1 пән Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі
Математикалық сөйлемдер және оларды меңгерту әдістемесі
жүктеу/скачать 117.77 Kb.
|
| Математикалық сөйлемдер және оларды меңгерту әдістемесі
Аксиомалар, постулаттар, теоремалар. Теореманың түрлері, теореманың құрылымы. Теоремаларды дәлелдеу әдістері: тура, жанама, геометриялық түрлендірулер, алгебралық, векторлық, координаттық Математикалық сөйлемдердің маңызды түрлеріне аксиомалар, постулаттар, теоремалар жатады. Аксиома деп ешбір дәлелдеусіз қабылданатын сөйлемді айтады. Ғылыми теорияны құрғанда сүйенетін бастапқы негізі – дәлелдеусіз алынған сөйлемдер жүйесі, яғни, аксиомалар. Ғылыми теорияның басқа тұжырымдары (теоремалары) осы аксиомаларға сүйеніп дәлелденеді. Аксиомалар және алғашқы ұғымдар математикалық теорияның негізгі фундаментін құрайды. Математикалық теориялардың негізі болатын аксиомаларды ғылыми тұрғыда жан-жақты зерттеу ХІХ ғасырдың соңы мен ХХ ғасырдың басында қолға алынды. Бұл кезеңде бірсыпыра ғалымдар математикалық теориялардың тізімін жасаумен шұғылданады. Белгілі бір ғылымның негізін қалайтын барлық аксиомалар тобын аксиомалар жүйесі дейді. Мәселен, геометрияның барынша толық әрі қарапайым аксиомалар жүйесін жасағандардың бірі атақты неміс математигі Д. Гильберт еді. Д. Гильберт геометриялық жүйеде алғашқы үш (нүкте, түзу, жазықтық) ұғымды және алғашқы үш (жатады, арасында, конгруэнтті) қатынасты қарастырады. Г. Вейль бүкіл мектеп геометриясын векторлық кеңістік идеясы негізінде құруды ұсынды. А.Н. Колмогоров бүгінгі таңдағы мектеп геометриясының аксиомалар жүйесін жасады. Аксиомалар жүйесіне мынадай талаптар қойылады: 1.Аксиомалар жүйесі қайшылықсыз болуы тиіс. Мұның мәні жүйедегі аксиомалар мен сол аксиомалардың барлық логикалық салдары бірін–бірі теріске шығармауы керек. 2.Аксиомалар жүйесі тәуелсіз болуы тиіс. Мұның мәні: жүйедегі кез- келген аксиома басқаларынан шықпауы керек.3.Аксиомалар жүйесі толық болуы тиіс. Мұның мәні: жүйедегі аксиомалар теорияның негізін қалау үшін жеткілікті болуы керек. Ұзын саны шектеулі аксиомалардан теорияны құру әдісін аксиоматикалық әдіс деп, ал теорияны аксиоматикалық теория деп атайды. Бұл теорияның басқа қағидалары оның негізін қалаған аксиомалардың логикалық салдарлары болып табылады. Математика ғылымында геометрияны, арифметиканы, ықтималдықтар теориясын және т.б. құрудың аксиоматикалық әдістері белгілі. Постулат дегеніміз – белгілі бір ұғым немесе ұғымдардың арасындағы белгілі бір қатынас қанағаттандыруға тиісті талаптарды сипаттайтын математикалық сөйлем. Сондықтан постулаттың өзі белгілі бір ұғымның немесе ұғымдар жүйесі анықтамаларының бөлігі болып табылады. Мысалы, «жазықтықтағы параллель түзулер» ұғымы екі постулатпен анықталады. Айталық, а және в түзулері өзара параллель болуы үшін мына қасиеттерді қанағаттандыруы тиіс. а) а және в түзулері бір жазықтықта жатуы тиіс, яғни а€α/\b€α. б)екі түзу бір – бірімен беттесуі немесе мүлдем ортақ нүктелері болмауы тиіс, яғни а = в \/ а /\ в=Ø Теорема деп ақиқаттығы дәлелдеу арқылы тағайындалатын математикалық сөйлемді айтады. Әрбір теорема өзінің шартын (Р) және қорытындысын (Q) қамтиды. Мәселен, «Вертикаль бұрыштар тең» теоремасында «Вертикаль