Бертран Рассел. Человеческое познание его сферы и границы
жүктеу/скачать 2.71 Mb.
|
| Шанс, что мы выбрали сумку, в которой все шары белые, есть отношение числа случаев получения 4 белых шаров из этой сумки ко всему числу случаев получения 4 белых шаров. Первых, как мы видели, 70; вторых 1+5+15+35+70, то есть 126. Следовательно, шанс равен 70/126, то есть 5/9.
Оба эти результата согласуются с формулой Лапласа. Возьмем еще один числовой пример: допустим, что имеется 10 шаров, из которых 5 было вынуто, причем они оказались белыми. Каков шанс р10, то есть того, что мы выбрали сумку с одними белыми шарами? И каков шанс, что следующий шар будет белым? P5 возможно в 1 случае; если р5, то ни одного случая следующего белого, 5 случаев следующего черного; P6 возможно в 6 случаях; если р6, то 1 случай следующего белого, 4 случая черного; P7 возможно в 21 случае; если р7, то 2 случая следующего белого, 3 случая черного; P8 возможно в 56 случаях; если P8, то 3 случая следующего белого, 2 случая черного; P9 возможно в 126 случаях; если P9, то 4 случая следующего белого, 1 случай черного; P10 возможно в 252 случаях; если P10, то 5 случаев следующего белого, 0 случаев черного. Таким образом, шанс р10 равен 252 (1+6+21+56+126+ +252), то есть 252/462, то есть 6/11. Случаи, когда следующий шар может быть белым, составляют 6+21 * 2+56 * 3+126 * 4+252 * 5, то есть 1980, а случаи, когда он может быть черным, составляют 5+4 * 6+3 * 21+2 * 56+126, то есть 330. Следовательно, разница в пользу белого составляет отношение 1980 к 330, то есть 6 к 1, так что шанс получения следующего белого равен 6/7. Это тоже находится в согласии с формулой Лапласа. Возьмем теперь закон больших чисел Бернулли. Мы можем иллюстрировать его следующим образом. Допустим, что мы бросаем монету n раз и пишем 1 всякий раз, кода выпадает ее лицевая сторона, и 2 — всякий раз, когда она выпадает оборотной стороной, образуя, таким образом число из n-го количества однозначных чисел. Предположим, что каждая возможная последовательность выпадает только один раз. Таким образом, если n = 2, то мы получим четыре числа: 11, 12, 21, 22; если n =3, то мы получим 8 чисел: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222; если n=4, мы получим 16 чисел: 1111, 1112, 1121, 1122, 1212, 1221, 1222, 2111, 2112, 2121, 2122, 2211, 2221, 2222 и так далее Беря последнее из вышеприведенного перечня, мы находим: 1 число со всеми единицами, 4 числа с тремя единицами и одной двойкой, 6 чисел с двумя единицами и двумя двойками, 4 числа с одной единицей и тремя двойками, t число со всеми двойками. Эти числа — 1, 4, 6, 4, 1 — являются коэффициентами в разложении бинома (а + b)4. Легко доказать, что для n однозначных чисел соответствующие числа являются коэффициентами в разложении бинома (о + b)n. Теорема Бернулли сводится к тому, что если n является большим, то сумма коэффициентов около середины будет почти равна сумме всех коэффициентов (которая равна 2n), Таким образом, если мы возьмем все возможные последовательности выпадения лицевой и оборотной сторон в большом числе бросаний, то огромное большинство их будет иметь почти одинаковое число у обеих (то есть у лицевой и оборотной сторон); это большинство и приближение к полному равенству будет, кроме того, неопределенно увеличиваться по мере того, как будет увеличиваться число бросаний. Хотя теорема Бернулли и является более общей и более точной, чем вышеприведенные положения с равно вероятными альтернативами, на все-таки должна интерпретироваться, согласно нашему настоящему определению "вероятности", способом, аналогичным вышеприведенному. Является фактом, что если мы составим все числа, которые состоят из 100 знаков, каждый из которых есть или 1, или 2, то около четверти из них будут иметь 49, или 50, или 51 знак, равный 1, почти половина будет иметь 48, или 49, или 50, или 51, или-52 знака, равных 1, более половины будет иметь от 47 до 53 знаков, равных 1, и около трех четвертей будет иметь от 46 до 54 знаков. По мере того как число знаков будет увеличиваться, будет возрастать и преобладание случаев, в которых единицы и двойки будут почти полностью уравновешиваться. Вопрос, почему этот чисто логический факт должен рассматриваться как дающий нам хорошее основание ожидать, что, если мы бросим монету очень много раз, мы действительно получим приблизительно равное число выпадений ее лицевой и оборотной сторон, является совершенно другим