Ўзбекистон республикаси халқ таълими вазирлиги фарғона вилояти педагог кадрларни қайта тайёрлаш ва малакасини ошириш институти

“АНИҚ ВА ТАБИИЙ ФАНЛАР ТАЪЛИМИ” КАФЕДРАСИ

1. 
   Кириш.
   

б) Буюк алломаларимизни тригонометрияга қўшган хиссалари.

2. 
   Асосий қисм.
   

б) Синус, косинус, тангенс ва котангенс ишоралари.

в) Айни бир бурчакнинг синус, косинус, тангенс ва котангенс орасидаги муносабат.

г) Қўшиш формулалари.

д) Иккиланган бурчакнинг синуси ва косинуси.

е) Синус ва косинуслар йиғиндиси ва айирмаси.

3. 
   Хулоса.
   

Бизнинг тригонометрик жадвалларимиз ўрнида қадимги математиклар берилган узунликлардаги ёйларни тортиб турувчи ватарлар жадвалини тузишган. Эрамиздан илгари III – II асрларда грек математиклари томонидан тузилган бундай қадимий жадваллар бизгача етиб келмаган. Ватар узунликлари ҳақидаги бизгача сақланиб қолган энг қадимий жадвал Александриялик астроном Птолемей (эрамизнинг II асри) томонидан тузилган. Бу жадвалларда айлана ватарларининг узунликлари 30⁰ дан оралатиб берилган. Ватар узунликлари уч хонали олтмишлик касрлар шаклида, яъни

бунда a, b, c сонлари 0 дан 59 гача бўлган бутун сонлардир.

Ғарбий Европада тригонометрия XV – XVI асрларда актив ривожланди. Бунда бир қатор натижалар француз математиги Ф.Виетга (1540-1603) тегишлидир.

Дифференциал ҳисоб пайдо бўлиши билан тригонометрик функцияларнинг ҳосилалари учун формулалар топилди. Бу формулалар асосан И.Ньютонга маълум эди. Бу формулаларнинг геометрик усул билан чиқарилишини Котеснинг (1682 - 1716) ишларидан топиш мумкин. Аргумент дан гача ўзгарганда тригонометрик функцияларнинг қандай ўзгариши ҳақидаги очиқ тасаввурлар Д.Валлис (1616 - 1703) нинг асарларида учрайди. Аммо, умуман айтганда, Л.Эйлер (1707 - 1783) гача бўлган математиклар бу хусусида унча катта изчиллик кўрсатмадилар ва баъзи масалаларга боғлиқ равишда тригонометрик функцияларнинг аниқланиш соҳаларини турли усуллар билан чеклаб қўйдилар. Сон аргументнинг сонли функциялари ёки кесма узунликларининг бурчак катталигига ёки ёй узунлигига боғлиқлиги дейилганда нима назарда тутилиши очиқ эмас эди.

Тригонометрик функциялар назарияси ҳозирга кўриниши Л.Эйлер асарлари, жумладан унинг “Чексиз кичиклар анализига кириш” 1748 йилдаги китобида олди.

Умуман олганда, математиканинг, хусусан тригонометриянинг ривожида нафақат чет эл олимлари, балки ўзимизнинг буюк алломаларимиз ҳам ўзларини ҳиссаларини қўшганлар. Булардан Муҳаммад ал-Хоразмий, Аҳмад Фарғоний, Абу Райҳон Беруний, Мирзо Улуғбек, Али Қушчи, Ғиёсиддин Жамшид ал-Коший кабилардир.

Юлдузларнинг осмон сферасидаги координаталарини аниқлаш, сайёраларнинг ҳаракатларини кузатиш, Ой ва Қуёш тутилишини олдиндан айтиб бериш ва бошқа илмий, амалий аҳамиятга молик масалалар аниқ ҳисобларни, бу ҳисобларга асосланган жадваллар тузишни тақозо этар эди. Ана шундай астрономик жадваллар Шарқда “Зиж”лар деб аталган.

Муҳаммад ал-Хоразмий, Абу Райҳон Беруний, Мирзо Улуғбек каби олимларимизнинг математик асарлари билан бирга “Зиж”лари ҳам машҳур бўлган, улар лотин ва бошқа тилларга таржима қилинган. Европада математиканинг, астрономиянинг тараққиётига салмоқли таъсир ўтказган.

Берунийнинг “Қонун маъсудий” асарида синуслар жадвали 15 минут оралиқ билан, тангенслар жадвали 1⁰ оралиқ билан 10^-8 гача аниқликда берилган. Ниҳоятда аниқ “Зиж”лардан бири Мирзо Улуғбекнинг “Зиж”и – “Зижи Кўрагоний” дир. Бунда синуслар жадвали 1 минут оралиқ билан, тангенслар жадвали 0⁰ дан 45⁰ гача – 1 минут оралиқ билан, 46⁰ дан 90⁰ гача эса – 5 минут оралиқ билан 10^-10 гача аниқликда берилган.

Ғиёсиддин Жамшид ал-Коший “Ватар ва синус” ҳақида рисоласида ни вергулдан сўнг 17 хона аниқлигида ҳисоблайди

Буюк алломаларимиз қолдирган изларни ўз мисолларимизда кенг қўллаймиз.

Бу холда М нуқта Р нуқтани координата боши атрофида радиан бурчакка буриш билан ҳосил қилинади деб атаймиз.

2. Айтайлик, бўлсин. У ҳолда радиан бурчакка буриш ҳаракат соат милли йўналишида содир бўлганлигини ва нуқта узунликдаги йўлни босиб ўтганлигини билдиради.

б – расм.

