Распределение вероятностей

6.4.2 Распределение вероятностей

 

Нередко удобнее изображать вероятностные прогнозы графически. Возможные исходы указываются на горизонтальной оси, а отвечающие им вероятности - на вертикальной. Примером служит рис. 6.3. В данном случае исходы качественно различны и могут быть занесены только на горизонтальную ось; порядок и промежутки в размещении - произвольные.

 

 

Рис. 6.3. Вероятности победы на первенстве по бейсболу команды Национальной лиги или Американской лиги

 

Рисунок 6.4 иллюстрирует несколько иной случай. Альтернативные результаты здесь различаются количественно в отношении одной-единственной переменной величины: доходов в расчете на акцию на будущий год. В данном случае аналитик счел необходимым объединить воедино все возможности, начиная с $0,90 до $0,99, и определить вероятность того, что фактическая сумма окажется в этом диапазоне; затем повторить всю процедуру для диапазонов от $1,00 до $1,09, от $1,10 до $1,19 и других диапазонов шириной $0,10.

 

 

Рис. 6.4. Вероятности доходов в расчете на акцию на будущий год (с использованием широких диапазонов)

 

Этот анализ, разумеется, можно было бы провести на более детальном уровне, с оценкой вероятности результатов в диапазонах от $0,90 до $0,94, от $0,95 до $0,99 и сходных диапазонах шириной $0,05. Еще более детальный анализ установил бы вероятность каждого возможного результата. В этом случае полос значительно прибавилось бы и каждая из них оказалась бы очень узкой, как это и показано на рис. 6.5. Заметьте, что чем больше полос, тем меньше значения сопутствующих вероятностей.

В пределе получается непрерывное распределение вероятностей (continuous probability distribution). Подобная кривая фактически изображает вершины многочисленных узких полос. (Технически кривая изображает то, что происходит, когда этих полос оказывается бесчисленное множество.) Рис. 6.6 приводит три примера такого рода кривых. Заметьте, что по вертикальной оси теперь измеряется плотность вероятности (вместо вероятности).

Используя непрерывные распределения вероятностей, аналитик может отказаться от точной оценки каждого результата в отдельности. Вместо этого аналитик должен прочертить кривую, которая отразит ситуацию так, как он ее видит. Относительная вероятность каждого отдельного результата (скажем, доходов в расчете на акцию $1,035) равна нулю. Однако относительная вероятность любого диапазона доходов определяется путем простого измерения площади между кривой и горизонтальной осью. Так, вероятность того, что доходы окажутся в пределах от $1,03 до $1,04, может быть установлена при измерении площади под кривой между $1,03 и $1,04, что в данном случае составит приблизительно 0,07 (т.е. 7 шансов из 100, что в следующем году доходы будут в пределах $1,03 - 1,04). Для дискретных распределений вероятностей наподобие тех, что показаны на рис. 6.4 и 6.5, ранее отмечалось, что сумма вероятностей должна равняться 1,0. И тогда при непрерывном распределении вероятностей общая площадь под кривой должна составить 1,0.

 

 

Рис. 6.5. Вероятности доходов в расчете на акцию на будущий год (с использованием узких диапазонов)

 

 

Рис. 6.6. Непрерывное распределение вероятностей

6.4.3 «Дерево событий»

 

Когда события непрерывно следуют одно за другим или в каком-то смысле взаимосвязаны, зачастую полезно описывать альтернативные варианты в виде «дерева». Примером служит рис. 6.7.

Заемщик обещал по возможности выплатить $15 через год и $8 через два года. По мнению аналитика, шансы на то, что первая выплата будет действительно произведена полностью, составляют только 40 к 60. В противном случае, полагает аналитик, заемщику удастся выплатить через год только $10.