вопросом, включающим в себя в дополнение к логическим законам законы природы. Я упоминаю об этом только для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что я сейчас не рассматриваю этого. Я хочу подчеркнуть то, что в вышеприведенной интерпретации нет ничего касающегося возможности и ничего, что по существу дела предполагает незнание. Здесь дается только исчисление членов класса В и определение того, какая их пропорция принадлежит также и к классу А. Иногда утверждают, что мы нуждаемся в аксиоме равновероятности, например, в аксиоме, что выпадение лицевой и оборотной сторон монеты равновероятно. Если это значит, что в действительности они выпадают с приблизительно равной частотой, то это предположение не является необходимым для математической теории, которая как таковая не имеет дела с действительными событиями. Рассмотрим теперь возможные применения определения конечной частоты к случаям вероятности, которые могут казаться стоящими вне ее. Во-первых, при каких условиях можно распространить это определение на бесконечные совокупности? Поскольку мы определили вероятность как дробь, а дроби не имеют смысла, когда числитель и знаменатель бесконечны, постольку наше определение можно расширить только в том случае, когда имеются какие-то средства перейти к пределу. Это требует, чтобы все о, в отношении которых мы должны установить вероятность того, что они суть b, представляли бы собой последовательность, являющуюся на деле рядом (progression), так чтобы они были даны как а1, a2, a3, ... an, где для каждого конечного целого числа n существовало бы соответствующее an, и наоборот. Мы можем тогда обозначить через "Pn" пропорцию всех а до an, включительно, которые принадлежат b. Если, по мере того, как n увеличивается, pn стремится к пределу, то мы можем определить этот предел как вероятность того, что a будет b. Этот предел зависит от порядка следования всех о и поэтому является пределом их как последовательности, а не как класса. Мы должны, однако, отличать случай, в котором значение Pn как бы колеблется около своего предела, от случая, в котором оно стремится к пределу только с одной стороны. Если мы многократно бросаем монету, то число выпадений лицевой стороны будет иногда больше половины всех бросаний, а иногда меньше; таким образом, pn как бы колеблется около предела 1/2. Но если мы возьмем пропорцию простых чисел до n (среди всех чисел меньших), то она стремится к пределу нуль только с одной стороны: для любого конечного n величина pn есть определенная положительная дробь, которая для больших значений n приблизительно равна 1/1п n. Однако 1/1n n стремится к нулю по мере того, как n бесконечно возрастает. Таким образом, пропорция простых чисел стремится к нулю, но мы не можем сказать, что "ни одно целое число не является простым"; мы можем сказать, что шанс того, что целое число будет простым числом, является бесконечно малым, но не нулем. Ясно, что шанс того, что целое число будет простым, будет больше, чем шанс того, что оно будет, скажем, и четным и нечетным, хотя этот шанс меньше, чем любая конечная дробь, как бы мала она ни была. Я сказал бы, что когда шанс, что некое о есть b, равняется нулю, мы можем сделать вывод, что "ни одно а не есть b", но когда этот шанс бесконечно мал, мы не можем сделать такого вывода. Следует заметить, что если мы только не делаем какого-либо предположения о ходе вещей в природе, мы не можем использовать этот метод стремления к пределу, когда имеем дело с последовательностью, которая определена эмпирически. Например, если мы многократно бросаем данную монету и обнаруживаем, что число выпадении лицевой стороны — по мере того как мы продолжаем бросание — непрерывно стремится к пределу 1/2, то это не уполномочивает нас делать предположение, что таковым действительно стал бы этот предел, если бы мы смогли сделать нашу последовательность бросаний бесконечной. Может, например, быть, что если n есть число бросаний, то пропорция выпадении лицевой стороны приближается не строго к 1/2, а к где N есть число гораздо большее, чем то, которого мы можем достичь в действительном эксперименте. В этом случае наши индукции становились бы эмпирически фальсифицированными как раз тогда, когда мы думали бы, что они прочно установлены. Или опять-таки с любой эмпирической последовательностью могло бы случиться, что через некоторое время она перестала бы подчиняться закону и перестала бы в каком бы то ни было смысл