1-Лекция. Математиканы оқыту әдістемесінің, негізгі мәселелері мен мақсаттары
-Лекция. Математиканы оқытудағы ғылыми таным әдістері
жүктеу/скачать 491 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 5-Лекция. Математикалық ұғым
- 6-Лекция. Математикалық сөйлем
- 7-Лекция. Теоремаларды дәлелдеуге үйрету
- Математиканы оқыту процесіндегі индукция мен дедукция
4-Лекция. Математиканы оқытудағы ғылыми таным әдістері Математиканы оқытудың ғылыми таным әдісі. Математикалық зерттеудің негізгі әдістемесіне: 1) байқау және тәжірибе; 2) салыстыру; 3) талдау және біріктіру; 4) жалпылау және арнайы бағытқа салу; 5) абстракциялау және нақтылау сияқты әдістер жатады. Орта мектепте математиканы үйрену процесі оны оқыту процесімен бірге қарастырылады.
Адамдарды қоршаған ортаның әр алуан құбылыстары мен жекелген нысандарының қасиеттерімен байланыстарына табиғи жағдайда назар аударып, олардың шын мәніндегі табиғи байланыстарының белгілерін үйренін бақылау әдісі дейміз. Бақылауды қарапайым қабылдаудан ажырата білу керек. Белгілі бір нысанды қабылдау деп, сол нысанның біздің сезім ағзаларымызға әсер етіп, әсері біздің санамызда тікелей бейнеленуін айтады. Ұзақ мерзімді қабылдауды бақылау дейміз. Бақылау – есте қалдыру және келесі байқаулардың нәтижесін жинақтаудан тұрады. Математиканы оқытудағы тәжірибе. Зерттелетін нысандар мен құбылыстардың табиғи жағдайын өзгертіп, оларға жасанды жағдайлар тұғызуды, жасанды жағдайда оларды басқа нысандармен салыстыруды тәжірибе немесе эксперимент деп атайды. Кез келген эксперимент бақылаумен байланысты. Эксперимент жасаушы эксперименттің барысын яғни тексеріліп отырған нысандармен құбылыстардың жасанды жағдайдағы өзгерісі мен дамуын байқайды. Бұл әдістер эксперименталды ғылымда маңызды рөл атқарады. Математика, жалпы алғанда, эксперименталды ғылым емес, егер қандай да бір қасиет жеке не нақты жағдайларда дұрыс болса, онда оны математик әмбебап әдіс деп есептелмейді. Сондықтан байқау мен тәжірибе математикада негізгі зерттеу әдісі бола алмайды. Сонымен бірге, байқау мен тәжірибе кейбір математикалық нысандардың қасиетін иллюстрациялауға қолайлы, зертеліп отырған тұжырымның дұрыс-бұрыстығына көз жеткізуге қолайлы. Бұл тұрғыдан алғанда байқау мен тәжірибе математиканы оқытуда зор роль атқарады.
Тәжірибелер мен бақылауларда оқушылар аудандары тең, бірақ периметрлері әртүрлі және периметрлері тең, аудандары әртүрлі көпбұрыш-тарды , тең шамалы фигураларды анықтайды. Натурал сандардың жай көбейткіштерге жіктелу сипатына қарап және әртүрлі натурал сандарды жай көбейткіштерге жіктеп (тәжірибе жүргізіп), оқушылар жай және құрама сандардын мағынасын анықтайды. 1 = 1; 2 = 2 · 1; 3 = 1 · 3; 4 = 2 · 2 · 1 = 4 · 1; 5 = 5 · 1; 6 = 3 · 2 · 1 = 6 · 1; ... Бақылау мен тәжірибе жай және құрама санның анықтамасын саналы түрде түсінуге мүмкіндік береді. Мұғалім мен оқушылардың бақылаулар, тәжірибелер жүргізе отырып, тапқан нәтижелерін қатаң, дәл дәлелдеулер деп айтуға болмайды.. Бурбакидің пікірінше, математика – құрылымдарды зерттейтін ғылым. Математикалық құрылымдар базистік және көп еселі болып екіге бөлінеді. Алгебралық, топологиялық құрылымдар және реттеу құрылымдары базистік деп аталынады. Бүкіл математика – осы үш түрлі базистік құрылымдар жиынтығының комбинациясы. Мысалы, группа, сақина, өріс – алгебралық құрылымның түрлері, нақты сандар жиыны мен натурал сандар жиыны реттелген құрылымдардың түрлері, топологиялық кеңістік пен топологиялық-векторлық кеңістік – топологиялық құрылымның белгілі түрі. Математикалық құрылым деп мынадай жиынды айтамыз: - табиғаты кез келген элементтер (мысалы: сан, функция, вектор, матри-цалар); - элементтер арасындағы қатынастар; - осы қатынастар үшін анықталған белгілі амалдар; - амалдардың негізгі қасиеттері аксиомалар жүйесі арқылы көшіріледі. 5-Лекция. Математикалық ұғым Біздің әрбір сөйлеміміздің сөзі белгілі бір нысандарың тобын анықтайды, құбылыстардың өзара қатынасын бейнелейді. Егер сөз бізге бір заттың басқа бір заттардан айырмашылығы мен көптеген қасиеттерін ерекшелеп көрсетуге көмектессе, ойымызда ол зат ерекшеленіп елестесе не оларға тән ортақ қасиеттер мен байланыстар көрсетілсе, онда ойымыз заттың жалпы қасиеттерін бейнелей алады. Заттар арасындағы құбылыстар мен қатынастардан, олардың нақты қасиеттерінен жалпылап қорытынды шығарылса, бұл олар туралы белгілі бір ұғым болады. Әрбір түсінік сөзбен бірге сәйкес түрленеді, сөз сөйлем туралы түсінікті елестетуге қызмет етеді. «Ұғым» термині біздің санамызда кейбір нысандарды, шындықтың қатынастары мен процестерді, кейбір заттар сыйпатының бейнесін белгілеу үшін қолданылады. Математикалық ұғым біздің ойымызда белгілі формада нақты жағдайдан абстракцияланған шындыққа көшуді бейнелейді. Бір зат екінші заттан әр түрлі сапалары мен белгілері, немесе ерекшеліктері арқылы ажыратылады. Әр түрлі нысандардан: жеке қасиеттерді, жалпы