Что же касается двухлетнего срока, то вероятность события, на взгляд аналитика, будет зависеть от результата за первый год. Если заемщик сумеет полностью выплатить $15 по истечении первого года, тогда, по мнению аналитика, шансы на то, что заемщику удастся выполнить свое обязательство и выплатить $8 по истечении двух лет, составят лишь 1 к 9. В противном случае заемщик выплатит меньше - $6. Однако если заемщик выплатит по истечении первого года $10 и при этом даже не предвидится никакой надежды на возмещение недостающих $5, то, по мнению аналитика, шансы на то, что через два года будут выплачены обещанные $8, окажутся приблизительно равными (50 на 50). Если же этого не произойдет, то, по мнению аналитика, вместо $8 будет выплачено $4.

Рисунок 6.7 показывает также вероятность каждой из четырех возможных последовательностей, или траекторий, на «дереве событий». Например, вероятность того, что обе выплаты будут произведены полностью, составляет только 0,04, так как шансы на осуществление первой выплаты составляют всего 40 из 100, а из этих 40 лишь 1 к 10 говорит за то, что окончательный расчет будет произведен полностью. Это дает нам 4 шанса из 100 для данного исхода, вероятность которого равна 0,04.

 

 

Рис. 6.7. «Дерево событий»

 

6.4.4 Математическое ожидание

 

Нередко, будучи неуверенным относительно результата, аналитик желает (или вынужден) резюмировать ситуацию с помощью одного или двух чисел – одно указывает основную тенденцию распределения исходов, другое служит мерилом релевантного риска (relevant risk). И доход, и риск рассматриваются в последующих главах; оставшаяся же часть данной главы посвящена первой характеристике.

Как же можно получить одно-единственное число, которое должно охарактеризовать всю совокупность возможных результатов? Очевидно, ни один способ не покажется удовлетворительным, если альтернативные результаты различаются качественно (например, Национальная лига против Американской лиги в завоевании первенства по бейсболу). Но если результаты различаются количественно, особенно если они различаются только по одному параметру, то возникает целый ряд возможностей.

По-видимому, самый распространенный прием заключается в том, чтобы выбрать наиболее вероятное значение. Его называют модой (mode) распределения вероятностей (для непрерывного распределения вероятностей мода есть результат с наивысшей плотностью вероятности). Рис. 6.6 показывает моду каждого из распределений. Отметьте, что на рис. 6.6(в) две моды: в данном случае для ответа на заданный вопрос нельзя использовать ни одно отдельно взятое число.

Вторая альтернатива – указать величину, которая с одинаковой вероятностью может оказаться как заниженной, так и завышенной. Она называется медианой (median) распределения вероятностей. Как показано на рис. 6.6, она может существенно отличаться от моды (мод).

Третья альтернатива – использование математического ожидания (expected value), также известного как среднее (mean), т.е. взвешенное среднее всех возможных результатов, с использованием сопутствующих вероятностей в качестве весов. Здесь принимается в расчет вся информация, отраженная в распределении: как величина, так и вероятность реализации каждого возможного результата. Почти всякое изменение перспектив или же вероятностей инвестиции повлияет на математическое ожидание.

В целом ряде случаев никакой разницы между этими тремя показателями нет. Если распределение симметрично (каждая половина – зеркальное отображение другой) и унимодально (существует одно наиболее вероятное ожидание), то медиана, мода и математическое ожидание совпадают, что иллюстрирует пример на рис. 6.6(а). Аналитик, таким образом, может мыслить в терминах, скажем, медианы, даже если искомое число – это математическое ожидание. Только в случаях, когда распределение вероятностей сильно асимметрично (см. рис. 6.6(б)), эта процедура усложняется.

В тех случаях, когда указанные величины различны, можно с полным основанием предпочесть математическое ожидание. Как было отмечено ранее, оно учитывает все оценки. Есть здесь и еще одно преимущество: оценки, касающиеся перспектив ценных бумаг, служат в качестве исходных данных для создания или ревизии портфеля. Математическое ожидание доходности портфеля самым непосредственным образом связано с математическим ожиданием доходности ценных бумаг в портфеле, однако в целом ни медиана, ни мода портфеля не могут быть определены на основе аналогичных характеристик составляющих его ценных бумаг.

