус догоняет пешехода, скорость сближения)

2) В этой задаче двигаются автобус и прохожий, причем автобус догоняет прохожего. Какие скорости и расстояния рассматриваются, когда речь идет о движении вдогонку? (скорости движущихся объектов, скорость сближения или удаления, расстояние между объектами, время, которое требуется, чтобы одному из них догнать другого).

4) Какие из этих величин известны, какие нет? Какая из них искомая? (известно время, которое потребовалось автобусу, чтобы догнать прохожего, скорость автобуса; неизвестна скорость сближения; искомая величина – скорость прохожего).

5) Как определить неизвестные величины?

б) Рабочий изготовил 10 деталей на своем станке за 52 часа 30 минут; станок-автомат изготовил 25 таких же деталей за 43 часа 45 минут. Во сколько раз автомат работал быстрее рабочего?

б) Аналогичный прием применить не удается. Но уже попытки предпринять что-либо способствуют накоплению опыта в работе с единицами измерения времени. В конечном итоге приходим к необходимости выразить время работы в минутах.

В учебнике есть задачи-ступеньки, ведущие к задаче №349. Это задачи №327-329. Решение этих задач приводит к необходимости выполнить деление с остатком, определить, какую часть составляет этот остаток от величины, принятой за целое: расстояния, которое преодолевается за единицу времени, или стоимости единицы массы.

Практика показывает, что для того, чтобы задачу №349 тем или иным способом решили практически все учащиеся, требуется несколько уроков. Как правило, на первый урок после того, как было получено задание, с решением приходят 1-2 ученика, причем довольно часто задача бывает решена методом подбора. Отвергать его не следует. Однако, надо предложить учащимся постараться решить задачу более традиционным методом.

Попытка решить задачу с помощью уравнения, как правило, приводит к выражениям, которые учащиеся на этом этапе преобразовывать еще не умеют. Поэтому возникает необходимость решить эту задачу арифметическим методом.

Первая Подсказка. Какие величины надо знать, чтобы определить расстояние? Какие из них известны? Представьте, что вылетели одновременно два аэроплана: первый со скоростью 180 км/ч, а второй – со скоростью 200 км/ч.

После этой подсказки еще несколько учащихся приносят решения.

Вторая Подсказка. На каком расстоянии от пункта прибытия был первый аэроплан в тот момент, когда второй туда прилетел? Как бы вы охарактеризовали это расстояние? Целесообразно вместе с учащимися построить графическую модель ситуации:

Третья Подсказка. Скорость известна. Что нужно знать, чтобы определить время в пути, зная, на какое расстояние за это время второй аэроплан обогнал первый?

Решение (заметим, что мы приводим только один из возможных способов, практика же показывает, что при такой организации работы над задачей учащиеся приносят до пяти различных способов решений).

1) Представим, что вылетели одновременно два аэроплана, первый со скоростью 180 км/ч, а второй – со скоростью 200 км/ч. Тогда, в тот момент, когда второй совершил посадку, первый был от пункта назначения в 30 мин полета. Поскольку его скорость 180 км/ч, ему осталось лететь

180 : 2 = 90 (км).

2) 90 км – это расстояние, на которое второй аэроплан обогнал первый за время полета. Чтобы найти расстояние между городами, надо знать время полета. Это то самое время, за которое второй аэроплан обогнал первый на 90 км. Его можно найти, если определить скорость удаления:

200 – 180 = 20 (км/ч).

3) 90 : 20 = 4 ч (10 км ост).

Если за 1 час расстояние между самолетами увеличивается на 20 км, то на 10 км оно увеличится за полчаса. Значит, второй аэроплан был в полете 4 ч 30 мин.

4) 200  4 = 800 (км) – расстояние, которое пролетел второй аэроплан за 4 часа.

И еще за полчаса он пролетел 100 км.

5) Значит расстояние между городами: 800 + 100 = 900 (км).

Ответ. 900 км.
493. Изобразите отрезок MN. Отметьте на нем точки K и L так, чтобы отрезок KN составлял , а отрезок ML – отрезка MN. Какую часть отрезков MN, NK, ML, MK и NL составляет отрезок KL? Прежде чем решать задачу подумайте, какой длины удобно взять отрезок MN.
Подсказка содержится в тексте задачи. Учащимся предлагается в классе прочитать первые два предложения и подумать над подсказкой. После этого задача дается на дом.

Можно даже выполнить первую половину задания в классе: изобразить отрезок и отметить на нем точки. Завершить выполнение задания учащимся предлагается дома.

Решение (5 класс).

1) Сколько книг может переплести за один день первая мастерская?

960 : 16 = 60 (книг).

2) Сколько книг может переплести за один день вторая мастерская?

960 : 24 = 40 (книг).

3) Сколько книг может переплести за один день третья мастерская?

960 : 48 = 20 (книг).

4) Сколько книг могут переплести за один день три мастерские, работая одновременно?

60 + 40 + 20 = 120 (книг).

5) За какой срок выполнят работу три мастерские, работая одновременно?

960 : 120 = 8 (дней).

6) Сколько книг успеет переплести первая мастерская за 8 дней?

60  8 = 480 (книг).

7) Сколько книг успеет переплести вторая мастерская за 8 дней?

40  8 = 320 (книг).

6) Сколько книг успеет переплести третья мастерская за 8 дней?

20  8 = 160 (книг).

Ответ: 8 дней, I мастерская успеет переплести 480 книг, II мастерская – 320 книг, III мастерская – 160 книг.

Заметим, что первые 5 действий можно записать одним выражением.

Второй вопрос задачи можно перефразировать следующим образом: будет ли работа выполнена за более короткий срок, если отдать больше книг в ту мастерскую, которая работает быстрее всех? (Поскольку очевидно, что если книги отдать в мастерскую, которая работает медленнее, работа будет выполняться дольше).

В ответе на первый вопрос задачи было получено:

а) работа будет выполнена за 8 дней;

б) за 8 дней I мастерская успеет переплести 480 книг;

II мастерская успеет переплести 320 книг;

III мастерская успеет переплести 160 книг.

Если перераспределить книги, увеличив их число в I мастерской, то на работу потребуется более 8 дней. Значит, оптимальным является только найденный вариант распределения.

На самом деле, тот факт, что увеличение числа книг в первой мастерской ведет к увеличению срока выполнения работы, достаточно очевиден, но у некоторых учащихся остаются сомнения, если им наглядно не представлены результаты, найденные при ответе на первый вопрос.

Решение (6 класс).

Примем объем всей работы за единицу – 1. Тогда за один день

I мастерская сможет выполнить часть всей работы,

II мастерская сможет выполнить часть всей работы,

III мастерская сможет выполнить часть всей работы,

1) Какую часть работы могут выполнить за один день три мастерские, работая одновременно?

2) За один день выполняется часть работы, значит, вся работа будет выполнена за 8 дней.

3) Какую часть книг успеет переплести каждая мастерская за 8 дней?

I мастерская: (часть);

II мастерская: (часть);

III мастерская: (часть).

4) Сколько книг успеет переплести каждая мастерская за 8 дней?

I мастерская: 960  = 480 (книг);

II мастерская: 960  = 320 (книг);

III мастерская: 960  = 160 (книг).

Ответ: 8 дней, I мастерская успеет переплести 480 книг, II мастерская – 320 книг, III мастерская – 160 книг.
677. В первой фляге молока в 3 раза больше, чем во второй. Когда из первой фляги перелили во вторую 15 л, молока в обеих флягах стало поровну. Сколько литров молока было в каждой фляге первоначально?
Попытка решить задачу алгебраическим методом, приводит к уравнению, которое пятиклассникам, решить довольно затруднительно. Поэтому здесь целесообразно предложить учащимся составить графическую модель ситуации (рисунок), описанной в задаче, и подумать над этой моделью:


Наводящий вопрос: покажите то количество молока, которое надо перелить из первого бидона во второй, чтобы уравнять количество молока в обоих бидонах.

Как только учащиеся поняли, что 15 л это треть молока, содержащегося в первом бидоне, задача решена.

2) Придумайте сами аналогичную задачу.

Внимательно изучив данные, видим, что 14 + 15 = 29. Значит коробок, в которых по 14 кг должно быть 15, а тех, в которых по 15 кг – 14.

Какие величины в задаче известны? Сделаем рисунок:

Длина поезда – это расстояние от начала головного вагона до конца хвостового вагона. Какие величины мы обычно используем, чтобы найти расстояние?

Как бы вы решали задачу, если бы поезд, в котором сидел пассажир, стоял на месте?

Решение.

2) 108 (км/ч) = (108  1000) : 3600 (м/с) = 30 (м/с).

3) 30  10 = 300 (м) – длина поезда.

Ответ: 300 м.

