Дәріс Тақырыбы: Дәлелдеуге және салуға арналған геометриялық есептер және оларды шығаруға үйрету әдістері Теоремаларды дәлелдеуге үйрету
Математиканы оқыту процесіндегі индукция мен дедукция
жүктеу/скачать 65.32 Kb.
|
| Математиканы оқыту процесіндегі индукция мен дедукция Индуктивтік ой қорыту адамдардың қоғамдық және өндірістік практикасының көп ғасырлық бақылауы мен тәжірибесінен қалыптасты. Ойымызды тұжырымдаудың әр түрлі формасы ретінде индукция ертедегі грек философы Сократтың (б. э. д. 469-399 жж.) еңбектерінде кездеседі. «Индукция» термині латынның inductio – «түрткі», «кірістіру», «жекеден көпке», «жалқыдан жалпыға» көше отырып пайымдау жолы деген сөзі. Оның негізгі үш мәні бар: ойды тұжырымдап айтып берудің негізгі түрінің бірі – екі немесе бірнеше элементар жеке пікірлерден жаңа жалпы тұжырым жасау; кейбір нысандар жиынын үйрету үшін жеке нысандарды қарастырады. Олардың арасындағы ортақ қасиеттерді іздестіріледі, жеке айғақтан жасалған тұжырым барлық нысандардың қасиеті ретінде алынады; оқыту процесінде материалды жалпылай жеткізетін зерттеу әдісі болып табылады. 1-мысал. Элементар пікірлер: шеңбер түзумен ең көп дегенде екі нүктеде қиылысады. Сол сияқты эллипс түзумен екі нүктеде қиылысады; парабола түзумен екі нүктеде қиылысады; гипербола түзумен екі нүктеде қиылысады. Дербес пікірлер: эллипс, парабола, гипербола – конустық қималардың әр түрдегі көрінісі, бұлар екінші ретті қисықтар жиынын құрайды. Жаңа жалпы пікір: екінші ретті қисықтар түзумен ең көп дегенде екі нүктеде қиылысуы мүмкін. 2-мысал. Төмендегі формуламен берілген сан тізбегін қарастырайық (6-кесте) 6-кесте – Қате пікірлердің пайда болуына мысал тақ сан тақ сан тақ сан Қорытынды тақ сан Қорытынды қате пікір: құрама сан Математикалық индукция қағидасы орындалған жоқ Толымсыз индукция Индукцияның толымсыз және толық болып бір-бірінен өзгешеленетін екі түрі бар. Зерттеу әдісі ретінде толымсыз индукция – жеке айғақтар өте көп болып, бірақ олардың барлығын бірдей қарастырмай тек кейбіреулерін ғана қарастырып тек солардағы ерекшеліктерді байқап, осылар арқылы жалпы қорытынды жасайтын болсақ, бұл толымсыз индукция болып табылады. Толымсыз индукциямен жасалған қорытынды дұрыс болмауы да мүмкін алғашқы жеке айғақтарда бар ерекшелік, кейінгілерінде болмайтын жағдайлар кездеседі. Өйткені педагогикалық үдерісте, әсіресе жеке дәйектер өте көп болып, олардың барлығын бірдей қарастыру мүмкін болмағанда, тек бірнеше дербес дәйектерден жасалған қорытындының өзі де дұрыс болатыны адамның іс-тәжірибесінде бұрыннан сыналған (мысалы, ықтималдар теориясы мен математикалық статитикада). Толымсыз индукция әдісін қолданып бір қорытынды тұңғыш рет жасалған болса, оны міндетті түрде әр түрлі әдіспен тексеру қажет. Бұл үшін бірнеше пікірлерден ұқсас қорытындылар жасап, дәлелдеуді күшейтеміз. Мысалы, осы әдіспен мектепте арифметикалық, геометриялық прогрессия өтіледі. ....................................................... Бұл нәтижеге келгенімізбен, міндетті түрде дәлелдеу қажет. Математика дамуының алғашқы сатысында сондай-ақ жеке адамның және барлық адам баласының өмірінде математикалық шындықтарды танып білудің бірден-бір жолы бақылау мен тәжірибе, бір сөзбен айтқанда индукция болған. 