В табл. 6.2 приводится пример расчета математического ожидания. Аналитик пробует предсказать, как повлияет на курс двух ценных бумаг неожиданно объявленное выступление президента по телевидению. Аналитик описал ряд возможных заявлений, начиная с изменения положения на Ближнем Востоке и кончая принятием решения относительно государственного дефицита. Альтернативы, приведенные в данной таблице, были определены как взаимоисключающие и взаимоисчерпывающие (т.е. каждая возможная комбинация представлена отдельной строкой). После долгих раздумий и не без некоторого трепета аналитик оценил также вероятность каждого заявления и его конечное воздействие на цены обеих ценных бумаг. В конце концов, аналитик вычислил соответствующие параметры портфеля, включающего по одной акции каждого вида.

 

Таблица 6.2

Анализ влияния заявлений на две ценные бумаги и портфель из ценных бумаг

 

Заявление	Вероятность	Прогнозируемый курс ценной бумаги А	Прогнозируемый курс ценной бумаги В	Прогнозируемый курс ценной бумаги А и В
a b c d e f g h	0,10 0,20 0,10 0,25 0,15 0,10 0,05 0,05	$40,00 42,00 40,50 41,00 38,00 40,50 45,00 40,50	$62,00 65,00 60,00 61,00 65,00 59,00 58,00 58,00	$102,00 107,00 100,50 102,00 103,00 99,50 103,00 98,50
Математические ожидания:		$40,73	$61,90	$102,63

 

КЛЮЧЕВЫЕ ПРИМЕРЫ И ПОНЯТИЯ

Когнитивная психология

 

 

Математические ожидания указаны в нижней части табл. 6.2. Каждое из них получено в результате умножения вероятности каждого заявления на соответствующий курс и последующего суммирования. Например, ожидаемый курс бумаги А определен как [(0,10 х $40,00) + (0,20 х $42,00)+...]; ожидаемый курс бумаги В - как [(0,10 х $62,00) + + (0,20 х $65,00) +...]; а ожидаемая стоимость портфеля - как [(0,10 х $102,00) + (0,20 х х $107,00) +...]. Неудивительно, что математическое ожидание цены портфеля равняется сумме математических ожиданий курсов составляющих его ценных бумаг. Когда математические ожидания ценных бумаг складываются вместе, вы, по сути прибавляете (0,10 х $40,00 +...) к (0,10 х $62,00 +...). Ясно, что это даст вам математическое ожидание портфеля, которое равно 0,10 х ($40,00 + $62,00) +....

 

6.4.5 Ожидаемая доходность к погашению против обещанной

 

Если выплаты по облигации достоверно известны, то разницы между ожидаемой и обещанной доходностью к погашению нет. Однако многие облигации не соответствуют этим стандартам. В этом случае речь может идти о двух видах риска. Во-первых, эмитент может отсрочить некоторые платежи. Текущая стоимость доллара, полученного в отдаленном будущем, конечно же, меньше, чем у доллара, полученного в оговоренный срок. Следовательно, приведенная стоимость облигаций будет тем меньше, чем больше вероятность задержки платежей. Второй вид риска потенциально гораздо серьезнее. Заемщик может не выполнить своих обязательств в целом или частично по выплате процентов или же номинальной стоимости на дату погашения. Когда фирма явно неспособна выполнить такие обязательства, она становится банкротом. Тогда оставшиеся средства распределяются в судебном порядке между разными кредиторами согласно условиям, на которых осуществлена эмиссия долговых обязательств.

Чтобы определить ожидаемую доходность к погашению рискованного долгового обязательства, в принципе необходимо рассмотреть все возможные исходы и вероятность каждого из них в отдельности. Для пояснения этой процедуры можно воспользоваться простым примером, приведенным на рис. 6.7. Предположим, что рассматриваемая ценная бумага стоит $15, т.е. заемщик желает получить сегодня $15, обязуясь взамен выплатить $15 через год и $8 по истечении двух лет. Обещанная доходность к погашению - процентная ставка, которая приравнивает текущую стоимость этих выплат к $15. В данном случае это 38,51% годовых – цифра поистине внушительная.