қасиеттерді бөліп аламыз. Нысандар қасиеттерінің адам миында ерекше бейнелену процесін – ұғым деп атайды: ұғым жоғары дәрежеде ұйымдасқан материяның жемісі; ұғым материалды дүниені бейнелейді; ұғым – жалпылау, таным тәсілі ретінде қолданылады; ұғым адам қызметінің әрқилылығын білдіреді; адам санасына ұғымның қалыптасуы оның тікелей сөз, жазу не символ арқылы өрнектелуінен қалыптаспайды, әрбір ұғым өзіне нысандар белгілерін біріктіреді (заттардың қатынасы). Ұғым мазмұннан және көлемнен тұрады. Ұғым көлемі – осы белгілерге жататын барлық нысандарды білдіреді, ал нысандардың сипаттамалық қасиеті осы ұғымның мазмұны болады. Мысалы, «Үшбұрыш» ұғымы мүмкін болатын барлық үшбұрыштар белгілерін білдіреді. (Мұндағы тікбұрышты, теңбүйірлі, теңқабырғалы үшбұрыш деген түрлері ұғымның көлемі болады және сипаттамалық қасиеттерге: үш қабырғасы, үш төбесі, үш бұрышы жатады (ұғымның мазмұны құралады); «теңдеу» ұғымы – барлық мүмкін болатын теңдеулер белгілерін біріктіреді (көлемі) және сипаттамалық қасиеті – бірнеше айнымалылардан және айнымалылардың әртүрлі дәрежелерінен, сол айнымалылардың әртүрлі функцияларынан тұратын теңдік болады. Басқаша айтқанда, (ұғымның мазмұны) ұғымның мазмұны анықтама арқылы, көлемі – классификациялау жолымен табылады. Ұғымды қалыптастыру – күрделі психологиялық үдеріс, білім берудің жай танымдық формасы – түйсіну арқылы іске асады. Сезіну – қабылдау – түсінік – ұғым. Әдетте бұл процесс екі сатыдан тұрады. Сезімдік қабылдау арқылы түсінік пайда болады және логикалық түрде түсініктен ұғымға жалпылау мен абстракцияның көмегі арқылы жетеді. Мысалы, оқушы «үш» санын қалыптастыру үшін: алдымен әртүрлі нақты жиындармен танысады, айталық: үш алма, «үшбұрыш», үш аю, үш жапырақ т.с.с. бұлардың әртүрлі қасиеттеріне назар аударады. «Көру» процесі бала санасында бейнелеудің ерекше формасын қабылдайды (сезінеді). Нысанды көру арқылы сезімдік түйсіну – танымның ең алғашқы сатысы. Ол ұғымның сыртқы белгілеріне сәйкес қалыптасады. Ұғымды тұжырымдау сұлбасын еске түсірелік: қабылдау – сезіну – түсінік – ұғым. Индуктивтік әдіспен ұғымды ендірудегі оқыту процесінің негізгі кезеңдері: берілген ұғымның қажеттігін көрсететін (қабылдау – сезіну) практикалық мысалдар келтіру; берілген ұғымның маңызды және өте маңызды емес белгілерін анықтайды (оқушылар) және берілген ұғымды белгілейтін термин ендіреді (мұғалім). Ол үшін қабылдаудан (сезіну) түсінікке өтетін өтпелі кезең керек, берілген ұғымды белгілейтін терминнің дәлелі қажет (мұғалім); берілген ұғымның барынша маңызды қасиеттері таңдап алынады және осы ұғымның анықтамасы тұжырымдалады (оқушылар); бұдан соң оған мұғалім дәл анықтама береді, мұны оқушылар қайталайды. Бұл үшін арада түсініктен ұғымға ауысатындай жағдай болуы керек; арнайы бөліп алынатын ұғым нақты мысалдармен көрсетіледі, қарама-қарсы мысалдар келтіріледі және символдық белгілеуі көрсетіледі (оқушы және мұғалім). Бұл ұғымның пайда болуын білдіреді Бұдан соң оқушылар басқа ұғымға көшуге болатын, басқа анықтама береді. Бұл ұғымның меңгерілуі болады. Абстракты-дедукциялық әдіспен оқытудың негізгі кезеңдері: - алдымен жаңа ұғымға анықтама беріледі, бұл үшін оны белгілеуші термин тұжырымдалады; - ұғым ендірілген өрнектің жеке және ерекше жағдайлары қарастырылады; қарама-қарсы пікірлерден мысал келтіріледі; - келесі кезекте ендірілген ұғым нақты мысалдар арқылы иллюстрацияланады; - соңында ендірілген ұғымды бекіту үшін мысалдар келтіріледі. Жаңа ұғымның меңгерілуі. Егер ұғым меңгерілген болса, онда: - оқушының ұғымның көлемі мен мазмұны туралы толық түсінігі болады; - оқушы математикалық іс-әрекеттің барысында ұғымды қолдана біледі; - оқушы жаңа жағдайларда өзінің білімі мен тәжірибесін қолданады. Ұғымның анықтамасын игеру процесінде оқушылар қателіктер жібермеуі үшін, олар: анықталған және анықтаушы белгілерді ажырата білуі керек. Анықталатын нысанға сәйкес келетін ұғым анықталған ұғым деп аталады. Анықталатын нысан мазмұнын ашуға көмектесетін ұғым анықтаушы ұғым деп аталады. 6-Лекция. Математикалық сөйлем Математикалық сөйлем – математикалық нысандар жөніндегі пайымды (немесе пікірді) өрнектейтін логикалық сөйлем. Сөйлемнің субеъекті мен объекті, сәйкесінше математикалық сөйлемнің шарты (негізі, сілтемесі) және қорытындысы (салдары, нәтижесі) делінеді. Математикалық сөйлемдерге: теорема, аксиома, постулат, анықтама, формулалар, теңдеулер мен теңсіздіктер, есептер т.