О СОСТОЯНИИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПРИКЛАДНЫХ НАУК В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

О СОСТОЯНИИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПРИКЛАДНЫХ НАУК В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Особое место среди наук занимает математика, которая в настоящее время является основой для эффективного развития всех без исключения наук естественного профиля; биологических, медицинских, экономических, социальных и частично гуманитарных наук; технологических процессов и производств. Российская математическая наука находилась и продолжает находиться на самом высоком мировом уровне.

Стратегическое направление математических исследований во многом определяется прогрессом в решении стоящих перед этой наукой фундаментальных проблем и наличием перспективных приложений, разрабатываемых в сфере теоретической математики.

В первую очередь следует отметить роль математики и информационных технологий в системе образования. Известно, что фундаментальная наука является необходимым компонентом системы образования на всех ее стадиях – от начальной школы до аспирантуры и докторантуры. Поэтому совершенно недопустимо снижение роли науки вообще и математики, как основы естественных наук в особенности, в образовательном процессе. Причем, именно хорошая подготовка в области фундаментальных наук приводит к спросу на отечественных специалистов за рубежом.

В конце ХХ в. одно из центральных мест в математике заняла алгебраическая геометрия. Во многом это произошло благодаря ее тесным связям с другими направлениями математики, в первую очередь, с теорией чисел и математической физикой.

Интенсивные исследования ведутся в бирациональной классификации алгебраических многообразий размерности больше 3, в частности, в программе минимальных моделей. В ближайшее время получит обоснование теория мотивов и будет завершена классификация циклов. Исследования также проводятся в алгебраической К-теории.

Потребностями теоретической физики, во многом, определяется прогресс в некоммутативной алгебраической геометрии и теории векторных расслоений.

В алгебраической теории чисел многие математики работают над доказательством известных гипотез о дзета-функциях алгебраических многообразий, в которых определяющую роль должна сыграть адельная теория. В теории диофантовых уравнений будет найдено эффективное доказательство гипотезы Морделла и получены ее обобщения на многообразия высших размерностей.

Весьма перспективными представляются приложения неархимедовых метрик и пространств в физике (квантовая оптика), биологии (описание динамики белковых молекул и других иерархических систем), а также гуманитарных науках (экономика, социология, когнитивная наука).

В аналитической теории чисел главной проблемой остается гипотеза Римана о нулях дзета-функции. Исследования в этой сфере, безусловно, приведут к новым результатам о характере распределения простых чисел.

Исследование трехмерных многообразий с помощью потоков Риччи, приведшее к доказательству гипотез Пуанкаре и Терстона (известный результат Г.Я. Перельмана), открыло новое направление в трехмерной топологии, бурное развитие которого ожидается в ближайшие годы. Известной проблемой топологии остается описание гомотопических групп сфер. Кроме этого, важной задачей, определяющей развитие современной топологии, является классификация особенностей и узлов. Подробное исследование инвариантов Дональдсона и Зайберга-Виттена и открытие новых, еще не известных науке, инвариантов гладких многообразий позволит получить классификацию четырехмерных симплектических многообразий. Большое внимание привлекают достижения асимптотической геометрии и теории квазиизометрических отображений, полученные в последние годы.

В теории функций вещественных переменных одну из центральных ролей играет теория приближений. Наряду с традиционными приближениями – полиномами (алгебраическими и тригонометрическими) используются разложения по другим системам функций (в качестве примера упомянем теорию всплесков). Новые задачи в этой области будут возникать на стыке с другими областями математики (такими, как теория чисел и комбинаторика), а также диктоваться приложениями вещественного анализа и теории приближений в теории хранения, передачи и поиска информации (например – глобальные поисковые системы в Интернете).

