МОДУЛЬ 5. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

МОДУЛЬ 5. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

Формально погрешность можно представить выражением

 = X – Q, (5.1)

где  – абсолютная погрешность измерения;

В РМГ 29 – 99 отмечается, что истинное значение величины всегда остается неизвестным (его применяют только в теоретических исследованиях) и на практике вместо него используют действительное значение величины х_д в результате чего погрешность измерения Δx_изм определяют по формуле

где x_изм — измеренное значение величины.

Во избежание недоразумений следует обратить внимание на недостаточную строгость выражения (5.2) и различия между идеализированным понятием «погрешность измерения» и возможностью ее оценки. Термин действительное значение физической величины (действительное значение величины, действительное значение) – значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него (РМГ 29 – 99) определенности выражения (2) не повышает, поскольку для разных задач действительные значения x_изм могут существенно различаться. Так при арбитражной перепроверке результатов приемочного контроля деталей погрешности измерений должны быть значительно меньше, чем при самой разбраковке.

Нестандартным синонимом термина «погрешность измерения» является термин ошибка измерения, применять который не следует, поскольку использование нестандартных терминов взамен стандартных свидетельствует о недостаточной грамотности. Кроме того, с филологических позиций ошибка связана с нарушением процедуры измерений и должна быть устранена, в то время как погрешность является неустранимым атрибутом результата измерения.

Классификация погрешностей измерений может осуществляться по разным классификационным признакам (основаниям), например:

• 
  по источникам возникновения (например, инструментальные погрешности, субъективные погрешности),
  
• 
  по степени интегративности (интегральная погрешность и составляющие погрешности, например инструментальную погрешность можно рассматривать как составляющую интегральной погрешности измерения);
  
• 
  по характеру проявления или изменения от измерения к измерению (случайные, систематические и грубые),
  
• 
  по значимости (значимые, пренебрежимо малые),
  
• 
  по причинам, связанным с режимом измерения (статические и динамические),
  
• 
  по уровню имеющейся информации (определенные и неопределенные),
  
• 
  по формам выражения (абсолютные и относительные погрешности),
  
• 
  по формам используемых оценок (среднее квадратическое значение, доверительные границы погрешности и др.).
  

Поскольку деление погрешностей по источникам их возникновения не является самоцелью, а используется для выявления составляющих, наиболее часто используется и представляется достаточно логичной следующая классификация:

• 
  погрешности средств измерений (они же «аппаратурные погрешности» или «инструментальные погрешности»);
  
• 
  методические погрешности или «погрешности метода измерения»;
  
• 
  погрешности из-за отличия условий измерения от нормальных («погрешности условий»);
  
• 
  субъективные погрешности измерения («погрешности оператора», или же «личные» либо «личностные» погрешности).
  

Фактически к инструментальным погрешностям относятся погрешности всех применяемых в данных измерениях технических средств и вспомогательных устройств, влияющих на результат измерений, включая погрешности прибора, мер для его настройки, дополнительных сопротивлений, шунтов, установочных узлов или соединительных проводов и т.д. Например, при измерении массы на весах методом сравнения с мерой к погрешности весов добавляются погрешности гирь. Для измерения длины достаточно часто используют высокоточные узкодиапазонные приборы, которые настраивают по концевым мерам длины, погрешности которых тоже являются инструментальными.

Рассмотрим измерение диаметра d детали индикатором часового типа на стойке (рисунок 5.1).

Инструментальные погрешности складываются из погрешностей самой измерительной головки 1, погрешностей стойки 2 и погрешностей блока плоскопараллельных концевых мер длины 3, на который настраивался прибор. В свою очередь каждую из приведенных инструментальных составляющих погрешности измерения можно разбить на элементарные составляющие. Например, погрешность измерительной головки 1 включает в себя множество составляющих, которые зависят от ее конструкции. Погрешности составляющих элементов стойки 2 (колонка, кронштейн, рабочая поверхность стола) приводят к неправильному ориентированию прибора и детали, в результате чего линия измерения не совпадает с ее номинальным направлением. Погрешности блока 3 плоскопараллельных концевых мер длины, на который настраивался прибор, определяются погрешностями каждой из мер блока и погрешностями их притирки.

Чтобы не связывать напрямую «методы измерений» и «погрешность метода», поскольку такой связи не существует, предпочтительно рассматриваемый класс погрешностей называть «методическими погрешностями». Методические погрешности могут возникать из-за несоответствий реальной методики выполнения измерений идеальным теоретическим положениям, на которых основаны измерения. Эти погрешности в свою очередь делятся на две группы:

• 
  погрешности из-за некорректной идеализации измерительного преобразования;
  
• 
  погрешности из-за некорректной идеализации объекта измерения.
  

