Алгебра логики высказываний Основные понятия


Представление произвольной логической функции в виде формулы алгебры логики



бет3/7
Дата17.06.2016
өлшемі0.9 Mb.
#143069
1   2   3   4   5   6   7

Представление произвольной логической функции в виде формулы алгебры логики

Пусть с помощью таблицы истинности задана произвольная функция алгебры логики n переменных F(x1, x2, …, xn). Рассмотрим формулу:



F(1, 1, …, 1)  x1x2  …  xn

F(1, 1, …, 1, 0)  x1x2  …  xn-1   xn  (1)

F(1, 1, …, 0, 1)  x1x2  …   xn-1xn

F(0, 0, …, 0)   x1   x2  …   xn

которая составлена следующим образом: каждое слагае­мое этой логической суммы представляет собой конъюн­кцию, в которой первый член является значением функ­ции F при некоторых определенных значениях ее перемен­ных, остальные же члены конъюнкции пред­ставляют собой сами переменные или их отрицания. При этом под знаком отрицания находятся те и только те пере­менные, которые в первом члене конъюнкции имеют зна­чение 0.

Ясно, что формула (1) полностью определяет функ­цию F. Иначе говоря, значения функции F и формулы (1) совпадают на всех наборах значений пере­менных xi. Например, если x1 принимает значение 0, а осталь­ные переменные принимают значение 1, то функция F принимает значение F(0, 1, 1, …, 1). При этом логическое слагаемое F(0, 1, …, 1)   x1x2  …  xn = F(0, 1, …, 1)   0  1  …  1, входящее в форму­лу (1), принимает также значение F(0, l,..., l), а все ос­тальные логические слагаемые формулы (1) имеют зна­чение 0. Действительно, в них знаки отрицания перед переменными распределяются иначе, чем в рассмотрен­ном слагаемом. Таким образом, при подстановке вместо переменных тех же значений в конъюнкцию войдет символ 0 без знака от­рицания, а символ 1 под знаком отрицания. В таком слу­чае один из членов конъюнкции будет иметь значение 0, и по­этому вся конъюнкция также будет иметь значение 0. В связи с этим на основании закона x  0 = x значением фор­мулы (1) является F(0, l,..., l).

Ясно, что вид формулы (1) может быть значительно упрощен, если в ней отбросить те логические слагаемые, в которых первый член конъюнкции имеет значение 0 (и, следовательно, вся конъюнкция имеет значение 0). Если же в логическом слагаемом первый член конъюнк­ции (то есть определенное значение функции F) имеет значение 1, то, пользуясь законом 1  х = x, этот член конъюнкции можно не выписывать.

Таким образом, в результате получается формула (1), которая содержит только элементарные переменные выс­казывания и обладает следующими свойствами:



  • каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x1, x2, …, xn),

  • все логические слагаемые формулы различны,

  • ни одно логическое слагаемое формулы не содер­жит одновременно переменную и ее отрицание,

  • ни одно логическое слагаемое формулы не содер­жит одну и ту же переменную дважды,

Перечисленные свойства будем называть свойства­ми совершенства или, коротко, свойствами. Из приведенных рассуждений видно, что каждой не тождественно ложной функции соответствует единствен­ная формула указанного вида.

Если функция F(x1, x2, …, xn) задана таблицей ис­тинности, то соответствующая ей формула алгебры ло­гики может быть получена просто. Действительно, для каждого набора значений переменных, на котором фун­кция F(x1, x2, …, xn) принимает значение 1, записывается конъюнкция элементарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции хk, если значение xk на ука­занном наборе значений переменных фун­кции F есть 1 и  х, если значение xk есть 0. Дизъюнкция всех записан­ных конъюнкций и будет искомой формулой.



Пусть, например, функция F(x1, x2, x3) имеет следу­ющую таблицу истинности:

x1

X2

x3

F(x1, x2, x3)

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

Для наборов значений переменных (1, 1, 0), (1,0,1), (0,1,0), (0, 0, 0), на которых функция принимает значение 1, запишем конъюнкции x1x2   x3, x1   x2x3,  x1x2   x3,  x1   x2   x3. а искомая формула, обладающая свойствами совершенства, будет иметь вид:

x1x2   x3x1   x2x3   x1x2   x3   x1   x2   x3.



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет