Занятие 9 Векторные функции 1 Годограф векторной функции

Из первого уравнения исключим параметр

и подставим во второе

Отсюда уравнение траектории движения

Вектор скорости движения есть

в точке .

Имеем

Подставляя значение , получаем

Тогда уравнение касательной:

уравнение нормальной плоскости:

или .

где – время движения.

Выразим координаты точки как функции времени (рисунок 9.8):

,

.

Следовательно, радиус-вектор точки

скорость движения точки

модуль скорости

Рисунок 9.8 – Геометрическая интерпретация задачи 7.

т. е. векторы и перпендикулярны.

Отсюда следует, что вектор направлен по касательной к окружности, по которой движется точка .

Найдем ускорение :

Значит, векторы и имеют противоположные направления.

Таким образом, ускорение материальной точки, движущейся с постоянной угловой скоростью по окружности, в каждый момент времени направлено к центру этой окружности.

8 К годографу винтовой линии (рисунок 9.9)

а) найти уравнения касательной прямой и нормальной плоскости в точке ;

б) доказать, что касательная к винтовой линии образует постоянный угол с осью ;

в) записать натуральное уравнение винтовой линии;

г) найти дифференциал длины дуги.

Рисунок 9.9 – Годограф функции

Координаты вектора :

Тогда уравнение касательной прямой имеет вид

а уравнение нормальной плоскости

б) вектор касательный к годографу вектора :

Тогда

в) векторная функция является непрерывно дифференцируемой и

Тогда . Интегрируя обе части, получим . Из начального условия , имеем . При этом длина винтовой линии равна

Следовательно, .

Отсюда натуральное уравнение винтовой линии в координатной форме запишется в виде:

,

где .

г) дифференциал длины дуги равен

.

Для винтовой линии имеем

а) , ;

б) , ;

в) ;

г) , .

2 Дано уравнение движения . Определить траекторию и скорость движения. Построить векторы скорости для моментов , , , .

3 Найти единичный касательный вектор годографа вектор-функции

при .

перпендикулярны.

а) , , , ;

б) , 1, , 0.

6 Найти дифференциал длины дуги кривой

, , .
Задания для домашней работы
1 Найти годографы вектор функций:

а) , ;

б) , ;

в) ; ;

г) , .

2 Дано уравнение движения . Определить траекторию и скорость движения. Построить векторы скорости для моментов , .

3 Найти единичный касательный вектор годографа вектор-функции

при .

а) , , , 2;

б) , , , 0;

в) , , , 0.

пересекаются и определить угол между кривыми в точке их пересечения.

найти точку, касательная к которой параллельна плоскости

10.2 Вычисление кривизны кривой

10.3 Радиус, круг и координаты центра кривизны плоской кривой

10.4 Эволюта и эвольвента плоской кривой

Одной из важных характеристик кривой является мера ее изогнутости – кривизна.

Например, о двух плоских кривых и (рисунок 10.1) можно сказать, что кривая более изогнута, чем .

Рисунок 10.1 – Кривые и	Рисунок 10.2 – Угол смежности

Однако для того, чтобы строго оценить степень изогнутости плоской линии, необходимо ввести количественную характеристику ее изогнутости (кривизны).

Рассмотрим на кривой точки и . Проведем в этих точках касательные к кривой. При переходе по кривой из точки в точку касательная поворачивается на угол , который называется углом смежности (рисунок 10.2).

Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги: .

Средняя кривизна характеризует среднюю изогнутость кривой на всей дуге. На отдельных участках кривой кривизна может значительно отличаться от средней. Чтобы избежать такой неопределенности, вводится количественная мера изогнутости кривой в точке . Эта характеристика основана на том, что чем меньше дуга (рисунок 10.2), тем лучше средняя кривизна характеризует изогнутость линии вблизи точки .

Кривизной линии в точке называется предел, к которому стремится средняя кривизна дуги линии при стремлении точки к точке :

.
10.2 Вычисление кривизны кривой

Пусть кривая является годографом дважды дифференцируемой векторной функции действительного аргумента (рисунок 10.3).

Тогда кривизна кривой вычисляется по формуле

.

Если гладкая кривая задана параметрическими уравнениями

то кривизна вычисляется по формуле

Если кривая задана в плоскости уравнением , то формула для вычисления ее кривизны получается из формулы вычисления кривизны, положив в ней , . Тогда уравнение линии можно записать в параметрическом виде:

Отсюда

Если кривая задана в плоскости неявно уравнением , то кривизна вычисляется по формуле

Если кривая задана в плоскости в полярных координатах уравнением , то кривизна находится по формуле

Проведем к кривой нормаль в точке и отложим на этой нормали в сторону вогнутости кривой отрезок (рисунок 10.3), по величине обратный кривизне : .

Рисунок 10.3 – Радиус кривизны MN

Отрезок называется радиусом кривизны, точка – центром кривизны, а круг с центром в точке и радиусом – кругом кривизны кривой в точке .

Если кривая задана в декартовой системе координат уравнением , то ее радиус кривизны находится по формуле:

Если кривая в плоскости задана параметрическими уравнениями, то ее радиус кривизны определяется по формуле:

Если – годограф вектор-функции , то:

Из определения центра кривизны следует, что каждой точке кривой , соответствует точка – центр кривизны кривой в точке .

Множество точек центров кривизны линии называется ее эволютой, а сама линия по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.

Пусть кривая задана уравнением в плоскости . Пусть – центр кривизны линии в точке (рисунок 10.4).

Тогда для любой точки имеем . Обозначим

, , ,

где – единичный вектор нормали кривой .

Это уравнение называется векторным уравнением эволюты кривой .

Найдем вектор .

Единичный вектор касательной к кривой есть

.

Продифференцируем равенство по . Имеем

Отсюда . Таким образом, вектор нормали .

Координаты вектора :



.

Тогда

Подставим и в векторное уравнение эволюты :

Приравнивая коэффициенты при и в левой и правой частях выражения, получим:

Данные формулы являются параметрическими уравнениями эволюты кривой . Сама же кривая является эвольвентой по отношению к кривой .

Свойства эволюты и эвольвенты, устанавливающие связь между ними:

– нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте в соответствующей точке;

– если на некотором участке эвольвенты радиус кривизны изменяется монотонно, то приращение радиуса кривизны на этом участке равно по абсолютной величине длине дуги соответствующего участка эволюты.