Заголовок

Математика пәнi бойынша
Республикалық оқушылар олимпиадасының
екiншi (аудандық) кезеңi (2022-2023 оқу жылы)
9-сынып
Жұмыс уақыты: 2 сағат 30 минут.
Әр есеп 7 ұпайға бағаланады.
1.
Екi математик пен он экономисттерден сегiз адамнан тұратын комис-
сия құру керек. Егер комиссияның iшiне кем дегенде бiр математик кiру
керек болса, онда оны қанша әдiспен құруға болады?
2. 𝐴𝐵𝐶
үшбұрышында 𝐴𝐾 биссектрисасы жүргiзiлген. 𝐴𝐵 және 𝐴𝐶
түзулерiнен сәйкесiнше 𝐸 және 𝐷 (𝐸 ̸= 𝐴, 𝐷 ̸= 𝐴) нүктелерi алынған. 𝐸
және 𝐷 нүктелерi 𝐵𝐶 түзуiне қатысты бiр жақта жатыр және 𝐸𝐵 = 𝐵𝐾,
𝐶𝐷 = 𝐶𝐾
. Егер 𝐸𝐵𝐶𝐷 төртбұрышының диагональдарының қиылысу
нүктесi 𝐴𝐾 түзуiнiң бойында жатса, онда 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 болатынын дәлел-
деңiз.
3.
𝑎 + (𝑏,𝑐) = 𝑏 + (𝑐,𝑎) = 𝑐 + (𝑎,𝑏)
болатындай барлық натурал 𝑎, 𝑏, 𝑐 табыңыз.
Бұл жердегi (𝑥,𝑦)− 𝑥 және 𝑦 сандарының ең үлкен ортақ бөлгiшi.
4. 𝑛
бүтiн саннан тұратын жиын берiлген. «Секiрiс» деп бiз келесi опе-
рацияны айтамыз: жиыннан 𝑘 сан тандалып және әр тандалған 𝑎 санына
𝑏 · 𝑘
санын қосуға болады, бұл жердегi 𝑏 кез келген бүтiн сан (әр 𝑎 үшiн
өзiнiң 𝑏 саны тандалынады). 3 «секiрiс» жасап жиындағы барлық санды
нөлге айналдыруға болатынын дәлелдеңiз.
Второй (районный) этап
Республиканской олимпиады школьников
по математике (2022-2023 учебный год)
9 класс
Время работы: 2 часа 30 минут.
Каждая задача оценивается в 7 баллов.
1.
Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию
из восьми человек. Сколькими способами можно составить комиссию,
если в неё должен входить хотя бы один математик?
2.
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена биссектриса 𝐴𝐾. На прямой 𝐴𝐵 и
𝐴𝐶
выбраны точки 𝐸,𝐷(𝐸 ̸= 𝐴,𝐷 ̸= 𝐴) соответсвенно. Оказалось, что
точки 𝐸,𝐷 лежат по одну сторону от прямой 𝐵𝐶 и 𝐸𝐵 = 𝐵𝐾,𝐶𝐷 = 𝐶𝐾.
Докажите, что если точка пересечения диагоналей четырёхугольника
𝐸𝐵𝐶𝐷
лежит на прямой 𝐴𝐾 то 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶.
3.
Найдите все натуральные 𝑎,𝑏,𝑐 такие, что
𝑎 + (𝑏,𝑐) = 𝑏 + (𝑐,𝑎) = 𝑐 + (𝑎,𝑏).
Здесь (𝑥,𝑦)− наибольший общий делитель чисел 𝑥 и 𝑦.
4.
Дано множество из 𝑛 целых чисел. Пусть «прыжок» представляет
собой операцию в которой будет выбрано любое 𝑘 чисел из множества,
и к каждому такому числу 𝑎 из выбранных чисел можно прибавить 𝑏 · 𝑘,
где 𝑏 любое целое число (для каждого 𝑎 выбирается свое 𝑏). Докажите,
что за 3 «прыжка» можно сделать все числа из множества нулями.

Решения и критерии
оценивания
второго (районного) этапа
Республиканской олимпиады
школьников по математике
2022-2023 учебный год
9 класс
Общие положения по проверке работ
1. Приведённые критерии оценивания являются приблизительными.