стремиться к пределу. Если в таком случае вышеприведенное распространение нашего определения на бесконечные последовательности нужно применить к эмпирическим последовательностям, то мы должны будем ввести какую-то индуктивную аксиому. Без этого нет основания ожидать, что более поздние части такой последовательности будут продолжать подчиняться тому закону, которому подчиняются более ранние ее части. В обычных эмпирических суждениях вероятности, таких, например, которые содержатся в прогнозах погоды, имеется смесь различных элементов, которые важно отделить друг от друга. Самым простым предположением — чрезмерно упрощенным здесь для целей иллюстрации — является предположение на основе наблюдения какого-либо симптома, который, скажем, в девяноста процентах случаев, в которых он прежде наблюдался, сопровождался дождем. В этом случае, если бы индуктивные аргументы были столь же бесспорны, как и дедуктивные, мы сказали бы, что "имеется девяностопроцентная вероятность дождя". Это значит, что настоящий момент относится к определенному классу (классу моментов, когда вышеупомянутый симптом налицо), девяносто процентов членов которого являются моментами, предшествующими дождю. Это вероятность в уже разобранном нами математическом смысле. Но не только это делает нас неуверенными в отношении наступления дождя. Мы не уверены также и в отношении бесспорности самого вывода; мы не чувствуем уверенности в том, что за этим симптомом будет в будущем следовать дождь в девяти случаях из десяти. И это сомнение может быть двух видов — научным и философским. Сохраняя в общем полное доверие к методам науки, мы можем чувствовать, что в этом случае слишком мало данных, чтобы обеспечить индукцию, или что не проявлено достаточной заботы для элиминирования других обстоятельств, которые также могут быть налицо и могут быть более неизменными предшественниками дождя. Кроме того, записи могут быть сомнительными: они могли быть испорчены дождем и стать недоступными, для расшифровки или могли быть сделаны человеком, о котором вскоре после этого стало известно, что он ненормален. Такие сомнения относятся к научным методам, но существуют также сомнения, выдвинутые Юмом: является ли индуктивный метод действительным или только удобной для нас привычкой? Все или любое из этик оснований могут заставить нас колебаться в отношении девяностопроцентного шанса дождя, в который наши свидетельства склоняют нас верить. В случаях такого рода мы имеем иерархию вероятностей. Первая ступень: вероятно, будет дождь. Вторая ступень: вероятно, симптомы, которые я заметил, являются признаками вероятного дождя. Третья ступень: вероятно, определенного рода события делают определенные будущие события вероятными. Из этих трех ступеней первая характеризует обыденный здравый смысл, вторая есть уровень науки и третья — философии. На первой ступени мы наблюдали, что до сего времени в девяти случаях из десяти за А следовало В; в прошлом, следовательно, А делало В вероятным в смысле конечной частоты. На этой стадии мы без размышления предполагаем, что мы можем ожидать это же самое и в будущем. На второй ступени, не ставя под вопрос общую возможность выведения будущего из настоящего, мы сознаем, что такие выводы должны подчиняться определенным гарантиям, таким, например, как гарантии четырех методов Милля. Мы сознаем, также, что индукции, даже когда они осуществляются в соответствии с наилучшими правилами, не всегда подтверждаются. Но я думаю, что наши действия все же могут быть включены в сферу теории конечной частоты. Мы осуществили в прошлом какое-то количество индукций, одних более, других менее тщательно. Из осуществленных в соответствии с определенной процедурой пропорция P до сих пор подтверждалась; следовательно, эта процедура до сего времени сообщала вероятность p тем индукциям, которые ома санкционировала. Научный метод в значительной мере состоит из правил, посредством которых p (испытанное прошлыми результатами прошлых индукций) может быть больше приближено к 1. Все это находится все еще в пределах теории конечной частоты, но теперь уже только индукции являются единственными членами в нашей оценке частоты. Это значит, что мы имеет два класса A и B, из которых A состоит из индукций, которые были осуществлены в соответствии с определенными правилами, а В состоит из индукций, которые до сего времени подтверждались опытом. Если n есть число членов A, а m есть число членов, общих