Дополнительные задачи

Ответ: .

Указание: рассмотреть соударения молекул газа с движущимся поршнем.

Ответ: , R – универсальная газовая постоянная.

5*. На диаграмме (P, V) изображен цикл Дизеля, состоящий из двух адиабат 12 и 34, изобары 23 и изохоры 41. Определить КПД цикла Дизеля, если показатель адиабаты газа , V₁/V₂ =  и V₄/V₃ = .

Ответ:  = 1 - ^1- .

Указание: вычислить производную конечной энтропии системы по наибольшей температуре тел.

Ответ: T= .

Указание: использовать ограниченность числа молекул атмосферы.

13*. Выразить среднее число молекул газа, соударяющихся с единичной площадкой поверхности сосуда в единицу времени, через среднюю скорость молекул, если функция распределения молекул по скоростям является изотропной. Рассмотреть частный случай закона распределения Максвелла.
14*. Получить соотношение между коэффициентами диффузии D и подвижностью частицы B, рассматривая состояние термодинамического равновесия газа в однородном поле силы тяжести при температуре T.
15*. Записать и решить уравнение движения сферической частицы в вязкой жидкости с учетом действия силы тяжести, силы Архимеда и силы Стокса. Частица движется в вертикальном направлении.
16*. По однородному цилиндрическому проводнику течет постоянный электрический ток J. Определить стационарное распределение температуры T (r) в проводнике, если радиус проводника r₀, удельное сопротивление проводника , коэффициент теплопроводности проводника , и Т₀ – температура на поверхности проводника, которая поддерживается постоянной.

Ответ: T = T₀ + (J²/4²r₀⁴)(r₀² – r²), r_{0 } r _ 0.

Ответ: .

22*. Идеальный газ находится при температуре Т. Найти наиболее вероятное значение кинетической энергии поступательного движения молекул газа.

23*. Идеальный газ находится в вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью основания S и высотой Н в однородном поле сил тяжести при температуре Т. Давление газа на уровне нижнего основания Р₀, масса каждой молекулы газа m. Определить массу М газа в сосуде.

24*. Горизонтально расположенную трубку с закрытыми торцами вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей через один из её торцов. В трубке находиться углекислый газ при температуре Т. Длина трубки L. Найти значение ω, при котором отношение концентраций молекул газа у противоположных торцов трубки n=2.

25*.Во сколько раз средняя длина свободного пробега <λ> молекул азота, находящегося при давлении р=10⁵Па и температуре Т=300К, больше среднего расстояния между его молекулами?

26*. На концах цилиндрической трубы длиной l и радиусом R, по которой течёт жидкость с вязкостью η, поддерживается разность давлений ∆р. Найти зависимость скорости слоёв жидкости от их расстояния до оси трубы.

27*. Коэффициент теплопроводности азота при нормальных условиях ν=2,4*10^-2 Вт/(м*К). Каков размер молекулы азота?

28*. Водоём покрыт слоем льда толщиной h₁=5см. Через какой промежуток времени толщина льда станет равной h₂=10см, если температура воздуха в течение этого промежутка равна Т=263К? (Для льда: плотность ρ=900 кг/м³, удельная теплота плавления q=3,33*10⁵ Дж/кг, коэффициент теплопроводности ν=2,1*10⁶ Вт/(м*К).

29*. Найти уравнение процесса (в переменных Т, V), при котором молярная теплоёмкость идеального газа изменяется по закону , где α – постоянная.

30*. В закрытом сосуде при температуре Т находится ν молей гелия. Какое количество теплоты Q необходимо сообщить, чтобы средняя квадратичная скорость молекул гелия возросла в n раз?

31*. Тепловая машина Карно, имеющая к.п.д. η, начинает использоваться при тех же тепловых резервуарах как холодильная машина. Какое количество теплоты Q эта машина переведёт от холодильника к рабочему телу за один цикл, если к ней за каждый цикл подводится работа А?