Учащиеся (как и проверяющие), возможно, смогут найти и другие
верные решения. Жюри имеет право вносить изменения в крите-
рии, проголосовав за них коллегиально. Главное, чтобы все работы
участников оценивались по одинаковым критериям.
2. Перед проверкой жюри следует внимательно изучить олимпиадные
задания, их решения и критерии. Желательно прорешать задания
самим для возможного поиска альтернативных решений.
3. По окончании проверки обязательно надо проводить разбор и апел-
ляцию задач, притом разборы желательно делать до апелляции и
при разборе рассказывать ученикам, за что снимались баллы, а за
что добавлялись. Это значительно сократить число учеников жела-
ющих подать на апелляцию.
4. В целях более справедливой оценки желательно чтобы одну зада-
чу проверял один человек (или, согласованно, одна группа). В кон-
це, если позволяет время, то следует перепроверить горизонтально
(один человек проверяет все задачи одного школьника).
5. Следует помнить, что олимпиадная работа – это не контрольная
работа. При оценивании олимпиадных работ, в отличие от оценива-
ния типовых заданий по математике, недопустимо снимать баллы
за исправления в работе, за слишком длинное решение, или если ре-
шение школьника отличается от решения, приведенного в учебных
пособиях.
6. Не следует слишком строго наказывать за технические ошибки или
недостатки в решении: описки, легко устранимые арифметические
ошибки, непринципиальные моменты в ходе решения, напримеру-
частник до конца не упростил ответ, не совсем строгий порядок из-
ложение или пропуск очевидных моментов, не влияющих в целом
на ход решения. В зависимости от серьёзности ошибки или недо-
статка снимается не более 2 баллов, в некоторых ситуациях вообще
снимать не следует.
2

7. Внимательно проверяйте насколько соответствует решение критери-
ям проверки. В особенности, если решение ученика неполное и / или
альтернативное официальному. Важно понять, насколько участник
продвинулся по критериям, какие случае идеи он предлагает и ка-
кие факты им получены или доказаны. В альтернативного решения
желательно обсудить решения и критерии для этого решения кол-
легиально.
8. Однако текст решения, не содержащий полезных продвижений, дол-
жен оцениваться в 0 баллов. Баллы за «старание участника» не вы-
ставляются, даже если участник исписал много страниц или постро-
ил «красивый» чертёж. Если участник «угадал» правильный ответ,
не приводит никаких объяснений, как он его получил, то за это не
следует давать баллов.
9. Часто на олимпиадах можно встретить так называемые «счётные
решения», когда участник пытается решить задачу «в лоб», опира-
ясь только на алгебраические операции, метод координат, вектор-
ный метод, теоремы косинусов, синусов, Чевы, Менелая и т. п., не
применяя никакую идею, отличного от технического счёта. Обычно
такие решения (если вообще возможно решить таким способом зада-
чу) занимают много страниц текста. К таким «счётным» решениям
по сложившейся многолетней традицииприменяется следующая схе-
ма оценивания:
• если участник смог довести своё счётное решение до конца, то
он получает полные 7 баллов;
• если участник не довёл своё «счётное» решение до конца (неза-
висимо насколько он продвинулся) и / или допустил вычисли-
тельную ошибку — 0 баллов.
10. На математических олимпиадах преимущественно закрепилась наи-
лучшим образом зарекомендовавшая себя 7-балльная шкала. Каж-
дая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог под-
водится по сумме баллов, набранных участником. Основные прин-
ципы оценивания приведены в таблице ниже. Таблица примерная, к
каждой задаче следует подходить индивидуально.
Примерные критерии оценивания задач
Баллы
Отметка
Правильность (ошибочность) решения
7
+
Полное верное решение.
6-7
+
·
Верное решение. Имеются небольшие недоче-
ты, в целом не влияющие на решение.
5-6
+
∙
или +
–
Решение в целом верное. Однако оно содер-
жит ряд ошибок, либо не рассмотрение от-
дельных случаев, но может стать правиль-
ным после небольших исправлений или до-
полнений.