бұрыштар» - шарты, ал «тең» қорытындысы. Осы теоремаға «егер ... , онда ... » тіркестерін пайдаланып, тұжырымын басқаша, келісімді (силлогизм) түрде беруге болады, яғни «Егер бұрыштар вертикаль болса, онда олар тең болады». Бұл тұжырымның ерекшелігі, теореманың шарты (егер...) мен қорытындысы (онда ...) бір–бірінен ерекшеленіп тұрады. Кейбір жағдайларда теореманы «Егер..., онда...» тіркестерінсіз тұжырымдауға болады. Мұндай тұжырымдарды кесімді тұжырымдау дейді. Кесімді тұжырымдау әдетте қысқа, ыңғайлы болып келеді. Теореманың тұжырымын логикалық тілде былай жазады: Р (шарт) → Q (қорытынды). Ал теореманы дәлелдеу дегеніміз Р шартты ақиқат деп алып, Q қорытындының ақиқаттығын логикалық жолмен көрсету. Теоремалар тура, кері, қарама - қарсы және кері теоремаға қарама – қарсы теорема түрінде кездеседі. Алғашқы теореманы тура теорема (Р↔Q) деп алсаң, онда берілген теоремаға кері теорема деп тура теореманың шартын қорытындысымен, ал қорытындысын шартымен ауыстырудан шыққан теореманы айтамыз (Q→P). Тура теоремаға қарама–қарсы теорема деп оның шарты мен қорытындысын тікелей бекерге шығарудан алынған теорема (P Q). Қарама–қарсы теоремаға кері теорема деп оның шарты мен қорытындысын бекерге шығарудан алынған теореманы айтамыз (Q P) . Жалпы алғанда, тура теорема дұрыс болғанда, оған кері теорема мен қарама–қарсы теорема әрдайым дұрыс бола бермейді. Келтірілген мысалда, тура теорема дұрыс та кері теорема жалған. Шынында, тік төртбұрыштың диагональдары тең. Бірақ ол тең бүйірлі трапеция емес. Сондай–ақ мысалдағы қарама–қарсы теорема да жалған, өйткені тік төртбұрыш тең бүйірлі трапеция бола алмайды, бірақ оның диагональдары тең. Ал кері теоремаға қарама–қарсы теорема әрдайым тура теоремамен мәндес болады. Осы сияқты, кері теорема мен қарама–қарсы теорема да мәндес болады. Кері және қарама–қарсы теоремаларды дәлелдеудің маңызы зор. Сондай–ақ олардың дәлелдеуін игерудің мәні ерекше. Біз кері теореманы дәлелдеудің әр түрлі әдістеріне мысалдар келтірейік. Тура теорема. Егер шеңбердің екі хордасы тең болса, онда олар керетін доғалары да тең болады. Кері теорема. Егер шеңбердің екі доғасы тең болса, онда олар керетін хордалары да тең болады. Қарсы жору әдісі теоремаларды дәлелдеуге жиі қолданылатындықтан, оны кейінірек мүмкіндігінше жете қарастырамыз. Теореманы дәлелдеудің бұл әдісі үш сатыдан тұрады:1.Теореманы дәлелдегенде оның қорытындысын бекерге шығарамыз, яғни дәлелдеуді талап ететін байламдарға қарсы ұйғарамыз (біздің мысалда доғаларды керетін хордалар тең емес).2.Қабылданған ұйғаруға байланысты логикалық дұрыс ой қорытулар жасай отырып, соңында қайшылыққа келеміз (мысалда кесінді өзінің бөлігіне тең).3.Логикалық дұрыс талдау жасағанмен қайшылыққа келеміз, олай болса, біздің ұйғаруымыз дұрыс емес деп байлам жасаймыз. Теоремаларды дәлелдегенде оқушыларды дәлелдеу әдістеріне төсілдіріп, оны есеп шығарғанда, басқа пәндерді оқығанда, ойлану үрдісіне пайдалануға үйрету мақсатын көздейміз. Олай болса, мұғалім оқушыларға теоремаларды дәлелдеуді үйретуге көңіл бөлуі керек. «Дәлелдеу дегеніміз ақиқат пайымдауларға негізделген ой қорыту және болжамдарға сүйеніп дәлелдемелік пайымдаулар» деген болатын Платон.