Биноминалдық коэффициенттердің арифметикалық қасиеттері



жүктеу 198.6 Kb.
Дата11.07.2016
өлшемі198.6 Kb.
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ

МИНИСТРЛІГІ

ЖЕЗҚАЗҒАН ҚАЛАСЫ №13 ОРТА МЕКТЕБІ

Биноминалдық коэффициенттердің арифметикалық қасиеттері

Дайындаған: Мұхамеджанов Айтжан

9-сынып оқушысы

Секция: « Дарын »

Бағыты: Жаратылыстану математика

бағыты


Ғылыми жетекшісі:Серкебаева М.Қ

Жезқазған

2


Жоспар
Кіріспе 3
Негізгі бөлім 4
§1.Биноминальдық коэффициенттердің анықтамасы және қасиеті 4
§2.Биноминальдық коэффициенттердің жай санға бөлгендегі қалдығы 8
§3.Биноминальдық коэффициенттердің жай сандарға бөлгендегі 10

қалдықтар.


Қорытынды 12
Қолданылған әдебиеттер 13

3

Кіріспе
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 45 120 210 252 210 120 45 10

(1+x)¹=1+x

(1+x)²=1+2x+x²
Бұл формулаларды барлық мектеп оқушылары біледі. 1,2,1; 1,3,3,1
сандары және де осындай жолмен 4,5,... дәрежесінде алынған сандар
биноминальдық коэффициенттер деп аталады. Бұл ғылыми жұмыста
биноминальдық коэффициенттердің арифметикалық қасиеттері туралы
зерттелген. Ғылыми жұмыс 3 бөлімнен тұрады. Бірінші бөлімде
биноминальдық коэффициенттердің негізгі қасиеттері мен оны табу
формулалары келтірілсе, ал екінші бөлімде биноминальдық коэффициентті
кез-келген жай санға бөлгендегі қалатын қалдықтың оңай табу жолы туралы
айтылған. Биноминальдық коэффициенттердің қызықты қасиеттері үшінші
бөлімде айтылып кетеді .

4

§1.Биноминальдық коэффициенттердің анықтамасы және қасиеті.


1+х қос мүшесін бином деп аталады. Кез - келген n - натурал сан үшін
(1+х)n дәреже алгебралық көпмүше болады.
(1+х)0=1
(1+х)1=1+х
(1+х)2=1+2х+х2
(1+х)3=1+3х+3 х2 3
(1+х)4=1+4х+6х2+4х34
(1+х)5=1+5х+10х2+10х3+5х4 5
.....................................................
Осы көпмүшелердің коэффициенттері биноминальдық коэффициенттер
деп аталады. Олардың арнайы белгілеулері бар: (1+х)n көпмүшесінің хm
алдыңғысының коэффициенті Сnm белгіленеді.
Мысалы:С =2, С=6, С =10.
Сонымен
(1+х)n = С+ С x+ С x2 +...+ Сxn (1)
Осы формуладан келесі формуланы оңай алуға болады:
(а+х)n = Саn+ Саn-1 x+ С аn-2 x2 +...+ Сxn
Бұл формуланы Ньютон биномы деп атайды.





0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

5



3

1

3

3

1

0

0

0

0

0

0

0

4

1

4

6

4

1

0

0

0

0

0

0

5

1

5

10

10

5

1

0

0

0

0

0

6

1

6

15

20

15

6

1

0

0

0

0

7

1

7

21

35

35

21

7

1

0

0

0

8

1

8

28

70

70

55

28

8

1

0

0

9

1

9

36

84

126

126

84

36

9

7

0

10

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

Теорема1 (Паскаль тепе-теңдігі).


Кез-келген n , m натурал сандары үшін келесі теңдік орынды:
С + С (2)

Дәлелдеуі.

Анықтама бойынша С сандары (1+х)n көпмүшесінің хm мүшесінің


алдындағы коэффициенті болып табылады. Осы коэффициентті табу үшін
1+х қос мүшесін n рет өз-өзіне көбейтеміз.
Оларды n-1 рет көбейтіп келесі көпмүшені
1+ Сх+ С х2 +......+х n-1 аламыз.
Енді осы көпмүшені 1+х қос мүшесіне көбейтеміз, онда
(1+х)( 1+С х+ С С x2 +...х n-1 )= 1+С х+ Сx2 +...+х n-1 + х + С х2 +

С х3 +...+ х n =1+( С +1)х+( С + С2 +...+х n


Осы өрнектің хm алдындағы коэффициенті С + С санына тең.
Сонымен

С + С теорема дәлелденді.