2 мен 3-тің қосындысы 5 болатынын, екі нүктенің арасындағы ең жақын арақашықтық түзу екенін адамдар күнделікті бақылау арқылы білген. Миллион рет қайталанған тәжірибелерден, адамдарда оймен орындау қабілеті пайда болады. Толық индукция Барлық дербес жағдайларды қарастыра келіп шығарылған жеке-жеке қорытындыларды пайдаланып жалпы бір қорытынды жасауды толық индукция дейді. Егер жағдайлар саны шектеулі болып, олардың барлығын толық қарастырсақ, онда одан толық индукциямен жасалған қорытынды болады. Мысалы, 10-ға дейінгі жай сандарды көбейткіштерге жіктейміз. 10-ға дейінгі сандардың ішінде 4 жай сан бар, қосымша дәлелдеуді қажет етпейді. Сонымен, толық индукциямен жасалған қорытынды әркез ақиқат болады, сондықтан толық индукция ғылыми дәлелдеу әдісі болып табылады. Жеке жағдайлар шексіз көп болғанда, онда толық индукция емес, толымсыз индукция қолданылады да, қорытындысының дұрыстығы математикалық индукциямен тексеріледі немесе математикалық индукция қолданылады. Көбінесе, математикада дербес жағдайлары өте көп болатындықтан, олардың барлығын қарастырудың мүмкіншілігі бола бермейді. Сондықтан толық индукцияда сирек қолданылады. Бірақ оның есесіне толық индукцияны қолдану мүмкіндігі болған жерде, ол арқылы жасалған қорытынды әрқашан дұрыс болады. Егер шексіз көп дербес жағдайлар жиынын өзара байланыссыз бөліктерден тұратан шектеулі жиындарға бөлу мүмкіндігі болса, онда ол дербес жағдайлар толық индукциямен дәлелденеді. Іштей сызылған бұрышты өлшеу туралы оқығанда негізінен 3 түрлі жағдайды қарастырамыз (4, 5, 6-суреттер): а) Іштей сызылған бұрыштың бір қабырғасы шеңбер диаметрі болады. б) Шеңбер диаметрі бұрыштың ішкі облысында жатады. в) Шеңбер диаметрі бұрыштан тыс жатады – бұларды дәлелдеуге толық индукция қолданылады. Бұл арада теореманы толық индукциямен дәлелденген деп аталады. . Индукциялық ой қорыту нысандардың арасында себепті байланыстар орнатады. Бақылау мен эксперименттің нәтижесінде нысандар арасында белгілі қатынастармен байланыстар орнатылады. Бұларға жасалатын индукциялық ой қорыту – белгіліден белгісізге көшу процесін ықтималдығы белгілі мөлшердегі ақиқат пікір деуге болады. Соңғы мысалдардан бұл индукцияны зерттеу индукциясы деп атайды. Оқыту үдерісінде бұл әдіс ұғымдардың немесе пікірлердің арасында белгілі бір логикалық байланыс орнату үшін қолданылады. Математиканы оқытуда бұл әдіс әр түрлі формада кездеседі (ұғымдар немесе ой арасындағы логикалық байланыс орнатуға, қабылданған математикалық анықтамалардың дәлелді әдістемесі ретінде, нақты тақырыпты оқыту тәсілі ретінде қолданылады). Дедукция Дедукция (латынша deductio – бір жола шығару). Бір жалпы пікірден және бір дербес пікірден жаңа, барынша жалпы немесе дербес пікірге көшуді дедукция, деп атаймыз. Барлық аттас дұрыс көпбұрыштар ұқсас (1-пікір). Берілген дұрыс көпбұрыштар аттас (2-пікір). Берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас болады (жаңа пікір – қорытынды). Осы жағдайлардан жаңа қорытынды шығарайық. Пікірлер логикасында қорытылған жаңа пікірді алғы шарт деп атайды. Олардан қорытылған жаңа пікірді ой қорыту деп атайды. Жоғарыдағы мысалда жалпы сөз тіркесі «Дұрыс аттас көпбұрыштар». Дедукцияның мәні – берілген дербес жағдайды жалпы жағдайдан шығару болып табылады. Дедукциялық ойлаудың дұрыстығы алғашқы екі тұжырымға тәуелді. Егер екі тұжырым дұрыс болса және дұрыс қорытынды шығарылса, онда қорытындысы да ешбір талассыз дұрыс. Дедуктивтік ой қорытудың келесі түрлері болуы мүмкін: - барынша жалпы жағдайдан ой қорытудан барынша дербес жеке жағдайдағы ой қорытуға көшу. - жалпы жағдайдағы ой қорытудан жалпы жағдайға көшу. Мысалы, барлық жұп сандар 2-ге бөлінеді; барлық тақ сандар 2-ге бөлінбейді, ешбір жұп сан бір мезгілде тақ сан бола алмайды. Жеке пікірден дербес пікірге көше отырып ой қорыту. Мысалы, 2 саны – жай сан; 2 саны – натурал сан, кейбір натурал сан жай сан болып табылады Математикалық ой қорытулар көбінесе дедукциялық болады. Қысқаша айту мақсатында кейбір тұжырымдар қалдырылады: Мысалы, берілген дұрыс көпбұрыштар ұқсас, себебі олар аттас. Математика дедукциялық ғылым. Шынында да математикалық пәнді қатаң баяндағанда негізгі ұғымдар мен олардың өзара қатысы, байланысы орнатылады (олар белгілі ұғымдар мен олардың қатынасы арқылы анықталады), бұдан соң бұл ұғымдар мен қатыстарды байланыстыратын аксиомалар жүйесі құрастырылады. Негізгі ұғымдар мен қатыстар аксиомалар жүйесінің негізінде жаңа ұғым пайда болады, тікелей ой қорыту ережесі пікір мен оның салдары логикалық реттілікпен баяндалады. Теореманы дедукциялық тұрғыдан дәлелдеу жүргізілген қадамның тек логикалық реттілігі болып қана қоймай, бұрыннан белгілілерге сүйеніп, сонымен бірге әрбір қадамның, тұжырымның дұрыстығын дәлелдеу болып табылады. Мысалы, теңбүйірлі. Қорытынды: . Дедукция процесі математикалық логиканың тілінде қатаң түрде өрнектеледі. Дедукция белгілі бір ережелердің нәтижесінде бейнелейді. Зерттеу әдісі ретінде нысандар арасындағы ортақ қасиеттер мен байланыстарды табу арқылы сипатталады, нысандар класының нақты қасиеттері туралы пікір айтуға мүмкіндік береді. Мысалы, шаршының қасиетін қарастыра отырып, оның ең алдымен ромб екенін білеміз. Сонымен ромбыға тән қасиет шаршыға да тән. (Шаршының диагоналдары өзара перпендикуляр). Математикалық сөйлемдерді баяндауда жетілдірілген индукция деген атпен индукция мен дедукция тығыз байланысты түрде жиі кездеседі. Жетілдірілген индукция әдісі Индукциялық жолмен алынған қорытындыны логикалық жолмен негіздеу қажеттігі туғанда әдетте жетілдірілген индукция қолданылады. Толық математикалық индукция белгілі дәйекке қолданылғанда келесі түрде біртіндеп қолданылады: бақылау және тәжірибе; болжам; болжамды дәлелдеу. Мысалы, элементтері санаулы жиында n элементтен тұратын алмастыруды қанша әдіспен жасауға болады? 