Курсовая работа по предмету «методы вычисления» по теме: «Методы аппроксимации функций. Аппроксимация алгебраическими многочленами. Единственность решения интерполяционной задачи.»

I. МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ.

1.1. Метод наименьших квадратов

При интерполировании интерполирующая функция строго проходитчерез узловые точки таблицы вследствие того, что количествокоэффициентов в интерполирующей функции равно количеству табличных значений.

Аппроксимация – метод приближения, при котором для нахождениядополнительных значений, отличных от табличных данных, приближеннаяфункция проходит не через узлы интерполяции, а между ними (рис. 1).



----- интерполирующая функция

----- аппроксимирующая функция

Если аналитическое выражение функции, описывающей закон изменение неизвестно или весьма сложно, то возникает задача найти такую эмпирическую формулу

значения которой при мало отличались бы от опытных данных.

Геометрически задача построения функции по эмпирическойформуле состоит в проведении усредненной кривой – кривой, проходящейчерез середину области значений (табл. 1) (рис. 2).

Экспериментальные данные

Интерполяцией данные описываются более точно, чем приаппроксимации, но в ряде случаев обосновано применение аппроксимации:

• 
  при значительном количестве табличных данных (интерполирующаяфункция становится громоздкой);
  
• 
  интерполирующей функцией невозможно описать данные приповторении эксперимента в одних тех же начальных условиях(требуется статистическая обработка;
  
• 
  для сглаживания погрешностей эксперимента. Данные и обычно содержат ошибки, поэтому интерполяционная формула повторяет эти ошибки. Из рисунка (рис. 3) видно, что значения постоянно и равномерно увеличивается при росте , а разброс данных относительно аппроксимирующей функции можно объяснить погрешностью эксперимента.
  

При построении аппроксимирующей зависимости определяют:

• 
  аналитический характер эмпирической формулы. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью;
  
• 
  наилучшие параметры эмпирической зависимости.
  

Суть метода наименьших квадратов заключается в нахождении такихзначений , при которых сумма квадратов отклонений (ошибок) будет стремиться к минимуму

Т.к. каждое значение в общем случае «сопровождается» соответствующим коэффициентом , то задача сводится к нахождению данных коэффициентов. Введем обозначение функции

Тогда, на основе обращения в точке минимума функции в нуль ее производных, для определения вышеупомянутых коэффициентов составляется нормальная система:

Существенным недостатком метода является громоздкость вычислений, вследствие чего к нему прибегают при достаточно точных экспериментальных данных при необходимости получения очень точных значений функции.