для A и B, тогда m/n есть шанс, что индукция, осуществленная в соответствии с вышеупомянутыми правилами, приведет в настоящее время к результатам, которые оказались бы истинными, если бы могли быть проверены. Говоря это, мы не пользуемся индукцией; мы просто описываем черты естественного порядка вещей, поскольку его наблюдали. Мы, однако, нашли критерий высокого качества (до сего времени) всякого предлагаемого правила научной процедуры и нашли его в пределах конечной частоты. Единственно новое есть то, что наши единицы теперь являются не единичными событиями, а индукциями. Индукции трактуются как события, и только те из них, которые действительно имели место, должны рассматриваться, как члены нашего класса. Но как только мы начинаем доказывать или то, что какая-либо отдельная индукция, которая к настоящему времени подтвердилась, будет или вероятно будет подтверждена в будущем, или то, что правила процедуры, дававшие до сих пор большую пропорцию индукций, которые к настоящему времени были подтверждены, способны давать большую пропорцию подтвержденных индукций в будущем, мы выходим за пределы теории конечной частоты, поскольку мы здесь имеем дело с классами, члены которых неизвестны. Математическая теория вероятности, как и вся чистая математика, хотя и дает знание, не даст (по крайней мере в одном весьма важном смысле) чего-либо нового; индукция же, напротив, определенно дает что-то новое, и сомнение касается только того, является ли то, что она дает, знанием. Я пока не хочу исследовать индукцию критически, я хочу только выяснить, что она не может быть введена в сферу теории конечной частоты, даже если мы будем рассматривать отдельную индукцию как одну из класса индукций, поскольку проверенные индукции могут давать только индуктивное свидетельство в пользу еще не проверенной индукции. Если затем мы скажем, что принцип, оправдывающий индукцию, является "вероятным", то мы должны употреблять слово "вероятный" в ином смысле, чем оно употребляется в теории конечной частоты; этот смысл должен — как я сказал бы — быть тем, что мы называли "степенью правдоподобия". Я склонен думать, что если признать индукцию или любой другой постулат, который мы решим поставить вместо нее, то все точные и измеримые вероятности могут быть интерпретированы как конечные частоты. Допустим, что я, например, говорю, что "имеется высокая степень вероятности, что Зороастр существовал". Чтобы обосновать это утверждение, я должен буду рассмотреть сначала, каковы относящиеся к этому вопросу свидетельства, а затем поискать подобные свидетельства, о которых известно, что они правдивы или неверны. Класс, от которого зависит вероятность, не является классом пророков существующих и несуществующих, ибо, включая несуществующих, мы делаем этот класс до некоторой степени неопределенным; не может этот класс быть также классом только существующих пророков, поскольку исходным вопросом как раз и является вопрос, принадлежит ли Зороастр к этому классу. Мы должны будем рассуждать следующим образом: в случае вопроса о Зороастре имеется свидетельство, принадлежащее к определенному классу А; мы находим что из всех свидетельств, которые принадлежат к этому классу и которые могут быть проверены, отношение p оказывается правдивым свидетельством; мы, следовательно, может сделать индуктивный вывод, что есть вероятность p в пользу подобных свидетельств в случае Зороастра. Таким образом, частота плюс индукция оказываются достаточными для этого использования вероятности. Или допустим, что, подобно епископу Батлеру, мы говорим: "Вероятно, что вселенная является результатом замысла Создателя" Здесь мы начинаем с таких вспомогательных аргументов, как аргумент, что создание часов предполагает часового мастера. Имеется множество образцов часов, о которых известно, что они сделаны часовыми мастерами, и нет ни одних часов, о которых было бы известно, что они сделаны не часовым мастером. В Китае существует вид мрамора, который иногда чисто случайно производит впечатление картины, созданной художником; я видел поразительные примеры этого. Но это бывает так редко, что, когда мы видим картину, мы бываем правы (допуская индукцию), делая с очень высокой степенью вероятности вывод о создавшем ее художнике. Епископу-логику остается — как он и подчеркивает это заглавием своей книги — доказать эту аналогию. Это может считаться сомнительным делом, но, конечно, не может быть подведено под математическую вероятность. Пока, следовательно, может казаться, что сомнительность и математическая вероятность — последняя в смысле конечной частоты — являются единственными понятиями, необходимыми в добавление к законам природы и правилам логики. Это заключение, однако, является только предварительным. Нельзя сказать ничего окончательного, пока мы не рассмотрим некоторые другие предложенные определения "вероятности". ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ ЧАСТОТЫ МИЗЕСА-РЕЙХЕНБАХА. Частотная интерпретация вероятности в форме, отличающейся от интерпретации, данной в предшествующей главе, была развита в двух имеющих большое значение книгах германских профессоров, которые жили тогда в Константинополе. Труд Рейхенбаха является развитием труда Мизеса и в различных отношениях лучшей формулировкой той же самой теории. Я поэтому ограничусь рассмотрением теории Рейхенбаха. Изложив аксиомы исчисления вероятности, Рейхенбах предлагает далее интерпретацию, которая, по-видимому, внушена статистическими корреляциями. Он исходит из допущения двух последовательностей (x1, х2, ... , xn...), (y1, y2, .... Уn...) и двух классов О и p. Некоторые или все х принадлежат к классу O; его интересует вопрос: как часто соответствующие у принадлежат к классу P? Допустим, например, что вы исследуете вопрос, предрасположен ли мужчина к самоубийству вследствие того, что он имеет сварливую жену. В этом случае x обозначает жен, а у - мужей, класс О состоит из сварливых женщин, а класс p — из самоубийц. Тогда при том, что жена принадлежит к классу О, наш вопрос заключается в следующем: как часто ее муж принадлежит к классу p? Рассмотрим отрезки двух последовательностей, состоящие из первых n членов каждой последовательности. Допустим, что среди первых n членов х имеется a членов, принадлежащих к классу О, и допустим, что из них имеется b членов, таких, что соответствуют у и принадлежат к классу p; соответствующий у есть член с тем же самым индексом. Тогда мы говорим, что во всем отрезке от х1 до Xn "относительная частота" О и P есть b/а. Если все х принадлежат к классу О, то а=n и относительная частота есть b/n. Обозначим эту относительную частоту выражением "Hn (О, p)". Теперь перейдем к определению "вероятности p при данном О", которую мы обозначим как "W(0, p)". Определение следующее: W (О, p) есть предел Нn(0, p), по мере того как n неограниченно увеличивается. Это определение может быть значительно упрощено с помощью небольшого использования математической логики. Во-первых, нет необходимости иметь две последовательности, так как предполагается, что обе являются рядами (progressions) и имеется, следовательно, взаимно-однозначное соответствие их членов. Если это соответствие есть S, то сказать, что определенный член у принадлежит к классу p, равнозначно тому, что сказать, что соответствующий х принадлежит к классу членов, имеющих отношение S к тому или другому из членов P. Например, пусть S есть отношение жены к мужу, тогда если у есть женатый мужчина, ax — его жена, то утверждение, что у есть правительственный чиновник, является истинным, и только в том случае, если х есть жена правительственного чиновника. Во-вторых, нет никакого преимущества в принятии случая, в котором не все х принадлежат к классу О. Определение применимо только в том случае, если бесконечное число членов х принадлежит к классу О, в этом случае те х, которые принадлежат к О, образуют ряд, а остальные могут быть отброшены. Таким образом, мы удержим все существенное в определении Рейхенбаха, если подставим следующее. Пусть О будет рядом, а a каким-либо классом, из числа членов которого в важных случаях имеются члены, которые в последовательности О являются последующими за любым данным членом. Пусть m будет число членов а среди первых n членов О. Тогда W(О, а) определяется как предел m/n, когда n неограниченно возрастает. Возможно, по недосмотру Рейхенбах говорит, как если бы понятие вероятности было применимо только к бесконечным рядам и не было применимо к конечным класса. Я не могу думать, что он имел это в виду. Человеческая раса, например, есть конечный класс, и мы хотим применить вероятность к статистике жизни, что было бы невозможно согласно букве определения. Психологически, когда Рейхенбах говорит о пределе для n-бесконечности, он думает о предел как некотором числе, к которому легко приблизиться всякий раз, когда n с эмпирической точки зрения является большим, то