Последние десятилетия ХХ в. характеризовались активным проникновением методов комплексного анализа в дифференциальную и, особенно, симплектическую геометрию (исследования Громова, Дональдсона и др.). С другой стороны, такие классические атрибуты комплексного анализа, как пространства Тейхмюллера римановых поверхностей, комплексные структуры и т. д. стали обычным инструментом в арсенале современной теоретической физики. Теория приближений аналитических функций нашла свое применение не только в физике, где использование аппроксимаций Паде можно уже считать традиционным, но и в теории чисел, теории информации и т. д. В многомерном комплексном анализе возникло новое направление, связанное с объединением комплексной дифференциальной геометрии, топологии и симплектической геометрии, с одной стороны, и математической физики, с другой.

Развитие функционального анализа определяется его приложениями в механике и теоретической физике. Благодаря теории струн особое значение приобрела теория представлений бесконечномерных групп Ли. Квантовые группы и более экзотические алгебраические структуры постоянно возникают в работах физиков и требуют от математиков их тщательного изучения.

В теории динамических систем произошел переход от исследования нелинейных колебаний систем с конечным числом степеней свободы к изучению систем с распределенными параметрами (автоволны). Актуальным направлением в теории динамических систем является сопоставление регулярного и хаотического поведения в сложных системах. В частности, большое внимание привлекает исследование хаотической динамики бесконечномерных гамильтоновых систем. В перспективе речь идет о построении математической теории хаоса. Указанные исследования смыкаются с изучением системы уравнений Навье–Стокса.

Исследование интегрируемых систем ныне превратилось в одно из стратегических направлений современной теории уравнений с частными производными. Развитие этого направления связано с дальнейшим исследованием уравнения Кадомцева–Петвиашвили и других многомерных интегрируемых систем. Важное значение имеет и изучение эволюции медленных переменных в системах, близких к интегрируемым (диффузия Арнольда).

В математической теории оптимального управления и теории диффе-ренциальных игр в последнее время вызывают повышенный интерес задачи, возникающие в физике, биологии и экономике. Они стимулируют дальнейшее развитие методов оптимального управления системами с распределенными параметрами, системами с бесконечным временным горизонтом, системами с импульсными управлениями, гибридными системами и т. д.

Одной из основных задач, стоящих перед теоретической и математической физикой, является построение математической теории калибровочных полей с применением к единой теории взаимодействия элементарных частиц (хотя для полного решения этой задачи потребуется, возможно, не одно десятилетие). Другим направлением, значительно активизировавшимся в последнее время, является изучение процессов, лежащих в основе строения и развития Вселенной.

Некоммутативная теория вероятностей приобретает особое значение в связи с приложениями в квантовой информатике. Это новая научная дисциплина, изучающая способы хранения, передачи и переработки информации в системах, подчиняющихся законам квантовой механики. На ее основе разрабатываются обоснованные принципы рационального и помехоустойчивого дизайна указанных систем. Квантовая теория информации тесно связана с изучением вероятностей на некоммутативных алгебраических структурах, асимптотической теорией случайных операторов и матриц и т. д. Важное значение приобретает изучение динамических (в частности, марковских) моделей квантовых каналов с памятью, основанных на принципах теории открытых квантовых систем, и методов нахождения их информационных характеристик. Все большее внимание будет уделяться системам с непрерывными переменными, основанным на принципах квантовой оптики. Многие эксперименты по квантовой обработке информации, включая сверхплотное кодирование и телепортацию фотонных состояний, а также квантовые криптографические протоколы, реализуются в подобных системах.

Помимо этого дальнейшее развитие получат традиционные области теории вероятностей: стохастическое дифференциальное и интегральное исчисление, теория мартингалов и т. д. Будут развиваться и применения этих методов в биологии (например, при расшифровке генома человека), финансовой и страховой математике, экономике (например, при построении моделей финансовых рынков).

Одной из принципиальных задач в направлении развития взаимодействия человека и компьютера является создание квантового компьютера. Дальнейший прогресс в теории квантовых вычислений, возникший после работы Шора, относящейся к теории вычислительной сложности, во многом связан с практическими проблемами, возникающими при решении указанной задачи.