1-ші кезең. Ізделінді алмастыру санын x арқылы белгілейік, ал жиын элементтерін арқылы дербес мәндерінде бұл жағдайды зерттейік (7-кесте). 7-кесте – Дербес мәндерде жағдайды зерттеу Мәні Тәжірибе және байқау -тің мәні 1 1 2 2 3 , , , , 6 4 24 2-ші кезең. Тәжірибенің қорытындысын шығарайық (8-кесте) 8-кесте – Тәжірибенің қорытындысы Элементтер саны Тәжірибе Қорытынды Егер қандай да бір натурал саны үшін тұжырымдалған құрылым үшін тура болып, үшін тура деп алынып, үшін тура екені дәлелденетін болса, онда бұның п үшін тура екені дәлелденеді. Математикалық индукция әдісі математикалық индукция қағидасына негізделген. Математикалық индукция әдісін бөлінгіштіктерді дәлелдеуге пайдалануға болады. 1 Есеп. Кез келген п натурал саны үшін (1) екенін дәлелдейік. Шешуі: үшін тура. үшін тура делік. үшін тура екенін дәлелдейік. Шыққан қосындыдағы әрбір қосылғыш 64-ке бөлінеді, ендеше қосынды 64-ке бөлінеді. Яғни, (1) орындалатыны дәлелденді. 2 Есеп. теңдеуінің дұрыстығын дәлелдейік (. Оқылуы: n факториал). 1). үшін тура; 2). үшін: тура деп аламыз; 3). үшін тура екенін дәлелдейік: осыдан: , сол жақтағы 1-ші және 3-ші қосылғыштардан -ді жақша сыртына шығарсақ: осыдан , д.к.о. Аналогиялардың маңызы және оның түрлері Салыстыру мен аналогия – ойлаудың логикалық тәсілі, ол ғылыми зерттеулерде және оқыту үдерісінде қолданылады. Математикалық білім алу үдерісінде өз бетінше жаңа нәтижеге қол жеткізу процестері, ең алдымен, оқушының өзіндегі бар білімді және оның кең көлемде аналогиясы арқылы жаңа білім алуға байланысты. Мысалы, (а1 → а2 планиметрия – стереометрия, шаршы – куб) т. б. Математикалық білімді меңгерудің барлық кезеңдерінде аналогия бойынша ой қорытудың маңызы ерекше. Традукциялық ой тұжырымының маңызды түрі – аналогия болып табылады. (грек, analogіa – «сәйкестік», «ұқсастық»). Аналогия – танымның аса тиімді эвристикалық құралы. Аналогия – адамның қалыптасқан білімін жаңа алған білімге айналдыруда ұқсастықты қолданатын логикалық әдіс. Ол білім алдымен жорамал, болжам түрінде одан кейін мүмкіндігіне қарай дәлелденген нақты білімге айналады; өз бетінше кеңейтетін білімдер жүйесіне айналады. Адам ойының белсенді, ақыл ойының пәрменді дамуы оның аналогия бойынша ойлауына байланысты. Америка математиктері Д.Пойа, У.У.Сойер білімнің қай саласындағы жаңалық болса да аналогияның логикалық тәсілінсіз табылмағанын дәлелдеді . Салыстыру – материалдық нысандарды оларды оқып үйренгенде олардың ұқсастығы мен бір-бірінен айырмашылықтарын ойша байқайтын логикалық әдіс. Салыстырудың танымдық үдерісінде қаншалықты зор маңызы бар екені туралы мынадай белгілі нақыл бар: «Барлығын да салыстыру арқылы танимыз». Салыстыру – зерттеу әдісі ретінде математикада ғана қолданып қоймай, нысандардың математикалық заңдылықтарын үйренуге, оларды байланыстыруға қолданылады. Салыстыру әдісін қолданғанда келесі жағдайларды басшылыққа алғанда ғана ол тұралы дұрыс қорытындыға әкеледі. Бір-бірімен белгілі байланыстағы біртекті нысандарды салыстыруға болады. Салыстырудың мағынасы болуы керек. Мысалы, өлшемдері бірдей арақашықтықтар, өлшемдері бірдей бұрыштар т.