32*. При очень низких температурах теплоёмкость кристаллов , где а-постоянная. Найти энтропию кристалла как функцию температуры в этой области.

33*. Два одинаковых теплоизолированных сосуда, соединённые трубкой с краном, содержат по одному молю одного и того же идеального газа. Температура газа в одном сосуде Т₁, в другом Т₂. Молярная теплоёмкость газа равна Сv. После открытия крана газ пришёл в новое состояние равновесия. Найти ∆S – приращение энтропии газа. Показать, что ∆S>0.

34*. На ледяную поверхность, температура которой t₁=-1°C, ставится штанга, площадь основания которой S. При каком весе штанги лёд под ней начнёт таять? Удельная теплота плавления льда q, удельные объёмы льда и воды при нормальных условиях v_л и v_в, а температура плавления льда t₀=0°С.

35*. Моль азота расширяется в пустоту от начального объёма 1л до конечного 10л. Найти понижение температуры ∆T при таком процессе, если постоянная a в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота a=1,35*10⁶ атм*см⁶/моль².

Дополнительные задачи
1*. Идеальный одноатомный газ находится в вертикально стоящем сосуде с площадью поперечного сечения S. Сосуд плотно закрыт невесомым поршнем, который может скользить без трения по стенкам сосуда. На поршень ставится груз массой m и поршень опускается. Определить объем V₂ газа в конечном стационарном состоянии, если в начальном состоянии объем газа V₁, давление газа P₁ и ускорение свободного падения g. Сосуд и поршень теплоизолированы.

Ответ: .

2*. С помощью молекулярно-кинетической теории показать, что при квазистатическом перемещении поршня в теплоизолированном цилиндре, заполненном идеальным одноатомным газом, давление P и объем V газа связаны уравнением PV^5/3=const.

Указание: рассмотреть соударения молекул газа с движущимся поршнем.

Ответ: , R – универсальная газовая постоянная.

4*. На диаграмме (P, V), где P – давление и V – объем идеального газа, изображен цикл Отто, где 12 – адиабатное сжатие, 23 – изохорное нагревание, 34 – адиабатное расширение и 41 – изохорное охлаждение. Определить КПД цикла Отто, если коэффициент сжатия V₁/V₂= и показатель адиабаты газа .

Ответ:  = 1- ^1-.

5*. На диаграмме (P, V) изображен цикл Дизеля, состоящий из двух адиабат 12 и 34, изобары 23 и изохоры 41. Определить КПД цикла Дизеля, если показатель адиабаты газа , V₁/V₂ =  и V₄/V₃ =.

Ответ:  = 1 - ^1- .

Указание: вычислить производную конечной энтропии системы по наибольшей температуре тел.

Ответ: T= .

12*. Используя закон всемирного тяготения, доказать, что гравитационное поле планеты не может удерживать неограниченно долго планетную атмосферу в состоянии теплового и механического равновесия.

Указание: использовать ограниченность числа молекул атмосферы.

15*. Записать и решить уравнение движения сферической частицы в вязкой жидкости с учетом действия силы тяжести, силы Архимеда и силы Стокса. Частица движется в вертикальном направлении.

16*. По однородному цилиндрическому проводнику течет постоянный электрический ток J. Определить стационарное распределение температуры T (r) в проводнике, если радиус проводника r₀, удельное сопротивление проводника , коэффициент теплопроводности проводника , и Т₀ – температура на поверхности проводника, которая поддерживается постоянной.

Ответ: T = T₀ + (J²/4²r₀⁴)(r₀² – r²), r_{0 } r _ 0.

17*. Показать, что газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-Ваальса с a0, в опыте Джоуля-Томсона всегда нагревается.

18*. Показать, что газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-Ваальса с b0, в опыте Джоуля-Томсона всегда охлаждается.

19*. Найти разность молярных теплоемкостей для газа Ван-дер-Ваальса.

Ответ: .