Дәріс тақырыбы: Туынды туралы ұғым. Туындының анықтамасы. Туындылар кестесі. Туындының геометриялық, физикалық мағыналары

жүктеу/скачать 47.92 Kb.

бет	2/2
Дата	15.02.2024
өлшемі	47.92 Kb.
	#491815

1 2

Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеулері, 1-дәріс (1)

Дифференциалдау ережелері

₁₎u  v^ u^ v^_;

2) ^^u^^v^^^u^^v^^uv^, дербес жағдайда
c  u^
 c  u_;^

₃₎ ^u^
u^v  uv^
, дербес жағдайда
 ^c^
cv^_;

 _v ^_v₂
__  ₂

 

₄₎y^_x

_y_u

^^u^_x, егерде

y  f (u), u
 ^v ^v
  (x) _;

₅₎y^
¹, егерде

y  f (x)
және
^x^^⁽^y⁾;

y
x _x_

Логарифмдік туынды

Көрсеткішті-дәрежелік
u(x)^⁽^x⁾ функцияларынан, басқа да күрделі

өрнектерден туынды тапқанда логарифмдік туынды өте ыңғайлы.

y  f (х)
функциясының логарифмдік туындысы деп осы функцияның

логарифмінен алынған туындыны айтады:

ln y^
_y_.
y

Логарифмдік туындыны пайдаланып,
_u₍_x₎ ( x)
көрсеткіштік-дәрежелік

функциялар үшін формуланы шығару қиын емес.

(u^ )^ u^ ^ ln u  u^¹  u^.

Жоғары ретті туындылар

y  f (x)
функциясының
y^
f ^(x)
туындысы х-тан тәуелді

функция болып табылады және бірінші ретті туынды деп аталады.

Егер
f ^(x)
функциясы дифференциалданатын болса, онда оның

туындысы екінші ретті туындысы деп аталып,
^y^(немесе
^f^⁽^x⁾,
d ² y dx²

d _dy _
  _,
^dy^⁾^арқылы^{белгіленеді.}^{Сонымен,}y^ y^^^.

dx _dx __dx

Екінші ретті туындыдан алынған туынды бар болса, онда ол үшінші ретті

туынды деп аталып,
_y^{(немесе}
f ^(x) ^,
^d3 ^y,….) арқылы белгіленеді.
dx³

Сонымен,
y^ y^^

n- ретті туынды деп, (n-1) - ретті туындыдан алынған туынды аталады:

_yn 
___yn1 _^

Реті екіден жоғары туындылар жоғары ретті туындылар деп аталады.

Төртінші ретті туындыдан бастап рим цифрлары арқылы немесе жақшаға

алынған сандармен ( _y^V
немесе
_y(5) _
бесінші ретті туынды) белгіленеді.

Айқындалмаған функцияның туындысы

Егер функция у-ке қатысты шешілген
y  f (x)
түрінде берілсе,

функция айқындалған түрде берілген дейміз.

Айқындалмаған түрде берілген функция деп у-ке қатысты шешілмеген

F (x; y)  0
түрінде берілген функция түсіндіріледі.

Кез келген
y  f (x)
айқындалған функцияны
f (x)  y
_₀теңдеуімен

берілген айқындалмаған функция түрінде жаза аламыз, бірақ керісінше жаза

алмаймыз.

Теңдеуді у-ке қатысты шешу әрқашан оңай емес, кей жағдайда, тіпті

мүмкін емес (мысалы,
y  2x  cos y 1  0
немесе
2 ^y  x 
y  0^).

Егер айқындалмаған функция
F (x; y)  0
түрінде берілсе, у-тен х бойынша

туынды табу үшін теңдеуді у- ке қатысты шешу қажет емес: ол үшін у-ті х-тан тәуелді деп алып, берілген теңдеуді х бойынша дифференциалдап,

алынған теңдеуді
^у^^қа қатысты шешу жеткілікті.