есть когда оно недалеко от того максимума, который наши средства наблюдения позволяют нам достичь. У него есть аксиома или постулат о том, что, когда есть такое число для каждого большого доступного наблюдению n, оно приблизительно равно пределу для n-бесконечности. Это нелепая аксиома не только потому, что она произвольна, но и потому, что большинство рядов, с которыми нам приходится иметь дело вне чистой математики не являются бесконечными; в самом деле, можно сомневаться, являются ли таковыми какие-либо из них. Мы привыкли считать пространство-время непрерывным, что предполагает существование бесконечных рядов; но это предположение не имеет иного основания, кроме математического удобства. Для того чтобы сделать теорию Рейхенбаха насколько возможно более адекватной, я буду исходить из того, что там, где речь идет о конечных классах, должно быть сохранено определение, данное в предшествующей главе, и что новое определение имеет целью только расширение, позволяющее нам применять вероятность к бесконечным классам. Таким образом, его Нn(0, p) будет вероятностью, но приложимой только к первым n членам ряда. То, что Рейхенбах постулирует в качестве своей формы индукции, есть нечто вроде следующего. Допустим, что мы сделали N наблюдений в отношении корреляции О и p, так что мы в состоянии вычислить Нn (О, p) для всех значений n до n=N, и допустим, что во всей последней половине значений n вероятность Hn(О, p) всегда отличается от определенной дроби p меньше, чем на е, где e — мало. Тогда мы утверждаем, что, сколько бы мы ни увеличивали n, вероятность Нn(0, p) будет все-таки находиться в этих узких границах, и, следовательно, W (О, p), являющееся пределом для n-бесконечности, будет также лежать в этих границах. Без этого допущения мы не можем иметь эмпирического свидетельства в отношении предела для n-бесконечности, и вероятности, для которых, определение специально предназначено, должны оставаться неизвестными. В защиту теории Рейхенбаха перед лицом вышеупомянутых затруднений можно высказать два соображения. Во-первых, он может утверждать, что нет необходимости предполагать, что n беспредельно стремится к бесконечности; для всех практических целей достаточно, если n будет очень большим. Допустим, например, что мы занимаемся статистикой жизни. Для страховой компании не имеет значения, что произойдет со статистикой, если она будет продолжена на следующие десять тысяч лет; ее могут касаться самое большее следующие сто лет. Если, собрав статистические данные, мы предполагаем, что частоты останутся приблизительно теми же самыми даже тогда, когда мы соберем в десять раз больше данных, чем мы собрали, то этого будет достаточно почти для всех практических целей. Рейхенбах может сказать, что, когда он говорит о бесконечности, он пользуется удобной математической стенографией, имея в виду только "гораздо больше, чем мы до сих пор исследовали". Он может сказать, что этот случай совершенно аналогичен случаю эмпирического определения скорости. Теоретически скорость может быть определена только, если нет предела малости измеряемых отрезков пространства и времени; в практике, поскольку такой предел имеется, мгновенная скорость никогда не может быть известна даже приблизительно. Правда, мы можем узнать с достаточно большой точностью среднюю скорость на протяжении короткого промежутка времени. Но даже если мы предположим постулат непрерывности, средняя скорость на протяжении, скажем, секунды не дает абсолютно никакого указания на мгновенную скорость в данный момент в интервале этой секунды. Все движение может состоять из периодов покоя, разделенных моментами бесконечно большой скорости. Но даже и помимо этой крайней гипотезы и даже если мы допустим непрерывность в математическом смысле, любая конечная мгновенная скорость несовместима с какой-либо конечной средней скоростью на протяжении конечного интервала времени — как бы он короток ни был, — содержащего этот момент. Для практических целей, однако, это не имеет значения. За исключением таких немногих явлений, как взрывы, если мы принимаем мгновенную скорость в любой момент на протяжении очень короткого измеримого интервала времени как приблизительно среднюю скорость в течение этого интервала, то законы физики оправдываются. "Мгновенная скорость" поэтому может рассматриваться не иначе, как удобная математическая фикция. жүктеу/скачать 2.71 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|