В сфере математического моделирования и вычислительной математики отечественные специалисты находятся на одном уровне со специалистами ведущих стран.

Разработка современной модели климата является чрезвычайно сложной задачей, требующей кооперации многих исследовательских коллективов. Разработанная в РАН модель включает углеродный цикл, химические трансформации малых газовых примесей, систему четырехмерного усвоения данных для атмосферы и Мирового океана.

Активно реализуется проект «Фобос-Грунт», предназначенный для доставки на Землю реликтового вещества с Фобоса – спутника Марса. Создан Центр по сбору измерительной информации об объектах техногенного происхождения в околоземном космическом пространстве. Существенные достижения достигнуты и в технологии создания автономных подводных роботов, алгоритмах анализа зрительной информации на автотрассах и др.

Создан технический базис для решения проблемы энергообеспечения страны и развития регионального энергоснабжения на базе АЭС малой и средней мощности.

Математическое моделирование остается единственным средством получить последовательную, системно согласованную количественную оценку последствий от реализации тех или иных вариантов экономической политики страны. Наблюдается некоторое «размывание» национального и особенно отраслевого уровня координации экономических процессов: наиболее важные процессы в российской экономике сейчас протекают на уровне регионов и крупных корпораций в русле глобальных тенденций. Поэтому акценты в моделях будут смещаться на описание регионов и многопрофильных корпораций во взаимодействии с мировой экономикой.

Методы теоретической информатики и дискретной математики широко ис-пользуются при разработке моделей реальных процессов в естественных науках. При этом одним из существенных результатов бурного развития информационных технологий является формирование различного рода хранилищ и баз данных.

Один из главных видов использования информации состоит в поддержке принятия решений. Основная особенность опережающего по отношению

Проводятся активные разработки в области интеллектуального анализа данных и распознавания образов, которые будут неотъемлемой составляющей новых поисковых систем.

В сфере системного программирования (параллельного и распределенного программирования) разработана среда параллельного программирования ParJava, включающая набор инструментов, позволяющий перенести большую часть разработки параллельной программы на инструментальный компьютер. Разработаны общие принципы построения инструментальных систем для изучения и визуализации тонкой структуры программ на основе широкого спектра графовых моделей. Разработана DVM-система, поддерживающая создание переносимых и эффективных приложений на языках C-DVM и Fortran-DVM
для параллельных вычислительных систем с различной архитектурой. Продолжается разработка языка Норма, позволяющего исключить фазу программирования при переходе от расчетных формул к программе. Выполняются различные проекты по разработке сложных научных и прикладных моделей природных явлений и технических устройств; языков, систем и технологий параллельного программирования; моделей вычислений и новейших архитектур вычислителей.

Создается общероссийская информационно-вычислительная система (пространство) в интересах науки, образования, разработки и развития высокотехнологических производств. Будет создана распределенная сеть суперкомпьютерных центров и центров обработки и хранения информационных ресурсов, объединенная скоростными телекоммуникационными каналами. Проводятся исследования и разработки технологий контроля качества и создания корректного программного обеспечения.

Разрабатываются инфраструктура системы планирования команд и отдельные оптимизирующие фазы для открытого компилятора Gcc. Разработана инновационная универсальная технология оптимизирующей компиляции. Выполняются исследования и разработки по системам обнаружения дефектов на уровне исходного кода.

Сохраняются традиционно сильные позиции отечественных производителей антивирусов. Этот товар пользуется спросом не только на внутреннем, но и на внешних рынках. Компании же, производящие средства шифрования и ЭЦП, работают только на внутренний рынок, сертифицируя производимую продукцию в соответствии с российскими стандартами.

В области управления данными широко изучаются: управление XML-данными, технологии Semantic Web, средства обеспечения семантической интероперабельности информационных ресурсов.

С учетом вышеизложенного в области математических наук Россия сохраняет свои ведущие мировые позиции.