Рассмотрим примеры погрешностей первой группы. При косвенных измерениях диаметров больших деталей часто рулеткой измеряют длину окружности, а затем рассчитывают диаметр. Здесь теоретическая погрешность будет присутствовать в любом случае из-за округления трансцендентного числа . По этой же причине образуются методические погрешности при измерении площади круглых сечений, объема тел с такими сечениями и плотности их материала.

Измерение параметров электрической цепи специально подключаемым прибором приводит к некоторому изменению структуры цепи из-за подключения дополнительной нагрузки. Результаты измерений электрических параметров объектов могут искажаться также из-за наличия присоединительных проводов, меняющихся переходных сопротивлений в местах присоединения чувствительных элементов (щупов или клемм) измерительных приборов.

Измерение массы взвешиванием на рычажных весах с гирями в воздушной среде, как правило, осуществляют без учета воздействия на меры массы и объект выталкивающей архимедовой силы, которой бы не было при взвешивании в вакууме.

Измерение температуры воды в стакане жидкостным термометром, погружаемым в налитую горячую воду, фактически приводит к измерению температуры «объединения вода + термометр», которая отличается от исходной из-за потерь энергии на выравнивание температур тел «композиции».

В большинстве случаев погрешности из-за принятых допущений пренебрежимо малы, но в случае прецизионных измерений их приходится оценивать и учитывать или компенсировать.

Возможной причиной погрешностей второй группы являются погрешности из-за несоответствия объекта измерения идеализированной модели, положенной в основу процесса измерения.

При измерении азимута по магнитному компасу методическая погрешность возникает из-за несовпадения магнитных и географических полюсов Земли, пренебрегая которым мы идеализируем объект измерения.

Появление методической погрешности второй группы (погрешности из-за некорректной идеализации реального объекта измерений) можно также рассмотреть на примере измерения диаметра номинально цилиндрической детали станковым прибором (измерительной головкой на стойке). В частности, измерение детали с седлообразной поверхностью приведет к появлению методической погрешности, примерно равной отклонению образующей от прямолинейности (рисунок 5.2). Анализ приведенного примера показывает, что некорректная идеализация формы объекта при линейных измерениях может привести к возникновению методических погрешностей, которые могут существенно превышать инструментальную составляющую.

При измерении плотности номинально компактного и однородного твердого тела неидеальность объекта может быть связана с наличием необнаруженных полостей или инородных включений.

Перечень видов неидеальности объектов может быть значительно расширен. Например, значения параметров твердости и шероховатости поверхностей деталей, химический состав материала детали, определяемые на конкретном участке, могут отличаться от параметров на других участках той же поверхности. Температура в объеме жидкости или газа практически всегда различается по слоям (температурные градиенты), скорость жидкости или газа в потоке в разных сечениях неодинакова (градиенты скорости) и т.д.

Погрешность (измерения) из-за изменений условий измерения – составляющая систематической погрешности измерения, являющаяся следствием неучтенного влияния отклонения в одну сторону какого-либо из параметров, характеризующих условия измерений, от установленного значения.

Примечание — Этот термин применяют в случае неучтенного или недостаточно учтенного действия той или иной влияющей величины (температуры, атмосферного давления, влажности воздуха, напряженности магнитного поля, вибрации и др.); и др.

Как и в предыдущем случае, определение содержит неправомочное указание на систематический характер погрешности. Кроме того, погрешности связывают с неучтенным отклонением влияющей величины в одну сторону (а как быть с ее колебанием при многократных измерениях?). «Неучтенное или недостаточно учтенное действие (влияние)» не имеет никакого смысла в определении источника погрешности – это проблема обнаружения и оценки погрешности. Под неправильной установкой средств измерений, нарушением правил их взаимного расположения, скорее всего, понимают возможность нежелательного воздействия на средства измерений силы тяжести, взаимное воздействие на приборы их собственных полей (точнее, воздействие присущих этим полям влияющих величин).

Наиболее логичным представляется термин «погрешности из-за отличия условий измерения от идеальных (от нормальных)». Обычно такие погрешности называют «погрешностями условий», что не совсем корректно, но подразумевает то же содержание. Фактически эти погрешности имеют место тогда, когда не удается выдержать нормальные условия измерений.