с.с. Екі функцияның қасиетін салыстыруға болады, үшбұрышты – үшбұрышпен, төртбұрышты – төртбұрышпен, ромбыны – ромбымен салыстырады. Мысалы, екі көпбұрыштың ұқсастығы, ауданы, параметрлері, т.б. қасиеттері бойынша салыстырылуы керек. Бір ғана нысанға ие болатын нысандар толық болу керек. Салыстыру математикалық ұғым анықтамалары таратып жазған кезде қолданылады. Бұл туралы К. Д. Ушинский «Дидактикада салыстыру негізгі тәсіл болу керек» деп есептеген. Бұл ой математиканы оқытуда өте сенімді тәсіл. Мысалы, тақтаға бірнеше дербес тізбектер жазып оларды салыстыру арқылы арифметикалық прогрессия анықтамасын оқушыларға тұжырымдатуға болады. Зиянды аналогиялар. Оқушылар шығарған есептерде аналогиялық қателер жиі. Мысалы: 1. Қосылғыштарды қысқару: (дұрысы: бұл қысқармайды); 2. Жиі кездесетін қателер түрі: өрнегі де жалған аналогия әдісімен табылған (дұрыс нақты сандар жиынында түбірі табылмайды); 3. Жалған аналогиялық қателер (дұрысы: ); 4. Өте кең таралған қателерді: психолог Н. А. Меншчинскаяның зерттеулері бойынша: «Оқушылар 96:16=10 есебін шешкенде қате жіберді; 5. «Кеңістікте берілген түзу арқылы осы тек бір ғана перпендикуляр түзу ғана болады» – қате пікір. 6. Софизмдер. Софизм (грек. sophisma – «қақпан», «өтірік», «басқатыру») – қорытындының негізі логикалық және семантикалық (тілдік мазмұнын, яғни мәнін) талдаудың жеткіліксіздігінен пайда болатын, таза субьективті әсерден туатын, жорамал дәлелдеу. 1-есеп. «5 = 1» софизмін дәлелдеуге тырысып, 5 және 1 сандарынан бірдей санды, яғни 3-ті шегереміз. Теңдеудің екі жағында шыққан 2 және -2 сандарын квадраттасақ, екеуінен де бірдей 4 санын аламыз: Ендеше 1 мен 5 тең болуы керек. Қатені табыңыз. Жауабы: квадраттардың теңдігінен сол сандардың өздерінің теңдігі шықпайды. 2-есеп. софизмін дәлелдеп, қатесін табыңыз. Шешуі. сандық тепе-теңдігін қарастырайық. Оң жағындағы және сол жағындағы ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығарсақ: . Осы теңдеудің екі жағын жақша ішіндегі ортақ көбейткішке бөлсек: . Қате қайда? Жауабы: сандарды -ге бөлуге болмайды. Ой қорытындыларының маңызды бөліктерінің бірі традукциялық (транзитивтік) ой тұжырымы болып табылады (лат. raductіon – орын ауыстыру). Мұндағы екі және одан да көп пайымдардан қандайда бір жалпылама дәрежесі одан жоғары жаңа пайымдауға өтеді. Мысалы, а, b, және с – қандайда бір нақты сандар болатын, а>b (бірінші пайым), b>с (екінші пайым), а>с (жаңа пайым). Зерттеу әдісі ретінде традукция қандайда бір қатынаста екі нысандардың сәйкестігін орнатқаннан кейін, осы нысандарды басқа қатынасқа келтіріледі. Үшінші тарау Математикалық есептер
жүктеу/скачать 65.32 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|