Однако, по мнению аналитика, вероятность получения такой доходности к погашению составляет всего 0,04. Табл. 6.3 показывает возможные последовательности событий (траектории на «дереве событий»), а также вероятность реализации и доходность к погашению каждой из них. Ожидаемая доходность к погашению есть ни что иное, как взвешенное среднее этих величин с использованием вероятностей в качестве весов [например, (0,04 х 38,51%)+(0,36х30,62%)+(0,30х 13,61%)+(0,30х-5,20%)=15,09%].

 

Таблица 6.3

Обещанная доходность к погашению против ожидаемой

 

Первая плата через год	Вторая плата через два года	Вероятность		Доходность к погашению
$15 15 10 10	$8 6 8 4	0,04 0,36 0,30 0,30		38,51% 30,62 13,61 -5,20
Ожидаемая доходность к погашению =			15,09%

 

Ожидаемая доходность к погашению значительно меньше, чем обещанная: 15,09% против 38,51%. Для анализа инвестиции первая цифра более важна. Это немаловажный момент. Доходность к погашению при обычных вычислениях основана на обещанных выплатах, производимых в оговоренные сроки. Если существует хоть какая-то доля риска, что заемщик не выполнит свои платежные обязательства полностью и вовремя, то ожидаемая доходность к погашению будет меньше этой цифры; и чем больше риск, тем больше разница. Иллюстрацией к этому служит табл. 6.4, показывающая значения обещанной доходности к погашению применительно к шести группам облигаций промышленных компаний, распределенных по степеням риска крупнейшей рейтинговой службой Standard & Poor's. Хотя уровни всех шести доходностей отражают общий уровень процентных ставок на соответствующий момент, разница между ними главным образом обусловлена разницей в степенях риска. Если бы обещанные доходности всех облигаций были одинаковы, то ожидаемые доходности облигаций повышенного риска оказались бы меньше, чем облигаций пониженного риска, – ситуация поистине невероятная. Напротив, более рискованные облигации обещают более высокие доходности, так что их ожидаемые доходности по крайней мере не меньше, чем малорискованных облигаций.

 

Таблица 6.4

Доходность облигации промышленной компании на август 1993 г.

 

Рейтинг	Доходность к погашению
ААА АА А ВВВ ВВ В	6,68% 7,32 7,80 8,45 9,11 10,57

 

Источник: Standard & Poor's Bond Guide, September 1993, p. 3.

 

Суть большинства долговых обязательств намного бы прояснилась, если бы контракты были составлены несколько иначе. В настоящий момент стандартная облигация, лишенная каких-либо отличительных признаков, «гарантирует», что заемщик будет выплачивать кредитору, скажем, $90 ежегодно в течение 20 лет, а спустя 20 лет уплатит $1000. Куда уместнее было сделать запись, в которой отмечалось бы, что заемщик обязуется выплачивать не более чем $90 ежегодно в течение 20 лет, а спустя 20 лет уплатит не более $1000.

 

6.5 Ожидаемая доходность за период владения

 

6.5.1 Расчет ожидаемой доходности за период владения

 

При вычислении доходности к погашению не учитываются изменения в рыночной стоимости ценной бумаги, подлежащей погашению. Это можно понимать в том смысле что владелец не заинтересован в продаже документа, подлежащего погашению, независимо от того, что будет с его ценой или же с положением дел самого владельца. Эти расчеты не дают возможности удовлетворительно оценить промежуточные выплаты Если владелец бумаги не хочет расходовать начисленные проценты, он может приобрести еще несколько ценных бумаг. Но количество бумаг, которые могут быть куплены в любое время, зависит от их стоимости на данный период времени, и вот это обстоятельство никак не учитывается при расчете доходности к погашению.

Хотя мало кто оспаривает значимость доходности к погашению как индикатора совокупной доходности облигации, этим ее достоинства и ограничиваются. Для некоторых целей могут больше пригодиться другие характеристики. Более того, есть виды ценных бумаг, не подлежащих погашению; наиболее важным примером служат обыкновенные акции.

Показатель, который может быть использован применительно к любой инвестиции, - это ее доходность за период владения (holding period return). Идея заключается в том, чтобы определить период владения основным капиталом, после чего допустить, что любые выплаты, полученные за этот период, реинвестировали. Хотя подобные допущения могут варьироваться в зависимости от обстоятельств, обычно принято считать, что любая выплата, полученная по ценной бумаге (например, дивиденд по акции, купонный платеж по облигации), используется для дальнейшего приобретения ценных бумаг по текущему рыночному курсу. Такая процедура позволяет дать оценку бумаги путем сравнения ее стоимости, полученной в конце периода владения, с первоначальной стоимостью. Эта относительная стоимость (value-relative) может быть преобразована в доходность за период владения, если отнять от нее единицу¹:

 

 

Доходность за период владения можно преобразовать в эквивалентную доходность за единичный период. С учетом эффекта начисления сложного процента соответствующая величина определяется из соотношения:

 

или

 

где N - количество единичных промежутков за период владения;

r_hp - доходность за период владения;

r_g – эквивалентная доходность за один период.

 

Представим, что акции, стоившие $46 за штуку в начале первого года, принесли за этот год дивиденды в размере $1,50, в конце года стоившие $50, принесли в следующем году дивиденды в размере $2 и к концу второго года котировались уже по курсу $56. Какова же доходность акций за период владения в два года?

Чтобы упростить расчеты, предположим, что все выплаты дивидендов были произведены в конце года. Тогда на означенные $1,50, полученные в течение первого года можно было купить в конце этого года 0,03 ($1,50/$50) акции. Разумеется, на практике это было бы осуществимо, только если бы деньги были объединены с другими аналогично вложенными ценными бумагами, например, во взаимный фонд (дивиденды по 100 акциям могли бы использоваться для покупки трех дополнительных акций). Как бы то ни было, по каждой акции, приобретенной первоначально, инвестор мог бы получить за второй год дивиденды в размере $2,06 (1,03 х $2) и к концу второго года располагать акционерным капиталом стоимостью $57,68 (1,03 х $56). Конечная стоимость составила бы, таким образом, $59,74 ($57,68 + $2,06), отсюда относительная стоимость будет равна:

 

 

Доходность за период владения составила, таким образом, 29,87% за два года. Это эквивалентно (1,2987)¹/₂ - 1 = 0,1396, или 13,96% годовых.

При альтернативном методе вычисления показатели определяются как аналогичные величины за отдельные периоды. Например, если V₀ - первоначальная стоимость, V₁ – стоимость в конце первого года, V₂ - стоимость в конце второго года, то:

 

 

Более того, нет никакой необходимости увеличивать число акций от одного периода к другому, поскольку данный фактор (1,03 в приведенном примере) просто сокращается в соотношениях, относящихся к последующим периодам. Каждый период можно проанализировать отдельно, вычислить соответствующую величину, а затем их перемножить.

В нашем примере обладание в течение первого года акциями с первоначальной стоимостью $46 привело в конце года к получению акций и денег на сумму $50 + $1,50. Таким образом:

 

 

К концу второго года обладания акциями первоначальной стоимостью $50 было получено акций и денег на сумму $56 + $2. Таким образом:

 

 

Тогда относительная стоимость для двухгодичного периода владения будет равна:

 

1,1196 х 1,16=1,2987,

 

что равняется стоимости, полученной ранее.

Относительную стоимость каждого периода можно рассматривать как [1 + доходность] за этот период. Таким образом, доходность анализируемого акционерного капитала составила 11,96% за первый год и 16% за второй. Относительная стоимость за период владения есть произведение сомножителей вида [1 + доходность] за единичный период. Если речь идет об N периодах, то:

 

 

Чтобы преобразовать полученный результат в доходность за время владения в расчете на один период с учетом начисления сложных процентов, вы можете вычислить среднегеометрическую доходность (geometric mean return) за отдельные периоды:

 

 

На этой общей основе можно производить и более сложные расчеты. Каждая выплата дивидендов может использоваться для приобретения акций немедленно по получении или же, наоборот, может быть оставлена на сберегательном счете до конца периода в целях получения процентов. Можно также учитывать брокерскую комиссию (за совершение сделки) и другие расходы, связанные с реинвестированием дивидендов, хотя размеры таких расходов, несомненно, будут зависеть от общего объема рассматриваемых вложений. Приемлемая степень сложности будет, как всегда, зависеть от того, в каких целях исчисляются эти характеристики.