Айқындалмаған функцияның туындысы х аргументі мен у функциясы

арқылы өрнектеледі және мына формула арқылы есептеледі:

_y_x
__F_x^x; y_.
F_y^x; y

Мысал.
тап.
х³  y³
 3xy  0
Теңдеуімен берілген у функциясының туындысын

^Шешуі:^у^{функциясы}^{айқындалмаған}х³  y³  3xy  0 ^{теңдігін}^х^{бойынша}
дифференциалдайық. Алынған

3х²  3  y ²  y^ 31 y  x  y^  0

y  x ²

Қатынасынан
^y²^^y^^^х^^y^^^y^^x²болатындығы, яғни
y^
y ²  x ^.

Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы

y  f (х)
функциясы
_x 


^y 
xt , yt 
параметрлік функцияларымен берілсін.

Егер
^x⁽^t⁾және
y(t)
функцияларының
^t⁰нүктесінде туындылары бар болса,

x^(t₀
₎_₀онда
f (х)
функциясы
x₀
^x⁽^t₀⁾нүктесіндегі туындысы болады, бұл

туынды келесі формуламен анықталады:
^y^⁽^t⁾y^

y^(x
₎_ t 0
немесе
y^ ^t

t

0
x_t^(t₀)
^x x^

t
Екінші ретті туындысы келесі формуламен анықталады:

^y^xx
_y_t^ x_t^ x_t^ y_t^_.(x^)³

y  f (x)

Дифференциал туралы ұғым

функциясының х нүктесінде нөлден өзгеше туындысы

бар болсын. Сонда, функция оның шегі мен ақырсыз аз функция

арасындағы байланыс туралы теорема бойынша
y _
x
f ^(x)   ^,
x  0

ұмтылғанда
  0
ұмтылады. Екі жағын
__x_ке көбейтсек

y 
f ^(x)  x  
 x

теңдігін аламыз. Осылайша, y
функция өсімшесі
x  0
ұмтылғанда,

ақырсыз аз функция болып табылатын
f ^(x)  x
пен
  x
екі

қосылғыштың қосындысын береді. Сонымен қатар,

lim
x0

f ^(x)  x _
x
f ^(x)  0

^{болғандықтан,}^{бірінші}^{қосылғыш}x ^{пен бірдей}^ретті^{ақырсыз}^аз

функция, ал екінші қосылғыш __x_ке қарағанда жоғары ретті ақырсыз

аз функция:

_lim  x _
lim   0

x0 __x
x0

Бақылау сұрақтары:

Туындының анықтамасы. Туындылар кестесі.
Туындының геометриялық, физикалық мағыналары.
Күрделі функция туындысы
Айқындалмаған, параметрлік түрде берілген функция

туындысы.

Логарифмдік дифференциалдар. Жоғары ретті туындылар.

ҰСЫНЫЛАТЫН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М.: Интеграл-пресс, 2002.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. -М., 2004.
Рябушко А.П. Жоғары математикадан жеке тапсырмалар: 1,2,3 бөлімдер.- Қарағанды,

2011.

Письменный Д.Т. Жоғары математикадан дәрістер жинағы: Толық курс. - М.: Қарағанды, 2012. - 524б.
Тутанов С.Қ., Шаихова Г.С.Жоғары математика 1,2 -бөлім. -Қарағанды, 2011.
Махмеджанов Н.М. Жоғары математика есептерінің жинағы. -Алматы, 2008. -392 б.
Қажыкенова с.Ш, Пак Ю.Н, Шаихова Г.С. Жоғары математика курсы. - Қарағанды, 2020. -

290б.
8 . Шаихова Г.С. Төлеутаева Ж.М. Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеулрі. - Қарағанды, 2018. -98б.

Дүйсек Қ.Е., Қасымбек Е.Ә. Жоғары математика. - Алматы, 2008.
К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. Сборник задач по высшей математике. АЙРИС ПРЕСС. - Москва, 2004.- 57 с.
Айдос Е.Ж. Жоғары математика 1. Оқулық. - Алматы. 2007ж. - 280б.
Айдос Е.Ж. Жоғары математика 2. Оқулық. Алматы. 2007ж.

Назар қойып тыңдағандарыңызға рахмет!

жүктеу/скачать 47.92 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2