Теореманың ішінде шарты және қорытындысы болады. Шартынан не берілгенін, ал қорытындысынан не дәлелдеу керек екенін білуге болады. Теорема «егер» деген сөзбен басталса, «онда» деген сөзге дейінгі – оның шарты, ал онда деген сөзден аяғына дейінгі – қорытындысы. Бірақ кейбір теоремалардың шарты мен қорытындысын оқушылар айыра алмайды. Мұндай жағдайда оқушыларға мұғалім көмектесіп үйретуі керек. Оқушыларға теореманы дәлелдей білуді үйрету үшін мұғалім алғашқы теоремадан бастап төмендегідей жұмыстар жүргізу керек: а) оқушыларды өз бетімен жұмыс істеуге үйрету; ә) әуелгі кезде оқушылардың интуициясын, өмірде көрген білгендерін, көрнекіліктерді кең түрде пайдаланып, біртіндеп логикалық дәлелдеуді үйрете беру; б) теоремалардың өмірде қолданылатын орындарын көрсетіп, практикалық жұмыстар жүргізу; в) теореманы қолданып шешілетін есептер арқылы оқушыларды пәнге қызықтыру. Оқушылардың ойлауын үзбей жүйелі түрде баяндап беру тәжірибесі және әрбір айтылған ойын толық дәлелдеп берерліктей дағдысы болмағандықтан теореманы дәлелдеу алғашқы кездері қиынға түседі. Теореманы дәлелдеу үрдісінде әрбір сөзге мән беру керек. Теореманы логикалық жолмен дәлелдегенде белгісізден бастап белгіліге қарай көшеміз, мұнда әрбір қадам жасауға толық дәлел келтіріледі және ол сапалы түрде орындалады. Синтез әдісімен теореманы дәлелдегенде біртіндеп белгіліден белгісізге көшеміз, элементар геометрияда теоремалардың көпшілігі осылайша дәлелденеді. Теореманы қарсы жорып дәлелдеу әдісі. Қарсы жорып дәлелдеу әдісі математикада қолданылады, сондықтан оған VI сыныптан бастап үйрету керек. Бұл әдісті қолданып теорема дәлелдегенде оқушыларға мынадай қиыншылықтар кездеседі: а) белгілі дәлелдерді пайдалана отырып тура жолмен дәлелдеуге үйренген оқушыларға, қарсы жорып дәлелдеу түсініксіз болады; б) көзбе – көз дұрыс емес деп (әсіресе сызба теріс сызылғанда) ұйғарудың қандай қажеттігі бар екендігі оқушыларға түсініксіз болады. Егер дәлелдеу процесінде көрнекті құрал ретінде қағаздан немесе картоннан жасалған тең екі үшбұрышты қолдансақ, онда олар оқушылардың ойлағанындай бірімен–бірі беттесе кетеді де беттестіру тәсілінің қыр–сыры оқушыларға байқалмайды. Сондықтан дәлелдегенде екі үшбұрыш алып, мынандай жағдайларды қарастырған жөн: а) қабырғалары да, бұрыштары да тең емес кез–келген екі үшбұрыш аламыз. Үшбұрыштардың ешбір тең элементтері болмаса да, олардың бір төбелері мен қабырғаларын бірінің үстіне бірі келетіндей етіп беттестіруге болады, бірақ үшбұрыштардың басқа элементтерінің біріне–бірінің дәл келмеуі бізге байланысты емес; б) егер екі үшбұрыштың біреуінің бір қабырғасы мен іргелес бір бұрышы, екіншісінің сәйкес бір қабырғасы мен іргелес бір бұрышына тең болса, онда сол тең бұрыштарды жасайтын сәйкес екінші қабырғалары, тең болмаса да, үшбұрыштарды беттестіргенде бірінің бойына бірі келеді, бірақ үшінші сәйкес төбелері бір – біріне дәл келмейді. Сөйтіп, үшбұрыштарға беттестіру тәсілін қолданғанда олардың сәйкес қабырғаларының бірі екіншісінің бойына келуі бұрыштарға, ал олардың төбелерінің біріне–бірінің дәл келуі қабырғалардың ұзындықтарына байланысты екендігін, көрнекі құралдар арқылы оқушыларға жақсы түсіндіру керек. жүктеу/скачать 117.77 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|