К сожалению, наиболее подходящий период владения зачастую столь же неопределен, как и доходность для заданного периода владения. Ни положение дел инвестора, ни его предпочтения, как правило, не могут быть предсказаны с определенностью. Более того, с точки зрения стратегии управляющий портфелем клиента хотел бы держать данную ценную бумагу только до тех пор, пока она превосходит по своим показателям имеющиеся альтернативы. Попытки заранее установить периоды редко приносят полный успех, однако менеджеры (и это вполне естественно) не оставляют этих попыток. Доходность за период владения, так же как и доходность к погашению, является полезным способом упрощения сложной реальности инвестиционного анализа. Не являясь универсальным средством, она позволяет аналитику сфокусировать свое внимание на наиболее подходящем в данной ситуации временном промежутке и дает ему в руки хороший критерий.

 

6.5.2 Оценка ожидаемой доходности за период владения

 

Вычислить доходность за период владения задним числом не так уж и сложно. Совсем другое дело – определить ее заблаговременно. Тут необходимо учитывать любую неопределенность, связанную с выплатами по ценной бумаге, осуществляемыми эмитентом в течение периода владения. Однако это, как правило, намного проще, чем вычислить рыночные стоимости в конце периода владения, которые нередко определяют большую долю совокупной доходности. К примеру, может показаться, что предсказать доходность на следующий год по акциям Xerox очень просто. Действительно, предсказать размеры выплачиваемых дивидендов зачастую сравнительно легко. Но стоимость в конце года будет зависеть от отношения инвесторов к данной компании и ее акциям к этому времени. Для того чтобы предсказать доходность даже за одногодичный период, придется рассмотреть период куда более длительный и определить не только будущее компании, но и будущее отношение инвесторов к ней, что крайне сложно.

Совершенно очевидно, что при определении доходности за период владения необходимо так или иначе учитывать фактор неопределенности. Если требуется одна-единственная оценка, то она должна удовлетворять вышеизложенным принципам. Несомненно, что ожидаемая величина должна быть получена при рассмотрении различных возможностей наряду с их вероятностями. Более конкретно, ожидаемая доходность за период владения ценной бумагой исчисляется как средневзвешенное возможных доходностей за период владения с использованием вероятностей в качестве весов².

 

6.6 Ожидаемая доходность и оценка ценных бумаг

 

Существует весьма простая взаимосвязь ожидаемой доходности за период владения, ожидаемой стоимости в конце периода и текущей стоимости:

 

 

Таким образом:

 

 

Итак, для того чтобы определить стоимость ценной бумаги, необходимо оценить ожидаемую стоимость в конце периода владения и ожидаемую доходность за период владения, которая является подходящей для данной ценной бумаги.

Заключительная фаза – решающая. Что такое подходящая ожидаемая доходность и от чего она зависит? Оставшаяся часть теории оценки ценных бумаг посвящена этому вопросу.

 

6.7 Краткие выводы

 

1. Оценка рискованных ценных бумаг включает в себя явный и неявный анализ обстоятельств, обусловливающих платеж по этим бумагам.

2. Обусловленный платеж – это гарантированный поток денежных средств, который будет иметь место в том и только в том случае, если возникает определенное обстоятельство (или совокупность обстоятельств).

3. Стоимость рискованной ценной бумаги можно было бы вычислить, суммируя взносы, соответствующие страховым полисам на каждый, обусловленный платеж, если бы такие полисы существовали в действительности.