6

Паскаль тепе-теңдігі биноминальдық коэффициенттерді есептеуде өте


пайдалы. Мысалы біз кестемізді бір жолға көбейтуіміз келсе ( он бірінші ),
онда біз жоғарғы жолдағы ( оныншы ) қатар тұрған сандарды қосу жеткілікті.
С = 1 С = С + С = 462
С = С + С = 11 С = С + С = 330

С = С + С = 55 С = С + С = 165


С = С + С= 165 С = С + С = 55
С = С + С = 330 С = С + С = 11
С= С + С = 462 С= С + С1010 =1
Және де Паскаль теңдігінің көмегімен n және m арқылы берілген С
өрнегінің жалпы формуласын табуға болады.
Теорема 2: (Биноминальдық коэффициенттердің формуласы).
Кез-келген n және m натурал сандары үшін келесі теңдік орындалады:

С = (3)


Дәлелдеуі.
Дәлелдеу үшін біз математикалық индукция әдісін қолданамыз. Егер n=1
болса, онда формула дұрыс:
С = =1

С =0 = мұндағы m > 1


Кез-келген сан үшін 7
С = (m =1,2,3,..) теңдігін дұрыс деп
алайық.Егер m > 1 болса,онда
С =+ =
∙(+1) = =
теңдігі орындалады.
Егерде m = 1 болса, онда
С= С = С = +1 =
Сонымен, n =1 үшін (3) формуласы орынды, және оның n-1 болғандағы
ақиқаттығынан оның n үшін де дұрыстығы шығады. Осыдан (3) формула кез-
келген n үшін дұрыс.

Теорема 3:


Егер n және m сандары өзара жай сан болса, онда С сандары n-ге
қалдықсыз бөлінеді.
Дәлелдеуі.
С= = =∙С


Осыдан mС = n С яғни m С саны n-ге бөлінеді. Ал n және m өзара
жай сандар болғандықтан, m - n-нің ешқандай жай бөлгіштеріне бөлінбейді,
ендеше С n-ге бөлінеді.

8

§2.Биноминальдық коэффициенттердің жай санға бөлгендегі қалдығы

Бұл тарауда « а және в сандарын р-ға бөлгендегі қалдықтары бірдей болады »
деген фразаны жиі қолданамыз. Негізінде бұларды қысқаша түрде « а ≡ в
( mod p ) » , басқаша айтқанда « а ≡ в ( mod p ) » формуласы а – в р-ға
бөлінетіндігін көрсетеді.
Мысалы: 4 ≡ 1 ( mod 3 ) , 9999 ≡ 2222 ( mod 7 ) және тағы басқалары.
≡ белгісінің екі айқын қасиеті бар:
1.Егер а ≡ в ( mod p ) және к бүтін сан болса, онда ка ≡ кв ( mod p ) .
Шынында да, егер а – в р-ға бөлінсе, онда ка – кв р-ға да бөлінеді.
2. Егер а ≡ в ( mod p ) және в ≡ с ( mod p ) болса, онда а ≡ с ( mod p ).
Шынында да, егер а – в р-ға бөлінсе және в – с р-ға бөлінсе , онда
а – с = - ( а – в ) + ( в – с ) да р-ға да бөлінеді.
Теорема 4:
р – жай сан , ал m,n - натурал сандар болсын. k,l – m,n сандарының р-ға
бөлгендегі толымсыз бөлінділері, ал s және t – қалдықтары болсын, ( яғни
n = lp + t , m = kp + s, мұндағы k,l,s,t – бүтін сандар, және 0 ≤ s < p,
0 ≤ t < p). Онда С = СС ( mod p )
Бұл теорема биноминалдық коэффициенттердің мәнін есептемей-ақ, оларды
жай санға бөлгендегі қалатын қалдығын табуға көмектеседі. Бұл теореманы
дәлелдеу үшін ең алдымен келесі үш лемманы дәлелдеу қажет.
Лемма 1: аk - bk =( а – b )( аk-1 + аk-2 b +...+аbk-2 + аbk-1 )

Дәлелдеуі: оң жақтағы көпмүшені көбейтіп қысқарту арқылы сол жақтағы



өрнекті аламыз. 9
Лемма 2: Егер р-жай сан және o < r < p болса, онда С р-ға қалдықсыз
бөлінеді. Бұл үш теоремадан шығады: р жай сан және r < p болғандықтан, р
және r сандары өзара жай сандар.
Лемма 3: ( 1 + х ) – ( 1+х ) көпмүшесі р-ға бөлінеді ( яғни бұл көпмүшенің
әрбір коэффициенті р-ға бөлінеді ).
Дәлелдеуі: Шынында да
( 1 + х ) – ( 1+х ) = 1+ Сх +...+ С х– 1–х = С х +...+ С х р-1
Соңғы өрнек лемма 2 бойынша р-ға бөлінеді.
Енді 4-ші теореманың дәлелдеуіне көшейік. Р(х) =(1+х) -(1+х)(1+х)
көпмүшесін қарастырайық.
Бұл көпмүше р-ға бөлінеді. Шынында да лемма 1 бойынша
Р(х)=(1+х)((1+х)-(1+х))=(1+х)((1+х)-(1+х))((1+х)+.+(1+х))
Лемма 3 бойынша екінші көбейткіш р-ға бөлінеді, ендеше олардың
көбейтіндісі де р-ға бөлінеді.
Анықтайтын хkp+1 коэффициенті Р(х)-тің коэффициенті. (1+х)tp+t –дағы хkp+s
коэффициенті С–тан шығады.
(1+х)t(1+х)t=(1+Сх+Сх2+...+хt)(1+Схpх2p+...+хpl)=1+Сх+Сх2+...+хt
хpСхp+1С х p+2+...+Сх p+tх2p+ ССх2p+1С х 2p+2+...+
х 2p+t+...+ хlp хlp+1 +C+хlp+t
t < p болғандықтан, онда соңғы шешімінде әрбір х-тің дәрежесі бірден артық
кездеспейді. хkp+s –тің коэффициенті СС , яғни егер s > t болса, онда ол