б. жатады. Ақиқаттығы дәлелдеусіз қабылданған математикалық сөйлем – аксиома деп атадады. Аксиома – гректің axioma – «бедел», «құрмет» деген сөзінен шыққан. Аксиомалар жиыны мен алғашқы ұғымдар (нүкте, түзу, жазықтық, жиын) математикалық теорияның іргетасын құрайды. Ғылыми теориялардың бастамасы болатын аксиомалар жүйесіне олардың байланыссыздығы, қарама-қайшылықсыздығы, толықтығы сияқты талаптар қойылады. Кез келген ұғымды немес ұғымдар арасындағы қатысты қанағаттандыратын талаптарды баяндайтын сөйлемдер постулаттар деп аталады. Постулат – латынның pospulatum – «талап», «ұсыныс» деген сөзінен шыққан. Қисынды пайымдаулар арқылы дұрыс немесе бұрыстығы дәлелдеу нәтижесінде белгілі болатын пайым (сөйлем) теорема, деп аталады. Математикалық сөйлемдер математикалық символдар арқылы да түсінікті өрнектеледі. Мысалы, Есеп. Параметрі бар теңдеулер жүйесін шешіңіз. Шешуі: немесе Жауабы: Көбінесе символдардың көмегімен жазылғанмен, математиканың символдарымен таныс оқушы, бұл сөйлемді еркін оқып, есептің шығарылуын оңай түсінеді. Анықтамаға қойылатын маңызды талаптар: Кез келген анықтама өлшемде болуы, яғни анықтаушы нысанның көлемі анықталған ұғымның көлемінен аспауы керек. Анықталушы ұғымды сол ұғымның өзімен тікелей анықтауға болмайды. Анықтамалар мүмкіндігіне қарай нысанды түрде кері анықталмауы керек. Жаңа ұғымды ендіру барысында мұғалім оның белгілеріне назар аударуы керек. Егер мұғалім ұғымның анықтамасын тұжырымдап, кітаптағы берілген сызбаны көрсетумен шектелсе, онда оқушылар бұл ұғымды дұрыс меңгермейді. Математикалық ұғымдарды саналы түрде меңгеруге мақсатты түрде қойылатын ауызша жаттығулар мен сұрақтар жүйесінің зор маңызы бар. Мысалы, қате анықтамалардан мысалдар келтіруге болады. Сақтандыру жұмыстары: жаңа ұғымды формальді түрде ендірмеу керек; оқушыларды ұғымдар анықтамасын өзбетінше үйренуге баулу керек; ендірілген ұғымның, сөздің, анықтаманың тұжырымдамаларын табу (пайдалануға келтіру); әр сабаққа қажетті ұғымның анықтамасын қайталау; жаңа ұғым мен ескі ұғымның арасында байланысты орнату; анықтамаларды анық, дәл, қысқа, қатаң тұжырымдауды талап ету; 1-6 пункттер біртіндеп, сатылап орындалуы тиіс. Қажетті және жеткілікті шарттарға мысалдар 1-кестеде келтірілген. 1-кесте – Қажетті және жеткілікті шарттардың орындалуына мысалдар Пікірлер Сөзбе-сөз тұжырымдау Тұжырымдар Басқаша тұжырымдау 1 Егер натурал сан жұп болса, онда ол 6-ға бөлінеді. Натурал сан 6-ға бөлінуі үшін оның жұп болуы қажетті. 2 Егер натурал сан 6-ға бөлінсе, онда ол жұп Натурал сан болуы үшін ол 6-ға бөлінуі жеткілікті. 3 Егер натурал сан жұп болса, онда ол 2-ге бөлінеді Натурал сан 2-ге бөлінуі үшін ол санның жұп болуы қажетті және жеткілікті 4 Егер натурал сан 2-ге бөлінсе, онда жұп болғаны Натурал сан жұп болуы үшін ол санның 2-ге бөлінуі қажетті және жеткілікті. . Қажетті, жеткілікті шарттарды анықтау Анықтамалар. Егер пікірі ақиқат болса, онда пікірі үшін қажетті шарт деп аталады. Егер пікірі ақиқат болса, онда үшін пікірі жеткілікті шарт деп аталады. Егер және импликациялары бір мезгілде ақиқат болса, онда шарты шартының қажетті және жеткілікті шарты деп аталады, яғни эквиваленттілік орындалады. Ақиқаттығы тікелей дәлелдеу (талқылау) арқылы көз жеткізілетін математикалық сөйлем теорема деп аталады. Теоремада мыналар анық көрсетілуі керек: - белгілі бір нысандар (теореманың шарты) қандай шарттарда қарастырылады; - бұл нысан туралы не тұжырымдалады (теореманың қорытындысы). Теореманың шарты мен қорытындысын оңай анықтау үшін оны логикалық жалғауды қолдана отырып «егер, ..., онда...,» деген импликация түрінде жиі тұжырымдалады. Мысалы, «параллелограмның диагоналдары қиылысады, және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді» деген теореманы былай тұжырымдауға болады: Егер төртбұрыш параллелограм болса, онда оның диагоналдары қиылысады және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді. Егер төртбұрыш параллелограмм болмаса, онда оның диагоналдары қиылысады және қиылысу нүктесінде қақ бөлінбейді. Кері теорема: егер төртбұрыштың диагоналдары қиылысса және қиылысу нүктесінде қақ бөлінсе, онда бұл төртбұрыш – параллелограмм. Егер төртбұрышта диагоналдары қиылысcа және қиылысу нүктесінде қақ бөлінбесе, онда бұл төртбұрыш – параллелограмм емес. Конструктивті және рекурсивті анықтамалар Нысанның қасиеттері, оны конструкциялау, нысанға жасалатын амал-дарды көрсету жолымен беріледі. Яғни, нысанның өзіндік ерекшеліктері амалдар түрінде беріледі. Мысалы, формуласымен берілген функцияны сызықтық функция дейміз. Термин – сызықтық функция. Туыс ұғым – функция. Өзіндік ерекшелігі – – бірінші дәрежелі тәуелсіз айнымалы, мен – сандар және Яғни, егер сандармен айнымалылар арасында осындай амалдар берілген болса, онда сызықтық функция бар деп есептеледі. Егер амалдар (айнымалының дәрежесі) басқа болса, онда сызықтық функция болмайды. Мысалы, арифметикалық прогрессияны анықтау. Екінші мүшесінен бастап өзінің алдындағы мүшеге тұрақты бір санды қосудан шығатын сан тізбегін арифметикалық прогрессия деп атаймыз. Туыстығы – тізбек. Термин – арифме-тикалық прогрессия, өзіндік ерекшелігі беріледі; (– жалпы түрі), . Егер алдындағы амалдардың белгілі бір және өзіндік ерекшеліктері көрсетілген болса, онда келесі мүшелерді алуға болады. Теріс анықтама (қарама-қарсы анықтама). Қарама-қарсы анықтама нысанның қасиетін білдіре алмайды. Ол жіктеуші функцияның ролін атқарады. Егер нысандар класы топтарға бөлінсе, әрбір топтың белгілі бір қасиеттері болса, оған ат қойылса және өзіне тән емес қасиеттері көрсетілсе, онда бұл бір класқа жататын нысандарға қарама-қарсы анықтама беріледі. Мысалы, бір жазықтықта жатпайтын және қиылыспайтын түзулерді айқас түзулер дейміз. Термин атауы – айқас түзулер, туыстығы – түзулер. Өзіндік ерекшелігі: 1) бір жазықтықта жатпайды; 2) қиылыспайды. Сонымен, мектептегі анықтамалардың негізгі типологиясы – нысандардың өзіндік ерекшеліктерін көрсететін амалдардың ерекшелігін түсіну. Математикалық нысанды анықтауға мысалдар 2-кестеде көрсетілген. 2-кесте – Математикалық нысанды анықтау Сипаттамалық қасиетін жазу жолмен берілген анықтама Консруктивті анықтама Қарама-қарсы анықтамалар Айқындалмаған анықтамалар теңдеу (V сынып.) 2) ромб (VII сынып.) О нүктесінде симметриялы фигуралар (VI сынып.) Пропорционал сандар (VII сынып.) Нүкте және түзу (VII сынып) Тапсырмалар 1. Анықтамаларға логикалық талдаулар жасаңыздар, яғни ұғымның туыстық аты және өзіндік ерекшеліктерін атаңыздар. Таңдап алынған әрбір анықтаманың өзіне тән әртүрлі ерекшеліктерін сипаттаңыздар. 2. Келесі анықтама анықтамаға қойылатын талаптарды орындай алатындығын немесе орындай алмайтындығын анықтаңыздар: 1. «Үшбұрыштың төбесі мен оған қарама-қарсы жатқан қабырғасының ортасын қосатын кесінді үшбұрыштың медианасы деп аталады». 2. «Бірлік шеңбердің нүктесін радианға бұрудан шыққан нүктесінің ординатасын бұрыштың синусы деп атайды». 3. «Бір-бірінен өзгешелігі тек таңбасында болатын екі санды қарама-қарсы сандар деп атайды». Өзіндік ерекшеліктері конъюнктивті (барлық қасиеттері бір мезгілде біреуінен табылатын) болатын және болмайтын нысандарға мысал 3, 4-кестелерде келтірілген. 3-кесте – Өзіндік ерекшеліктері конъюнктивті болатын нысандарға мысал № Мысалдар Үшбұрыш (иә «+», жоқ «–») Екі қабырғалары бір-бірімен тең +, – Қорытынды: берілген нысан тең бүйірлі үшбұрыш. 1 2 3 4 2,5 – + + + – – + + – – + + 4-кесте – «Алымы бөлімінен артық немесе тең болатын бөлшекті бұрыс бөлшек дейміз» – анықтамасына мысалдар Нысандар Бөлшек Алымы бөлімінен көп Бұрыс бөлшек 1 2 4 100 + – + + – – + – – – – + – – + + Өзіндік ерекшеліктері дизъюнктивті түрде біріктірілген, туыстық қасиет-тері сақталған, ең кем дегенде бір өзгешелігі айтылған. Тапсырмалар. Келесі анықтамалардың эквивалентті (мәндес) екенін анықтаңыздар: 1. а) -қа тең бұрыш тік бұрыш деп аталады. б) жазық бұрыштың жартысын тік бұрыш дейміз. 2. а) Белгісіз саны әріппен белгіленген теңдік теңдеу деп аталады. б) Айнымалыдан тұратын теңдік теңдеу деп аталады. 7-Лекция. Теоремаларды дәлелдеуге үйрету Теорема ұғымын қатаң түрде анықтау тек формальды теорияларда кездеседі. Мектеп математика курсы сияқты формальді емес теорияларда теорема ұғымына тек түсініктеме беріледі: қисынды пайымдаулар арқылы дұрыс немесе бұрыстығы дәлелдеу нәтижесінде белгілі болатын пайым (сөйлем) теорема, деп аталады. Теорема – грек сөзі, ол: «көз жеткіземін», «ойлап көремін» деген мағыналарды білдіреді. Теореманың түрлері: келісімді теорема (мысалы: «Вертикаль бұрыштар тең»); шартты теорема («егер ..., онда...»). Теореманың бөліктері: 1) теореманың шарты, 2) теореманың қорытындысы, 3) теореманың түсінік беру бөлігі. Бұрын дәлелденген теоремалардан тікелей шығатын кейбір теоремаларды салдарлар, деп атайды. Салыстырмалы түрде, дәлелдемесі қысқа, өз алдына дербес мәнге ие болмайтын және басқа теоремаларды дәлелдеу үшін пайдаланытатын теоремаларды лемма, деп атайды. Лемма – грек сөзі, «табыс» деген мағынада [18]. Математиканы оқытудағы талдау мен біріктіру сипаттамасы Ғылыми зерттеу әдісі ретінде талдау мен біріктіру математикалық зерттеулерде ерекше маңызды рөл атқарады. Талдау – логикалық тәсіл, зерттеу әдісі ретінде үйренілетін нысанды ойша (не прак.) құрамды бөліктерге жіктейді (белгілері, қасиеттері, қатынасы), әр бөлік бүтіннің бөлік ретінде жеке зерттеледі. (Талдау – грекше analygts – жіктеу, бөлшектеу, талдау). Кейін себепті бірлікте, бүтін ретінде қаралады. Жіктеу арқылы пайда болған тізбек сөйлемі бұрыннан белгілі аксиомаға, анықтамаға, бұрын дәлелденген теоремаға келеді. Тізбектің соңғы сөйлемі дәлелдемекші пікір болып шығады. Әрине, тізбектің сөйлемі өзара белгілі қатыста болатыны айқын. Талдау түрі нысан түріне және алға қойған мақсатқа байланысты. Кейде бүтінді бөліктерге жіктеп, бөліктерді жеке-жеке тану немесе түгел тану мәселесі қойылады. Сөйтіп бүтіннің қасиеті танылады. Белгісізден белгіліге қарай жүретін ой өрісін де талдау деп түсінеміз. Біріктіру – логикалық тәсіл, бүтіннің бөліктері қайтадан бір бүтінге біріктіріледі. Біріктіру (грекше sinthess – біріктіру, құрастыру, теру) – талдау прцесінде бөлшектенген нысанның бөліктерін, өзара байланысын анықтап, біріктіру. Сондай-ақ, талдау мен біріктіру, жалпылау, дерексіздеу, салыстыру және аналогиямен астарласа жүреді. Математиканы оқытудағы талдау мен біріктіру мәні өте зор, ол есептер шешу әдісі ретінде, теорема дәлелдеу, математикалық ұғымдардың қасиетін үйрену т.б. барынша әр алуан формада кездеседі. Талдау мен біріктіру – іс-жүзінде бірін-бірі толықтыратын біртұтас әдіс. Мәселен, талдау кезінде күрделі есептер жай есептерге бөлшектенеді, ал біріктіру мұндай жай есептерді бір ғана мағыналы, біртұтас бір есепке біріктіреді. Талдауды бүтіннен оның құрамды бөліктеріне жіктейтін ойлау әдісі, ал біріктіру – ұсақ бөліктерді бір бүтінге біріктіретін ойлау әдісі деп түсінеміз. Бала ойыншықты ұсақтап (талдау) қайта құрастырса (біріктіру) бұл өзіндік талдау мен біріктіру болады. Талдау мен біріктіру физика, химия сияқты экспериментальды ғылымдарда кеңінен қолданылады. Рене Декарт (1596-1650) өзінің «Логика» деген кітабында талдау-біріктіру әдістің мәнін анықтап зерттеді, осы әдістердің мәні туралы барынша көрнекі мынадай мысалдар келтіреді. Мысалы, «Мен, Кароль Ұлы Карлдің туысымын ба, жоқ па?», деген сұрақтың жауабына екі жолмен көрнекі жауап беруге болады. Менен ұлы Карлға дейін және Ұлы Карлдан маған дейін туысқандық байланыстар болса, онда біз Карл екеуміз туысқанбыз. Сөйлемнің бірінші бөлігі – талдау, екінші бөлігі – біріктіру. Мысалы, екі баланың жастарының қосындысы 12. Майгүл 5 жаста. Азат неше жаста екенін табайық. 1) – біріктіруге, берілгенге негізделген. 2) – талдауға негізделген. Талдау (аналитикалық) – зерттеу әдісі ретінде нысанның саны мен өлшеміне сүйеніп, нысанның сандық қасиетін құрастыратын жақтарын көрсетеді. Біріктіру – зерттеу әдісі ретінде нысанның сапалық қасиетін үйренуге негізделеді. Талдауды – салдардан себепке көшетін ойлау формасы ретінде, ал біріктіруді – себептен салдарға көшетін ойлау формасы деп түсіну керек. Талдау-біріктіру – ойлау процесінің ерекше формасы, яғни ойлаудың маңызды психологиялық сипаттамасы. Көптеген психологиялық зерттеулердің көрсеткеніндей, талдау әр түрлі формада кездеседі: а) «фильтр» типті талдау. б) біріктіру арқылы болатын талдау. Мысал. Шеңберге сырттай сызылған тең қабырғалы үшбұрыштың периметрі оған іштей сызылған үшбұрыштың периметрінен 2 есе артық болатынын дәлелдеу керек (1-сурет). 1) қарастырайық; болатынын дәлелдеу керек. Сол сияқты 2) 1), 2) ден Есепті шешу барысында оқушы кесіндісінің қасиеттерін талдайды. Есеп шарты бойынша (– түзуі үшбұрышының бір қабырғасы) және екенін бөлініп алынады. Бұдан соң үшбұрыштың бұл қабырғасы -ның орта сызығы екені дәлелденеді, бұдан жаңа қасиет бөлініп алынады: Бұдан әрі қабырғасы -дің бір қабырғасы ретінде қарастырылады. қабырғасы үшңн жаңа байланыстар жүйесі – жаңа қасиеттер пайда болады (бірде орта сызық, бірде -тың бір қабырғасы). Бұл қасиеттер бір-бірімен белгілі арақатынаста болады. Теоремаларды талдау және біріктіру жолымен дәлелдеу әдістемесі Мысалы, үшбұрыштың ішкі бұрышының қосындысы болатынын дәлелдеу керек (2-сурет). 1-дәлелдеу тәсілі (талдау жолмен) – жазық бұрыш: кез келген үшбұрыштың үш бұрышы жазық бұрышқа тең болатынын көрсету керек. а) нүктесінен өтетін болатын жазық бұрышты саламыз. ә) үшбұрыштың төбесіндегі бұрышы; б) (айқыш бұрыштардың қасиеті). в) (айқыш бұрыштардың қаситеі). г) (жазық бұрыштың қасиеті) ғ) бірдей бұрыштарды ауыстырсақ: Делелдеу керегі осы. 2-дәлелдеу тәсілі (біріктіру жолмен) а) жүргіземіз. ә) (айқыш бұрыштар). б) (айқыш бұрыштар). в) екенін дәлелдеу керек г) жазық бұрыштың қасиеті. ғ) бірдей бұрыштарды ауыстырсақ: Делелдеу керегі осы. Мысалы, Коши теңсіздігін дәлелдеу (5-кесте) , , 5-кесте – Коши теоремасын (теңсіздігін) дәлелдеу Талдау әдісі Біріктіру әдісі ақиқат Біріктіру әдісінің мәні логикалық әдіспен дәлелдеуге болатын берілгендерге сүйенеді. Көбінесе, практикада біртіндеп екі әдісті қатар қолданады: аналитикалық жолмен тұжырымды байқайды, сонан соң синтетикалық жолмен дәлелдеуге тиістіні дәлелдейді. Мысалы, қос импликацияны пайдаланып ойлаудың екі әдісімен бірақ жазамыз: . Біртіндеп талдау әдісі Бұл талдаудың негізгі мәні келесідей ойлауға негізделген: тұжырымының дұрыс болуы үшін тұжырымының дұрыс болуы қажет. Мысал. Ромбының диагоналдары өзара перпендикуляр болатынын дәлелдейік. Дәлелдеу: а) екенін көрсету үшін болатынын көрсету жеткілікті (3-сурет). б) болатынын көрсету үшін – -ға биіктік екенін көрсету жеткілікті. в) ОЛ үшін теңбүйірлі екенін көрсету керек, – оның медианасы. г) тең бүйірлі болу үшін дәлелдедік. д) бірақ шарт бойынша , – медиана, сонымен (параллелограммның диагоналдарының қасиеті бойынша). Бұл теореманың дәлелдеудің біріктіру әдісімен дәлелдену сұлбасы: а) : (шарт бойынша) б) (параллелограммның қасиеті бойынша). в) – медиана г) үшбұрышына биіктік болады. д) . Салыстыра келіп, біртіндеп талдау әдісінің артықшылығын байқаймыз: а) сапалы және өз бетінше, б) логикалық ойлау, в) мақсаты айқын, д) дәлелдеу әдісі қарапайым. Математиканы