4. Поскольку возможности применения подхода с использованием страховых полисов весьма ограничены, для инвестиционных целей чаще всего применяется метод оценки рискованных ценных бумаг, основанный на соотношении «риск–доходность».

5. Вероятностное прогнозирование включает в себя определение различных альтернативных результатов и вероятностей того, что они будут достигнуты. Такие прогнозы могут быть сделаны только на основе прошлых наблюдений или же путем сочетания наблюдений в прошлом с оценками будущего.

6. Распределения вероятностей отражают (в числах или графически) вероятности достижения различных возможных результатов.

7. «Дерево событий» описывает вероятности достижения последовательности альтернативных результатов.

8. Математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода служат характеристиками основной тенденции распределения вероятностей. В целом, математическое ожидание является наиболее предпочтительной характеристикой, так как учитывает все возможные результаты и соответствующие им вероятности.

9. Ожидаемая доходность к погашению облигации будет отличаться от обещанной в том случае, если хотя бы один из платежей по облигации имеет вероятностный характер. Разница будет варьировать в прямой зависимости от степени неопределенности этих платежей.

10. Ожидаемая доходность ценной бумаги за период владения представляет собой отношение математического ожидания всех денежных поступлений, связанных с данной бумагой за данный период времени (при условии реинвестирования указанных денежных поступлений по предполагаемой процентной ставке), к текущему рыночному курсу ценной бумаги.

 

Вопросы и задачи

 

1. 
   1.            Один из самых крупных букмекеров в Лас-Вегасе принял в марте ставки на те команды, у которых был шанс попасть на первенство страны по бейсболу. К примеру, вы могли поставить $10 на Minnesota Twins, полагая, что именно она будет представлять на первенстве Американскую лигу. Если бы эта команда действительно попала на первенство страны, выигрыш при такой ставке составил бы $1500, в противном же случае он бы равнялся нулю. Выигрыши при ставке в $1 на все команды основной категории Американской лиги составляли:
   

 

Команда	Выигрыш при ставке $1
Chicago White Sox	$180
Cleveland Indians	210
Kansas City Royals	60
Milwaukee Brewers	250
Minnesota Twins	150

а. Какова была приведенная стоимость $1, обусловленная событием: «Twins попадут на первенство страны»?

б. Какова была приведенная стоимость $1, обусловленная событием: «Brewers попадут на первенство страны»?

в. Почему ответы в пунктах (а) и (б) различны?

г. Если бы кто-нибудь предложил вам $1, когда любая команда Американской лиги попадет на первенство страны, сколько бы вы заплатили за такую ставку («ценную бумагу»)? Будь вы абсолютно уверены в том, что одна из этих команд попадет на первенство страны, дали бы вы другой ответ? Если да, то почему?

2. Mondovi Optical – мелкая фирма. Ее владелец Талли Спаркс обратился к местному банку с просьбой предоставить фирме двухгодичную ссуду размером $25 000. Государственное управление по делам мелких фирм готово полностью гарантировать такую ссуду за $1000 комиссионных. Если безрисковая двухгодичная процентная ставка равна 5% в год, то какова будет процентная ставка, которую банк должен назначить для Mondovi?

3. Почему при оценке рискованных ценных бумаг подход, связанный со страховыми полисами, так трудно применить на практике?

4. С позиции страховой компании приведите два примера неблагоприятного отбора и два примера морального риска.

5. Укажите, в чем различие между непрерывными и дискретными распределениями вероятностей.

6. В чем состоят преимущества и недостатки использования прошлых результатов инвестиций при оценке вероятностей достижения ожидаемых результатов для инвестиций в будущем?

7. Средняя годовая доходность обыкновенных акций с 1926 по 1993 г. по индексу S&P 500 составила 12,34%. Если 1 января 1994 г. вам бы потребовалось дать оценку ожидаемой доходности на индекс S&P 500 в следующем году, остановились бы вы на цифре 12,34%? Если да, то почему? Если нет, то почему?

8. Какое значение имеет «дерево событий» для принятия решений по инвестициям?