Геометрия курсида 0⁰ дан 180⁰ гача бўлган бурчаклар қаралган. Бирлик айлананинг нуқталарини координаталар боши атрофида буришдан фойдаланиб, 180⁰ дан катта бурчакларни, шунингдек манфий бурчакларни ҳам қараш мумкин. Буриш бурчагини градусларда ҳам, радианларда ҳам бериш мумкин. Масалан, Р(1;0) нуқтани га буриш 60⁰ га буришни билдиради, га буриш 180⁰ га буришдир.

Нуқтани 360⁰ дан катта бурчакка ва -360⁰ дан кичик бурчакка буришга оид мисол кўрамиз. Масалан, 810⁰ бурчакка буришда нуқта соат милли ҳаракатига қарама-қарши иккита тўла айланишни ва яна 90⁰ йўлни босиб ўтади. Буни қуйидагича ёзиш мумкин: 810⁰ = 2 ^. 360⁰ + 90⁰.

Агар -810⁰ бурчакка буриш керак бўлса, нуқта соат милли йўналиши -90⁰ йўлни босади.

Р(1;0) нуқтани 810⁰ бурчакка буришда 90⁰ га буришдаги нуқтанинг айни ўзи ҳосил бўлади.

Ҳар қандай градусни сон қиймати мавжуддир. Энг аввало тригонометрик элементларига таъриф бериб ўтсак.

Синус, косинус, тангенс, котангенсда кўпроқ учраб турадиган қийматлари жадвалини келтирамиз.

Градус	00	300	450	600	900	1800	2700	3600
Радиан	0
	0				1	0	-1	0
	1				0	-1	0	1
	0		1		-	0	-	0
	-		1		0	-	0	-

Ҳар қандай тригонометрик элементларни сон қийматини топиш мумкин. Бундан ташқари уларни радиандан градусга, градусдан радианга айлантириш мумкин. У қуйидагича топилади: ва.

II чоракда жойлашган нуқталар учун ординаталар мусбат, асциссалар эса манфий. Шунинг учун, агар бўлса, бўлади. Шунга ўхшаш, III чоракда , IV чоракда эса .

Агар (1;0) нуқта соат милли йўналишида ҳаракат қилса, у ҳолда ҳам синус ва косинуснинг ишоралари нуқта қайси чоракда жойлашганига қараб аниқланади.

Бизга маълумки, таърифга кўра . Шунинг учун, ва бир хил ишораларга эга бўлса, , ва қарама-қарши ишораларга эга бўлса, бўлади.

нинг ишоралари нинг ишоралари билан бир хил.


АЙНИ БИР БУРЧАКНИНГ СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС ВА КОТАНГЕНС ОРАСИДАГИ МУНОСАБАТ
Синус билан косинус орасидаги муносабатни аниқлаймиз.

Айтайлик, бирлик айлананинг М(х;у) нуқтаси (1;0) нуқтани бурчакка буриш натижасида ҳосил қилинган бўлсин. У ҳолда сину ва косинус таърифига кўра бўлади.

(1) тенглик нинг исталган қийматида бажарилади ва асосий тригонометрик айният дейилади.

(1) тенгликдан синусни косинус орқали ва аксинча косинусни синус орқали ифодалаш мумкин:

, (2)

. (3)

Энди тангенс билан котангенс орасидаги боғланишни аниқлаймиз. Тангенс ва котангенс таърифига қўра:

Бу тенгламаларни кўпайтирамиз: . Демак,

(4) тенгликдан тангенсни сотангенс орқали ва аксинча котангенсни тангенс орқали ифодалаш мумкин.

(4) – (6) тенгликлар бўлганда ўринли бўлади.

Асосий тригонометрик айниятдан ва тангенснинг таърифидан фойдаланиб, тангенс билан косинус орасидаги боғлиқликни топамиз. фараз қилиб, тенгликни иккала қисмини га бўламиз:

,

. (7)

Агар , яъни бўлса, (7) формула тўғри бўлади.

(7) формуладан тангенсни косинус ва косинусни тангенс орқали ифодалаш мумкин.

Бундан ташқари, асосий тригонометрик айниятда котангенс билан синус орасидаги боғлиқликни топиш мумкин.

Синус, косинус таърифига кўра бу нуқталар қуйидаги координаталарга эга: , , .

(1) формуладан фойдаланиб, бу тенгликни алмаштирамиз:

Асосий тригонометрик айниятдан фойдаланиб, ҳосил қиламиз:

(1) формуладан ни га алмаштириб, ҳосил қиламиз: .

Синуслар учун қўшиш формуласини келтириб чиқарамиз:

Демак,

Демак,

Ечиш: қўшиш формуласи ва иккиланган бурчак синуси формуласидан фойдаланиб, қуйидагига эга бўламиз:

Агар синуслар йиғиндиси формуласи

дан фойдаланилса, бу масалани соддароқ ечиш мумкин. Шу формула ёрдамида қуйидагини ҳосил қиламиз:

Энди (1) формула ўринли эканлигини исботлаймиз.

(1) формула билан бир қаторда қуйидаги синуслар айирмаси формуласи, косинуслар йиғиндиси ва айирмаси формулаларидан ҳам фойдаланилади:

Исбот:

Айният исботланди.

2. Эйлернинг қуйидаги формуласини исботлайлик: .

Исбот:

Айният исботланди.

1. 
   Ш.А.Алимов, М.А.Мирзааҳмедов “Алгебра” 9-синф учун дарслик. Т., 2002.
   
2. 
   А.Н.Колмогоров “Алгебра ва анализ асослари” Т., 1988.
   
3. 
   В.А.Гусев “Справочник” Т., 1988.