оқыту процесіндегі индукция мен дедукция Индуктивтік ой қорыту адамдардың қоғамдық және өндірістік практикасының көп ғасырлық бақылауы мен тәжірибесінен қалыптасты. Ойымызды тұжырымдаудың әр түрлі формасы ретінде индукция ертедегі грек философы Сократтың (б. э. д. 469-399 жж.) еңбектерінде кездеседі. «Индукция» термині латынның inductio – «түрткі», «кірістіру», «жекеден көпке», «жалқыдан жалпыға» көше отырып пайымдау жолы деген сөзі. Оның негізгі үш мәні бар: ойды тұжырымдап айтып берудің негізгі түрінің бірі – екі немесе бірнеше элементар жеке пікірлерден жаңа жалпы тұжырым жасау; кейбір нысандар жиынын үйрету үшін жеке нысандарды қарастырады. Олардың арасындағы ортақ қасиеттерді іздестіріледі, жеке айғақтан жасалған тұжырым барлық нысандардың қасиеті ретінде алынады; оқыту процесінде материалды жалпылай жеткізетін зерттеу әдісі болып табылады. 1-мысал. Элементар пікірлер: шеңбер түзумен ең көп дегенде екі нүктеде қиылысады. Сол сияқты эллипс түзумен екі нүктеде қиылысады; парабола түзумен екі нүктеде қиылысады; гипербола түзумен екі нүктеде қиылысады. Дербес пікірлер: эллипс, парабола, гипербола – конустық қималардың әр түрдегі көрінісі, бұлар екінші ретті қисықтар жиынын құрайды. Жаңа жалпы пікір: екінші ретті қисықтар түзумен ең көп дегенде екі нүктеде қиылысуы мүмкін. 2-мысал. Төмендегі формуламен берілген сан тізбегін қарастырайық (6-кесте) 6-кесте – Қате пікірлердің пайда болуына мысал тақ сан тақ сан тақ сан Қорытынды тақ сан Қорытынды қате пікір: құрама сан Математикалық индукция қағидасы орындалған жоқ Толымсыз индукция Индукцияның толымсыз және толық болып бір-бірінен өзгешеленетін екі түрі бар. Зерттеу әдісі ретінде толымсыз индукция – жеке айғақтар өте көп болып, бірақ олардың барлығын бірдей қарастырмай тек кейбіреулерін ғана қарастырып тек солардағы ерекшеліктерді байқап, осылар арқылы жалпы қорытынды жасайтын болсақ, бұл толымсыз индукция болып табылады. Толымсыз индукциямен жасалған қорытынды дұрыс болмауы да мүмкін алғашқы жеке айғақтарда бар ерекшелік, кейінгілерінде болмайтын жағдайлар кездеседі. Өйткені педагогикалық үдерісте, әсіресе жеке дәйектер өте көп болып, олардың барлығын бірдей қарастыру мүмкін болмағанда, тек бірнеше дербес дәйектерден жасалған қорытындының өзі де дұрыс болатыны адамның іс-тәжірибесінде бұрыннан сыналған (мысалы, ықтималдар теориясы мен математикалық статитикада). Толымсыз индукция әдісін қолданып бір қорытынды тұңғыш рет жасалған болса, оны міндетті түрде әр түрлі әдіспен тексеру қажет. Бұл үшін бірнеше пікірлерден ұқсас қорытындылар жасап, дәлелдеуді күшейтеміз. Мысалы, осы әдіспен мектепте арифметикалық, геометриялық прогрессия өтіледі. ....................................................... Бұл нәтижеге келгенімізбен, міндетті түрде дәлелдеу қажет. Математика дамуының алғашқы сатысында сондай-ақ жеке адамның және барлық адам баласының өмірінде математикалық шындықтарды танып білудің бірден-бір жолы бақылау мен тәжірибе, бір сөзбен айтқанда индукция болған. 2 мен 3-тің қосындысы 5 болатынын, екі нүктенің арасындағы ең жақын арақашықтық түзу екенін адамдар күнделікті бақылау арқылы білген. Миллион рет қайталанған тәжірибелерден, адамдарда оймен орындау қабілеті пайда болады. Толық индукция Барлық дербес жағдайларды қарастыра келіп шығарылған жеке-жеке қорытындыларды пайдаланып жалпы бір қорытынды жасауды толық индукция дейді. Егер жағдайлар саны шектеулі болып, олардың барлығын толық қарастырсақ, онда одан толық индукциямен жасалған қорытынды болады. Мысалы, 10-ға дейінгі жай сандарды көбейткіштерге жіктейміз. 10-ға дейінгі сандардың ішінде 4 жай сан бар, қосымша дәлелдеуді қажет етпейді. Сонымен, толық индукциямен жасалған қорытынды әркез ақиқат болады, сондықтан толық индукция ғылыми дәлелдеу әдісі болып табылады. Жеке жағдайлар шексіз көп болғанда, онда толық индукция емес, толымсыз индукция қолданылады да, қорытындысының дұрыстығы математикалық индукциямен тексеріледі немесе математикалық индукция қолданылады. Көбінесе, математикада дербес жағдайлары өте көп болатындықтан, олардың барлығын қарастырудың мүмкіншілігі бола бермейді. Сондықтан толық индукцияда сирек қолданылады. Бірақ оның есесіне толық индукцияны қолдану мүмкіндігі болған жерде, ол арқылы жасалған қорытынды әрқашан дұрыс болады. Егер шексіз көп дербес жағдайлар жиынын өзара байланыссыз бөліктерден тұратан шектеулі жиындарға бөлу мүмкіндігі болса, онда ол дербес жағдайлар толық индукциямен дәлелденеді. Іштей сызылған бұрышты өлшеу туралы оқығанда негізінен 3 түрлі жағдайды қарастырамыз (4, 5, 6-суреттер): а) Іштей сызылған бұрыштың бір қабырғасы шеңбер диаметрі болады. б) Шеңбер диаметрі бұрыштың ішкі облысында жатады. в) Шеңбер диаметрі бұрыштан тыс жатады – бұларды дәлелдеуге толық индукция қолданылады. Бұл арада теореманы толық индукциямен дәлелденген деп аталады. . Индукциялық ой қорыту нысандардың