9. Возьмите для рассмотрения компанию Fort McCoy, акции которой в настоящий момент стоят $10 за штуку. Доуд Паскерт, специалист в области финансов, определил потенциальные курсы акций в конце года и сопутствующие вероятности для двух последующих лет:

Первый год Акции имеют 30% шансов подняться до $20, 60% шансов подняться до $12 и 10% шансов упасть до $8.

Второй год Если акции поднимутся за первый год до $20, у них будет 50% шансов подняться до $25 и 50% шансов упасть до $15. Если акции поднимутся за первый год до $12, у них будет 70% шансов подняться до $15 и 30% шансов упасть до $10. Если акции упадут за первый год до $8, у них будет 40% шансов упасть до $4 и 60% шансов подняться до $12.

а. Нарисуйте «дерево событий» применительно к акциям компании Fort McCoy.

б. На основе данного «дерева событий» вычислите ожидаемый курс акций в конце второго года.

10. Вычислите ожидаемую доходность, моду и медиану доходности акций, характеризующиеся следующим распределением вероятностей:

 

Доходность	Вероятность реализации
-40%	0,03
-10	0,07
0	0,30
15	0,10
30	0,05
40	0,20
50	0,25

 

11. Фирма Bear Tracks Schmitz определила следующее распределение вероятности выплаты дивидендов по акциям Mausfon Inc. в будущем году. Каково, по оценке Bear Tracks, математическое ожидание дивиденда этой компании?

 

Дивиденд	Вероятность
$1,90 1,95 2,00 2,05 2,10 2,15	0,05 0,15 0,30 0,30 0,15 0,05

 

12. Распределение вероятностей на рис. 6.6(б) «смещено вправо». Объясните, почему математическое ожидание распределения больше, чем медиана, которая в свою очередь больше моды.

13. Дьюпи Шоу, специалист по ценным бумагам с фиксированным доходом, рассматривает облигацию, выпущенную корпорацией Wyeville. Срок погашения облигации - один год, после чего корпорация обязуется выплатить $100. Ее текущий курс составляет $90. Дьюпи Шоу полагает, что Wyeville может и не выплатить полностью $100 в конце года. Дьюпи оценил следующее распределение вероятностей для размеров платежей по итогам года:

 

Выплата	Вероятность
$82 90 95 98 100	0,05 0,10 0,30 0,30 0,25

 

Какова, по оценке Дьюпи Шоу, ожидаемая доходность к погашению облигации Wyeville?

14. Если инвестиция приносит 7% годовых, сколько времени потребуется на то, чтобы стоимость инвестиции удвоилась?

15. Пол Перрит приобрел 100 акций Waunakee Inc. и держал эти акции в течение четырех лет. Доходности за период владения за эти четыре года составили:

 

Год	Доходность
1 2 3 4	+20% +30 +50 -90

 

а. Какова относительная стоимость инвестиций Пола Перрита за четырехлетний период?

в. Какова среднегеометрическая доходность его инвестиции за четырехлетний период?

16. Акции Stoughton Services стоят в настоящий момент $40. Ожидается, что выплата по ним в течение нескольких последующих лет составит $2 в год. Только что был выплачен дивиденд. Пинки 0'Нил предполагает, что через два года акции Stoughton поднимутся до $50. Реинвестиционная ставка составит 5%. Какова при таком ожидаемом результате эквивалентная годовая доходность от обладания этими акциями в течение двухлетнего периода?

17. Определите, в чем состоит разница между ожидаемой доходностью за период владения и доходностью к погашению.

 

Примечание

 

¹ Термин «относительная цена» (price-relative) обозначает отношение курса ценной бумаги в данный день к курсу на предшествующий день. Это отношение совпадает с относительной стоимостью, если между этими двумя указанными днями не имели место успешные поступления, связанные с этой ценной бумагой.

² Ожидаемая доходность является также математическим ожиданием доходов за период владения, отсюда название подхода – «вариация средней», которая является краеугольным камнем в современной теории инвестиционного портфеля.

 

Ключевые термины