б) В случае затруднений, постарайтесь определить, на сколько первый катер проходит больше километров за 1 час, чем второй

в) Если вы так и не смогли решить задачу, постарайтесь разобраться в том, как это можно сделать, из следующего текста.

Первый катер при движении по течению за 4 ч «выиграл» 8 км (4  2) по сравнению с тем расстоянием, которое он прошел бы за это время, двигаясь в стоячей воде, а второй катер столько же километров «проиграл», так как двигался против течения. Всего же второй катер за 4 ч «проиграл» первому 16 км. Значит, на таком расстоянии он был от A тогда, когда первый прибыл в B.

Подсказки и решение этой задачи следуют сразу после условия, под буквами б) и в).
798. Начертите с помощью циркуля окружность и проведите диаметр. Обозначьте его АВ. На окружности отметьте две любые точки С и D. Соедините их с точками А и В. Какими (острыми, прямыми или тупыми) получились углы АСВ и ADB? Сделайте вывод.

799. Начертите окружность и проведите отрезок АВ с концами на этой окружности. Отметьте на окружности точки C, D и Е так, чтобы угол АВС был острым, угол АВD – прямым, а угол АВE – тупым.
Задачи №798 и 799 – это задачи-ступеньки к задаче №800.

Выполняя задание №798, учащиеся видят, что все углы, вершины которых принадлежат окружности, а стороны проходят через концы диаметра – прямые.

После выполнения задания №799 целесообразно предложить учащимся вопрос: «Есть ли среди отрезков AC, AD и AE диаметр данной окружности?»
800. На отдельном листе бумаги, используя чашку вместо циркуля, проведите карандашом окружность. Вырежьте получившийся круг и подумайте, как при помощи перегибания найти его центр. Подумайте, как найти центр круга в случае, если круг перегнуть нельзя.
Выполнение первого задания – найти центр вырезанного круга перегибанием, как правило, затруднений не вызывает.

Если же круг перегнуть нельзя, то центр найти сложнее. Здесь учащимся следует предложить подумать, какие из свойств углов и окружностей, с которыми они познакомились, выполняя предыдущие задания (№798, 799), можно использовать в этой задаче. Оказывается, достаточно построить прямой угол BAC, где точки A, B, C принадлежат окружности, тогда BC – диаметр, а его середина – центр окружности.

Мы рекомендуем учителю обязательно рассмотреть эти задачи с учащимися, так как в 6 классе им будут предложены задания такого типа: на рисунке изображена окружность, центр которой не отмечен, и требуется определить длину этой окружности, измерив ее диаметр или радиус.

Если учащиеся не знакомы с тем, как определить диаметр или радиус окружности, центр которой не известен, выполнить такое задание им будет нелегко.

Как правило, пятиклассники либо приносят решение в буквенной форме, которое сделали родители, либо высказывают некоторые предположения, с обоснованием которых у них возникают затруднения, либо задают какие-нибудь значения скоростей катера и течения и решают задачу с числовыми данными.

Последний вариант, на наш взгляд, наиболее приемлем. Следует предложить учащимся задать различные значения для скоростей катера и течения и решить задачу с этими данными. Во всех случаях получается один и тот же результат. После этого учащиеся высказывают предположение, что результат не зависит от числовых данных. Учитель предлагает подумать – почему?

Обоснования могут быть различными по форме. Приведем одно их них.

Скорость удаления катера от плота (движение против течения):

(v_{собст. катера} – v_{течения} ) + v_{плота(течения)} = v_{собст. катера} .

Скорость сближения катера и плота (движение по течению):

(v_{собст. катера} + v_{течения} ) – v_{плота(течения)} = v_{собст. катера} .

Подсказка: для наглядности можно использовать кубики. Например:

Кроме того, можно предложить учащимся подумать, как бы они решили задачу, если бы поезд, в котором сидел пассажир, стоял на месте; какой компонент и как надо изменить, учитывая, что поезда ехали навстречу друг другу.

Решение.

1) Выразим скорость поезда, в котором ехал пассажир, в метрах в секунду:

79,2 (км/ч) = (79,2  1000) : 3600 (м/с) = 22 (м/с).

2) 480 : 12 = 40 (м/с) – скорость, с которой встречный поезд проехал мимо пассажира.

3) 40 – 22 = 18 (м/с) – скорость встречного поезда.

4) Выразим скорость встречного поезда в км/ч:

(18  3600): 1000 = 64,8 (км/ч).

Ответ: 64,8 км/ч.