арасында себепті байланыстар орнатады. Бақылау мен эксперименттің нәтижесінде нысандар арасында белгілі қатынастармен байланыстар орнатылады. Бұларға жасалатын индукциялық ой қорыту – белгіліден белгісізге көшу процесін ықтималдығы белгілі мөлшердегі ақиқат пікір деуге болады. Соңғы мысалдардан бұл индукцияны зерттеу индукциясы деп атайды. Оқыту үдерісінде бұл әдіс ұғымдардың немесе пікірлердің арасында белгілі бір логикалық байланыс орнату үшін қолданылады. Математиканы оқытуда бұл әдіс әр түрлі формада кездеседі (ұғымдар немесе ой арасындағы логикалық байланыс орнатуға, қабылданған математикалық анықтамалардың дәлелді әдістемесі ретінде, нақты тақырыпты оқыту тәсілі ретінде қолданылады). Дедукция Дедукция (латынша deductio – бір жола шығару). Бір жалпы пікірден және бір дербес пікірден жаңа, барынша жалпы немесе дербес пікірге көшуді дедукция, деп атаймыз. Барлық аттас дұрыс көпбұрыштар ұқсас (1-пікір). Берілген дұрыс көпбұрыштар аттас (2-пікір). Берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас болады (жаңа пікір – қорытынды). Осы жағдайлардан жаңа қорытынды шығарайық. Пікірлер логикасында қорытылған жаңа пікірді алғы шарт деп атайды. Олардан қорытылған жаңа пікірді ой қорыту деп атайды. Жоғарыдағы мысалда жалпы сөз тіркесі «Дұрыс аттас көпбұрыштар». Дедукцияның мәні – берілген дербес жағдайды жалпы жағдайдан шығару болып табылады. Дедукциялық ойлаудың дұрыстығы алғашқы екі тұжырымға тәуелді. Егер екі тұжырым дұрыс болса және дұрыс қорытынды шығарылса, онда қорытындысы да ешбір талассыз дұрыс. Дедуктивтік ой қорытудың келесі түрлері болуы мүмкін: - барынша жалпы жағдайдан ой қорытудан барынша дербес жеке жағдайдағы ой қорытуға көшу. - жалпы жағдайдағы ой қорытудан жалпы жағдайға көшу. Мысалы, барлық жұп сандар 2-ге бөлінеді; барлық тақ сандар 2-ге бөлінбейді, ешбір жұп сан бір мезгілде тақ сан бола алмайды. Жеке пікірден дербес пікірге көше отырып ой қорыту. Мысалы, 2 саны – жай сан; 2 саны – натурал сан, кейбір натурал сан жай сан болып табылады Математикалық ой қорытулар көбінесе дедукциялық болады. Қысқаша айту мақсатында кейбір тұжырымдар қалдырылады: Мысалы, берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас, себебі олар аттас. Математика дедукциялық ғылым. Шынында да математикалық пәнді қатаң баяндағанда негізгі ұғымдар мен олардың өзара қатысы, байланысы орнатылады (олар белгілі ұғымдар мен олардың қатынасы арқылы анықталады), бұдан соң бұл ұғымдар мен қатыстарды байланыстыратын аксиомалар жүйесі құрастырылады. Негізгі ұғымдар мен қатыстар аксиомалар жүйесінің негізінде жаңа ұғым пайда болады, тікелей ой қорыту ережесі пікір мен оның салдары логикалық реттілікпен баяндалады. Теореманы дедукциялық тұрғыдан дәлелдеу жүргізілген қадамның тек логикалық реттілігі болып қана қоймай, бұрыннан белгілілерге сүйеніп, сонымен бірге әрбір қадамның, тұжырымның дұрыстығын дәлелдеу болып табылады. Мысалы, теңбүйірлі. Қорытынды: . Дедукция процесі математикалық логиканың тілінде қатаң түрде өрнектеледі. Дедукция белгілі бір ережелердің нәтижесінде бейнелейді. Зерттеу әдісі ретінде нысандар арасындағы ортақ қасиеттер мен байланыстарды табу арқылы сипатталады, нысандар класының нақты қасиеттері туралы пікір айтуға мүмкіндік береді. Мысалы, шаршының қасиетін қарастыра отырып, оның ең алдымен ромб екенін білеміз. Сонымен ромбыға тән қасиет шаршыға да тән. (Шаршының диагоналдары өзара перпендикуляр). Математикалық сөйлемдерді баяндауда жетілдірілген индукция деген атпен индукция мен дедукция тығыз байланысты түрде жиі кездеседі. Жетілдірілген индукция әдісі Индукциялық жолмен алынған қорытындыны логикалық жолмен негіздеу қажеттігі туғанда әдетте жетілдірілген индукция қолданылады. Толық математикалық индукция белгілі дәйекке қолданылғанда келесі түрде біртіндеп қолданылады: бақылау және тәжірибе; болжам; болжамды дәлелдеу. Мысалы, элементтері санаулы жиында n элементтен тұратын алмастыруды қанша әдіспен жасауға болады? 1-ші кезең. Ізделінді алмастыру санын x арқылы белгілейік, ал жиын элементтерін арқылы дербес мәндерінде бұл жағдайды зерттейік (7-кесте). 7-кесте – Дербес мәндерде жағдайды зерттеу Мәні Тәжірибе және байқау -тің мәні 1 1 2 2 3 , , , , 6 4 24 2-ші кезең. Тәжірибенің қорытындысын шығарайық (8-кесте) 8-кесте – Тәжірибенің қорытындысы Элементтер саны Тәжірибе Қорытынды Егер қандай да бір натурал саны үшін тұжырымдалған құрылым үшін тура болып, үшін тура деп алынып, үшін тура екені дәлелденетін болса, онда бұның п үшін тура екені дәлелденеді. Математикалық индукция әдісі математикалық индукция қағидасына негізделген. Математикалық индукция әдісін бөлінгіштіктерді дәлелдеуге пайдалануға болады. 1 Есеп. Кез келген п натурал саны үшін (1) екенін дәлелдейік. Шешуі: үшін тура. үшін тура делік. үшін тура екенін дәлелдейік. Шыққан қосындыдағы әрбір қосылғыш 64-ке бөлінеді, ендеше қосынды 64-ке бөлінеді. Яғни, (1) орындалатыны дәлелденді. 