нөлге тең. 10

Сонымен, Р(х)-тегі хkp+s С – СС өрнегіне тең. Егер Р(х) рға
бөлінсе, онда С – СС да р-ға бөлінеді. Дәлелденді.

§3.Биноминальдық коэффициенттердің жай сандарға бөлгендегі қалдықтар.

Бұл тарауда қазірге дейін әлі анықталмаған қызық мәліметтер жазылған.


Кейбір қарапайым есептеулерден бастайық. Биноминальдық коэффициент-
тердің формуласын қолдана отыру:

С= 2


С= 6
С= 70
С= 12870
С= 601080390
Алынған сандар бір-біріне ұқсас емес. Бірақ та олардың қызықты қасиеті бар:
6 – 2 = 4 = 22
70 – 6 = 64 = 26

12870 – 70 = 12800 = 29 ∙ 25


601080390 – 12870 = 601067520 = 212 ∙146745
Біз бұл сандардың барлығы екіге бөлінетінін көріп тұрмыз. Өте үлкен, тіпті
олар кездейсоқ секілді.Бұған байланысты теореманы дәлелдеу әбден болады.

Теорема 5: 11


Егер n > 1 болса, онда аn = C − C 22- ге бөлінеді.

Ескертулер:


1.n > 1бар сөйлем 1 4-ке тең және 2= 24 = 16-ға бөліндісі қолданылады.
2. n > 1 болғандағы бn 23n -ге де бөлінетінін байқауға болады. Ол n = 2,3,4
болған жағдайларда орындалады.
Дәлел: Жалпы ескертулерден бастай отырып, егер r тақ сан болса, онда С
2n-ге бөлінетінін байқаймыз.Негізінде, r қаншалықты тақ сан болса, ал 2n
мән бермесе, 2-ден басқа жай сандар, онда r және 2n саны жай сан және бізге
үш теореманы қолдану керек.
Р(х) = (1+х)2n+1 - (1 – х2) 2n деп алайық. Р(х) көпмүшесі аn = C− C
Коэффициенті х2n -ді құрайды. Келесі жағынан қарасақ,
Р(х) = (1+х)2n +1 − (1+х)2n (1 – х) 2n = (1+х)2n ((1+х)2n − (1 – х) 2n )
Сол уақытта
(1+х)2n − (1 - х)2n =(1 + х) 2n − (1+(-х))2n =1+ Сх х 2 + Сх+...+х
1−С(-х)−С(-х)2−С(-х) −...− (-х) =2( Сх + Схх+...+Сх)
Шыққан көпмүше х-тің тақ сандарында орындалсын деп белгілейік.
Біз білетіндей С,...,С сандары 2n –ге бөлінеді. Сондықтан да
Жақшаның ішіндегі әрбір сан 2n ∙2n =2n -ге бөлінеді; онымен қоса 2 барлық
өрнектің алдыңда тұр және де әрбір өрнек жақшаның ішінде екі рет
кездеседі. Осы жолмен аn 2n+2 -ге бөлінеді. Дәлелденді.

12


ҚОРЫТЫНДЫ

Сонымен биноминальдық коэффициенттерді есептеу формуласы


Математиканың көптеген салаларында қолданылады. Мысалы, сандар
теориясы, ықтималдықтар теориясы және т.б. Бұл жұмыста негізінен
биноминальдық коэффиценттерді есептеу формуласы оны оңай табу әдістері,
биноминальдық коэффициенттерді жай саңға бөлгендегі қалдығы жайында
мағлұмат береді және жай санның қандай дәрежесіне бөлінетін белгілер
туралы теоремалар дәлелденген. Осында бесінші теорема тек р = 2 -ге тең
болғандағы жағдайы ғана дәлелденген. Ал р кез – келген жай сан үшін
«Квант» журналының 1971 жылғы №10 нөмеріндегі А.И. Ширшофтың «Об
одного свойстве биноминальмых коэффициентов» деген мақаласында
дәлелденген. Менің болашақтағы мақсатым коэффициенттердің тағы да
басқа қасиеттерін жинақтап шығару.

13

Пайдаланылған әдебиеттер:


Квант журналы 1970 жылғы, № 6 номер

Квант журналы 1971 жылғы, № 10 номер


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет