Заголовок

Математика пәнi бойынша Республикалық олимпиаданың 
3-шi кезеңi 2020-2021 Қазақстан, 24 ақпан 2021 ж. 
Ұзақтығы: 3 сағат 
9-сынып 
2 тур 
Әр есеп 7 ұпайға бағаланады. 
4. 
20a
2 
+21b
2 
= 20a +21b 
болатындай a, b, c бүтiн сандар болсын. 
өрнегiнiң ең кiшi мәнiн табыңыз. 
5. Многочлен P(x) с целыми коэффициентами таков, что 
P(1) = 17, P(m) = m
2 
+ n
2 
− mn, P(n) = mn +1, где m, n – целые числа. Найти 
все возможные такие пары целых чисел (m,n). 
6. Жазықтықта ABCD төртбұрышы салынған. X нүктесiнен ABCD төртбұрышының осы 
нүктеге дейiн ең қашық төбесiне дейiнгi қашықтықтың квадраты 
аспайтындай осы жазықтықта X нүктесi табылатынын дәлелдеңiз. 

3-й этап Республиканской олимпиады по предмету 
математика 
2020-2021 Казахстан, 24 февраля 2021 г. Длительность: 3 
часа 
9 класс 
2 тур 
Каждая задача оценивается в 7 баллов. 
4. Пусть a, b, c – положительные целые числа такие, что 
20a
2 
+21b
2 
= 20a +21b. Найдите 
наименьшее значение выражения 
. 
5. Многочлен P(x) с целыми коэффициентами таков, что 
P(1) = 17, P(m) = m
2 
+ n
2 
− mn, P(n) = mn +1, где m, n – целые числа. Найти 
все возможные такие пары целых чисел (m,n). 
6. На плоскости нарисован четырёхугольник ABCD. Докажите, что на этой плоскости 
найдётся такая точка X, что квадрат расстояния от точки X, до самой удалённой от неё 
вершины четырёхугольника ABCD, не превосходит 
.