2 Есеп. теңдеуінің дұрыстығын дәлелдейік (. Оқылуы: n факториал). 1). үшін тура; 2). үшін: тура деп аламыз; 3). үшін тура екенін дәлелдейік: осыдан: , сол жақтағы 1-ші және 3-ші қосылғыштардан -ді жақша сыртына шығарсақ: осыдан , д.к.о. Аналогиялардың маңызы және оның түрлері Салыстыру мен аналогия – ойлаудың логикалық тәсілі, ол ғылыми зерттеулерде және оқыту үдерісінде қолданылады. Математикалық білім алу үдерісінде өз бетінше жаңа нәтижеге қол жеткізу процестері, ең алдымен, оқушының өзіндегі бар білімді және оның кең көлемде аналогиясы арқылы жаңа білім алуға байланысты. Мысалы, (а1 → а2 планиметрия – стереометрия, шаршы – куб) т. б. Математикалық білімді меңгерудің барлық кезеңдерінде аналогия бойынша ой қорытудың маңызы ерекше. Традукциялық ой тұжырымының маңызды түрі – аналогия болып табылады. (грек, analogіa – «сәйкестік», «ұқсастық»). Аналогия – танымның аса тиімді эвристикалық құралы. Аналогия – адамның қалыптасқан білімін жаңа алған білімге айналдыруда ұқсастықты қолданатын логикалық әдіс. Ол білім алдымен жорамал, болжам түрінде одан кейін мүмкіндігіне қарай дәлелденген нақты білімге айналады; өз бетінше кеңейтетін білімдер жүйесіне айналады. Адам ойының белсенді, ақыл ойының пәрменді дамуы оның аналогия бойынша ойлауына байланысты. Америка математиктері Д.Пойа, У.У.Сойер білімнің қай саласындағы жаңалық болса да аналогияның логикалық тәсілінсіз табылмағанын дәлелдеді . Салыстыру – материалдық нысандарды оларды оқып үйренгенде олардың ұқсастығы мен бір-бірінен айырмашылықтарын ойша байқайтын логикалық әдіс. Салыстырудың танымдық үдерісінде қаншалықты зор маңызы бар екені туралы мынадай белгілі нақыл бар: «Барлығын да салыстыру арқылы танимыз». Салыстыру – зерттеу әдісі ретінде математикада ғана қолданып қоймай, нысандардың математикалық заңдылықтарын үйренуге, оларды байланыстыруға қолданылады. Салыстыру әдісін қолданғанда келесі жағдайларды басшылыққа алғанда ғана ол тұралы дұрыс қорытындыға әкеледі. Бір-бірімен белгілі байланыстағы біртекті нысандарды салыстыруға болады. Салыстырудың мағынасы болуы керек. Мысалы, өлшемдері бірдей арақашықтықтар, өлшемдері бірдей бұрыштар т.с.с. Екі функцияның қасиетін салыстыруға болады, үшбұрышты – үшбұрышпен, төртбұрышты – төртбұрышпен, ромбыны – ромбымен салыстырады. Мысалы, екі көпбұрыштың ұқсастығы, ауданы, параметрлері, т.б. қасиеттері бойынша салыстырылуы керек. Бір ғана нысанға ие болатын нысандар толық болу керек. Салыстыру математикалық ұғым анықтамалары таратып жазған кезде қолданылады. Бұл туралы К. Д. Ушинский «Дидактикада салыстыру негізгі тәсіл болу керек» деп есептеген. Бұл ой математиканы оқытуда өте сенімді тәсіл. Мысалы, тақтаға бірнеше дербес тізбектер жазып оларды салыстыру арқылы арифметикалық прогрессия анықтамасын оқушыларға тұжырымдатуға болады. Зиянды аналогиялар. Оқушылар шығарған есептерде аналогиялық қателер жиі. Мысалы: 1. Қосылғыштарды қысқару: (дұрысы: бұл қысқармайды); 2. Жиі кездесетін қателер түрі: өрнегі де жалған аналогия әдісімен табылған (дұрыс нақты сандар жиынында түбірі табылмайды); 3. Жалған аналогиялық қателер (дұрысы: ); 4. Өте кең таралған қателерді: психолог Н. А. Меншчинскаяның зерттеулері бойынша: «Оқушылар 96:16=10 есебін шешкенде қате жіберді; 5. «Кеңістікте берілген түзу арқылы осы тек бір ғана перпендикуляр түзу ғана болады» – қате пікір. 6. Софизмдер. Софизм (грек. sophisma – «қақпан», «өтірік», «басқатыру») – қорытындының негізі логикалық және семантикалық (тілдік мазмұнын, яғни мәнін) талдаудың жеткіліксіздігінен пайда болатын, таза субьективті әсерден туатын, жорамал дәлелдеу. 1-есеп. «5 = 1» софизмін дәлелдеуге тырысып, 5 және 1 сандарынан бірдей санды, яғни 3-ті шегереміз. Теңдеудің екі жағында шыққан 2 және -2 сандарын квадраттасақ, екеуінен де бірдей 4 санын аламыз: Ендеше 1 мен 5 тең болуы керек. Қатені табыңыз. Жауабы: квадраттардың теңдігінен сол сандардың өздерінің теңдігі шықпайды. 2-есеп. софизмін дәлелдеп, қатесін табыңыз. Шешуі. сандық тепе-теңдігін қарастырайық. Оң жағындағы және сол жағындағы ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығарсақ: . Осы теңдеудің екі жағын жақша ішіндегі ортақ көбейткішке бөлсек: . Қате қайда? Жауабы: сандарды -ге бөлуге болмайды. Ой қорытындыларының маңызды бөліктерінің бірі традукциялық (транзитивтік) ой тұжырымы болып табылады (лат. raductіon – орын ауыстыру). Мұндағы екі және одан да көп пайымдардан қандайда бір жалпылама дәрежесі одан жоғары жаңа пайымдауға өтеді. Мысалы, а, b, және с – қандайда бір нақты сандар болатын, а>b (бірінші пайым), b>с (екінші пайым), а>с (жаңа пайым). Зерттеу әдісі ретінде традукция қандайда бір қатынаста екі нысандардың сәйкестігін орнатқаннан кейін, осы нысандарды басқа қатынасқа келтіріледі. Үшінші тарау Математикалық есептер жүктеу/скачать 491 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|