4
±
Верно рассмотрен один из двух (более слож-
ный) существенных случаев, или в задаче ти-
па «оценка + пример» верно получена оцен-
ка.
2-3
∓
Доказаны вспомогательные утверждения,
помогающие в решении задачи.
0-1
−
·
Рассмотрены отдельные важные случаи при
отсутствии решения (или при ошибочном ре-
шении).
0
−
Решение неверное, продвижения отсутству-
ют.
0
−
Решение отсутствует.
3
4

Задача 9.1
Из двух математиков и десяти экономистов надо составить ко-
миссию из восьми человек. Сколькими способами можно соста-
вить комиссию, если в неё должен входить хотя бы один мате-
матик?
Ответ:
450.
Решение.
Алдымен 12 адамнан неше 8 адамнан тұратын комиссия
жасай алатынымызды есептейiк. Оның саны (︀
12
8
)︀ = 495
. Ендi бiрде-бiр
математик кiрмейтiн комиссиядар санын есептейiк. Ол (︀
10
8
)︀ = 45
. Ендi
жалпы комиссиялар санынан бiрде-бiр математик кiрмейтiн коммисия-
лар санын алып тастасақ комиссияда кем дегенде бiр математик болатын
комиссиялар санын аламыз. Яғни 495 − 45 = 450.
В комиссии либо один математик либо два. Пусть один. Тогда количество
способов выбрать одного математика из двух равно (︀
2
1
)︀ = 2
, а количество
способов выбрать 7 экономистов из 10 равно (︀
10
7
)︀ = 120
. Следовательно
всего (︀
2
1
)︀ · (︀
10
7
)︀ = 2 · 120 = 240
способов. Пусть теперь в комиссии два
математика. Тогда количество способов выбрать двух математиков из
двух равно (︀
2
2
)︀ = 1
, а количество способов выбрать 6 экономистов из 10
равно (︀
10
6
)︀ = 210
. Следовательно всего (︀
2
2
)︀ · (︀
10
6
)︀ = 210
способов. Тогда
всего 240 + 210 = 450 способов.
5
6

Задача 9.2
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена биссектриса 𝐴𝐾. На прямой 𝐴𝐵
и 𝐴𝐶 выбраны точки 𝐸,𝐷(𝐸 ̸= 𝐴,𝐷 ̸= 𝐴) соответсвенно. Ока-
залось, что точки 𝐸,𝐷 лежат по одну сторону от прямой 𝐵𝐶
и 𝐸𝐵 = 𝐵𝐾,𝐶𝐷 = 𝐶𝐾. Докажите, что если точка пересечения
диагоналей четырёхугольника 𝐸𝐵𝐶𝐷 лежит на прямой 𝐴𝐾 то
𝐴𝐵 = 𝐴𝐶.
Решение.
𝐵𝐶
және 𝐶𝐸 түзулерi 𝑂 нүктесiнде қиылыссын. 𝐴𝐾 - биссектриса
болғандықтан
𝐴𝐵
𝐵𝐾
=
𝐴𝐶
𝐶𝐾
=
𝐴𝐵
𝐵𝐸
=
𝐴𝐶
𝐶𝐷
қатынастарын аламыз. Онда 𝐵𝐶
және 𝐸𝐷 паралелль. 𝐴𝑂 түзуi 𝐵𝐶 және 𝐸𝐷 кесiндiлерiнiң орталары
арқылы өтетiнiн байқайық (себебi ∆𝐵𝐴𝐶, ∆𝐵𝑂𝐶 үшбұрыштары сәй-
кесiнше ∆𝐸𝐴𝐷, ∆𝐷𝑂𝐸 үшбұрыштарына ұқсас). Демек 𝐾 нүктесi 𝐵𝐶
кесiндiсiнiң ортасы болып табылады. Демек 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶.
Пусть 𝐵𝐶 и 𝐶𝐸 пересекаются в точке 𝑂. В силу того, что
𝐴𝐾−
биссектриса получим
𝐴𝐵
𝐵𝐾
=
𝐴𝐶
𝐶𝐾
=
𝐴𝐵
𝐵𝐸
=
𝐴𝐶
𝐶𝐷
. Тогда 𝐵𝐶 и 𝐸𝐷
паралелльны. Заметим, что прямая 𝐴𝑂 проходит через середины отрез-
ков 𝐵𝐶 и 𝐸𝐷 (т.к треугольники △𝐵𝐴𝐶,△𝐵𝑂𝐶 подобны треугольникам
△𝐸𝐴𝐷,△𝐷𝑂𝐸
соответственно). Значит точка 𝐾 и есть середина 𝐵𝐶.
Следовательно 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶.
Примерная схема оценивания
1. Доказано, что 𝐵𝐶‖𝐷𝐸 (2 балла).
2. Показано, что точки 𝑂,𝐴 и середины отрезков 𝐵𝐶 и 𝐸𝐷 лежат на
одной прямой (4 балла).
3. Отсюда получено, что 𝐾 серединa отрезкa 𝐵𝐶 (1 балл).
7
8

Задача 9.3
Найдите все натуральные 𝑎,𝑏,𝑐 такие, что
𝑎 + (𝑏,𝑐) = 𝑏 + (𝑐,𝑎) = 𝑐 + (𝑎,𝑏).
Здесь (𝑥,𝑦)− наибольший общий делитель чисел 𝑥 и 𝑦.
Ответ: (𝑎,𝑏,𝑐) = (𝑑𝑥,𝑑𝑥,𝑑),(𝑑,𝑑𝑥,𝑑𝑥),(𝑑𝑥,𝑑,𝑑𝑥)
где 𝑑,𝑥 любые натуральные
числа.
Решение.
(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑑
, (𝑎/𝑑, 𝑏/𝑑) = 𝑥, (𝑏/𝑑, 𝑐/𝑑) = 𝑦, (𝑐/𝑑, 𝑏/𝑑) = 𝑧 болсын. Бұдан
бiз 𝑎, 𝑏, 𝑐 сандарын сәйкесiнше 𝑑𝑥𝑧𝑘, 𝑑𝑥𝑦𝑚, 𝑑𝑦𝑧𝑛 деп ала аламыз (бұл
жерде (𝑧𝑘, 𝑦𝑚) = (𝑥𝑚, 𝑧𝑛) = (𝑥𝑘, 𝑦𝑛) = 1).
Берiлген теңдеудiң орнына қоямыз
𝑑𝑥𝑧𝑘 + 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥𝑦𝑚 + 𝑑𝑧 = 𝑑𝑦𝑧𝑛 + 𝑑𝑥
(1)
Барлығын 𝑑-ға бөлiп тастаймыз.
𝑥𝑧𝑘 + 𝑦 = 𝑥𝑦𝑚 + 𝑧 = 𝑦𝑧𝑛 + 𝑥 ⇒
𝑧 − 𝑦 = 𝑥(𝑦𝑚 − 𝑧𝑘)
...𝑥
. Дәл осылай 𝑥 − 𝑧
...𝑦, 𝑦 − 𝑥...𝑧 аламыз.
БОО 𝑥 ⩾ 𝑦 ⩾ 𝑧 деп ала аламыз ⇒ 𝑥 ⩾ 𝑦 > 𝑦 − 𝑧
...𝑥 ⇒ 𝑦 = 𝑧. Ал
(𝑦, 𝑧) = 1
болғандықтан 𝑦 = 𝑧 = 1 шығады.
(1)
теңдiкке, орынына апарып қоямыз
𝑥𝑘 + 1 = 𝑥𝑚 + 1 = 𝑛 + 𝑥 ⇒ 𝑥𝑘 = 𝑥𝑚 ⇒ 𝑘 = 𝑚 = 1
(𝑘, 𝑚) = 1
болғандықтан. (1) теңдiктен 𝑛 = 1 аламыз. Сонда (𝑎, 𝑏, 𝑐) =
(𝑑𝑥, 𝑑𝑥, 𝑑)
шешiмдерiн аламыз, бұл жерде 𝑑, 𝑥 кез келген натурал сандар.
Пусть (𝑎,𝑏,𝑐) = 𝑑, (𝑎,𝑏) = 𝑥, (𝑏,𝑐) = 𝑦, (𝑐,𝑎) = 𝑧. Тогда можно взять 𝑎,𝑏,𝑐
как 𝑑𝑥𝑧𝑘,𝑑𝑥𝑦𝑚,𝑑𝑦𝑧𝑛 соответсвенно(где (zk,ym)=(xm,zn)=(xk,yn)=1).
Поставим в наше уравнение и получим
𝑑𝑥𝑧𝑘 + 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥𝑦𝑚 + 𝑑𝑧 = 𝑑𝑦𝑧𝑛 + 𝑑𝑥(1)
Сократим всё на 𝑑
𝑥𝑧𝑘 + 𝑦 = 𝑥𝑦𝑚 + 𝑧 = 𝑦𝑧𝑛 + 𝑥 ⇒
𝑧 − 𝑦 = 𝑥(𝑦𝑚 − 𝑧𝑘)
...𝑥.
Аналогично получим, что 𝑥 − 𝑧
...𝑦,𝑦 − 𝑥...𝑧.
Без ограничения общности будем считать, что 𝑥 ⩾ 𝑦 ⩾ 𝑧 ⇒
⇒ 𝑥 ⩾ 𝑦 > 𝑦 − 𝑧
...𝑥 ⇒ 𝑦 = 𝑧.
А так как (𝑦,𝑧) = 1 то 𝑦 = 𝑧 = 1.
Поставим в (1) и получим
𝑥𝑘 + 1 = 𝑥𝑚 + 1 = 𝑛 + 𝑥 ⇒ 𝑥𝑘 = 𝑥𝑚 ⇒ 𝑘 = 𝑚 = 1
так как (𝑘,𝑚) = 1. Из (1) получим, что 𝑛 = 1. Тогда (𝑎,𝑏,𝑐) = (𝑑𝑥,𝑑𝑥,𝑑)
где 𝑑,𝑥 любые натуральные числа.
Примерная схема оценивания
1. Правильно представлены (𝑎,𝑏,𝑐) через их ноды (1 балл).
2. Доказано, что 𝑦 = 𝑧 = 1 (3 балл).
3. Доказано, что 𝑘 = 𝑚 = 𝑛 = 1 (3 балла).
4. Правильный ответ без обоснования (0 баллов).
9
10

Задача 9.4
Дано множество из 𝑛 целых чисел. Пусть «прыжок» представ-
ляет собой операцию в которой будет выбрано любое 𝑘 чисел из
множества, и к каждому такому числу 𝑎 из выбранных чисел
можно прибавить 𝑏 · 𝑘, где 𝑏 любое целое число (для каждого 𝑎
выбирается свое 𝑏). Докажите, что за 3 «прыжка» можно сде-
лать все числа из множества нулями.
Алдымен 𝑛 − 1 сан таңдап, әр 𝑎 санына 𝑎 · (𝑛 − 1) санын қосамызда
𝑎 · 𝑛
санын аламыз, яғни 𝑛-ге бөлiнетiн сан. Бұл бiрiншi секiрiс. Екiншi
секiрiсте
соңғы қалған санды таңдап, қосынды 𝑛-ге бөлiнетiндей санды
қосамыз. Және соңғы секiрiсте барлық санды таңдаймыз. Әр санымыз
𝑛
-ге бөлiнетiн байқайық, демек, оның түрi 𝑎 · 𝑛 және осындай санға −𝑎
санын таңдап −𝑎 · 𝑛 санын қосамыз. Демек барлық сан нөлге айналады.
Сначало выберем 𝑛 − 1 чисел и для каждого числа 𝑎 прибавляем
𝑎 · (𝑛 − 1)
и получаем число равное 𝑎·𝑛, то есть делящаяся на 𝑛. Это пер-
вый прыжок
. Вторым прыжоком выберем последнее оставшееся число
и прибавляем число так, чтобы в сумме получилось число делящаяся
на 𝑛. И последним прыжоком выберем все числа. Заметим, что каждое
число делятся на 𝑛, следовательно, имеет вид 𝑎 · 𝑛, и такому числу вы-
берем число −𝑎 и прибавляем число −𝑎 · 𝑛. Следовательно, все числа
становятся нулями.
11
12