Нормальные условия связаны с понятием влияющих физических величин. Влияющая физическая величина – физическая величина, оказывающая влияние на размер измеряемой величины и (или) результат измерений. Определение неудачное и требует расшифровки: фактически под влияющими физическими величинами понимают те, которые не являются измеряемыми, но оказывают влияние на результаты измерений, воздействуя на объект и/или средства измерений

Пределы допустимых изменений таких величин или их отклонений от номинальных значений нормируют либо нормальной областью значений (для обеспечения нормальных условий измерения) или рабочей областью значений (для обеспечения рабочих условий измерений). Поскольку при нормальных условиях измерений влияющие величины могут отличаться от номинальных (идеальных) значений, вызванные этими отличиями погрешности обязательно возникают. Однако нормальные условия назначают таким образом, чтобы «погрешности условий» оказались пренебрежимо малыми, например, по сравнению с инструментальными составляющими. В таком случае «погрешности условий» можно считать практически равными нулю.

К погрешностям из-за несоблюдения нормальных условий измерений следует отнести все составляющие погрешности измерения, которые вызваны воздействием на измеряемый объект и средства измерений любой влияющей физической величины, выходящей за пределы нормальной области значений. Влияющие физические величины обычно обусловлены температурными, электромагнитными и другими полями в рабочей зоне (измерительная позиция и ближайшее окружение), давлением воздуха, его избыточной влажностью, наличием вибраций на рабочем месте, где выполняются измерения.

Есть множество факторов, которые могут не привести или привести к искажению самой измеряемой величины и (или) измерительной информации о ней. Например, изменение температуры тела не приводит к изменению его массы, но вызывает изменения линейных размеров, изменения сопротивления прохождению электрического тока. Повышенная влажность не влияет на размеры металлических деталей, но может привести к изменению размеров и массы изделий из гидрофильных материалов, которые впитывают влагу из окружающей атмосферы (вот почему в упаковки товаров иногда вкладывают пакетики с силикагелем).

Поиск влияющих величин осуществляется при анализе конкретной методики выполнения измерений. В процессе проведения анализа следует внимательно относиться к «дополнительным погрешностям средств измерений», возникающим из-за действия влияющих величин, поскольку учет только этих составляющих может привести к «потере» результатов воздействия тех же влияющих величин на объект измерения.

«Погрешности условий» могут возникать либо из-за постоянного или закономерно изменяющегося отличия влияющей величины от ее номинального значения, либо из-за стохастических колебаний этой величины. Например, если рассматривать температурные погрешности, то они могут возникать из-за стабильного отличия температуры от нормальной (так при измерениях длины температура детали 25 ^оС, а не 20 ^оС вызовет постоянную температурную погрешность), а постепенный рост температуры в помещении от начала к концу рабочей смены приведет к переменной температурной погрешности. Кроме того, как бы мы ни старались поддерживать постоянную температуру, никакие технические устройства не обеспечат ее абсолютной стабильности в помещении. Невозможно полностью компенсировать воздействия ряда случайных факторов вне и внутри рабочего помещения (изменение теплообмена при движении воздушных масс, воздействии солнечных лучей, вносе и выносе деталей, перемещении операторов и заказчиков, включении и выключении приборов и т.д.). В результате возникают стохастические колебания температуры и случайно изменяющаяся составляющая температурной погрешности.

В примечании дополнительно сказано: «Встречаются операторы, которые систематически опаздывают (или опережают) снимать отсчеты показаний средств измерений». Безобразный стиль оставим на совести авторов нормативного документа, отметим только назойливое желание в очередной раз приписать погрешностям от некоторого источника систематический характер.

Субъективные погрешности включают погрешности отсчитывания и погрешности манипулирования средствами измерений и измеряемым объектом. При измерениях часто приходится оперировать устройствами совмещения, настройки и корректировки нуля, арретирования, устройствами базирования средства измерений и измеряемого объекта, устройствами присоединения средства измерений к объекту для снятия сигнала измерительной информации (чувствительными элементами). Такие манипуляции часто приводят к погрешностям, особенно существенным у операторов с недостаточно высокой квалификацией.

Погрешности отсчитывания возникают при использовании аналоговых средств измерений с устройством выдачи измерительной информации типа «шкала-указатель». При положении указателя между отметками шкалы отсчитывание осуществляется либо с округлением до ближайшего деления, либо с интерполированием доли деления на глаз. Погрешность округления результата до целого деления составляет не более половины цены деления отсчетного устройства, а при интерполировании доли деления погрешность отсчитывания еще меньше и обычно составляет не более 1/10 части цены интерполируемого деления. При удачной эргономике отсчетного устройства у опытных операторов погрешность отсчитывания не превышает 1/20 части цены деления.

В случае, если плоскости шкалы и указателя не совпадают, возможно возникновение погрешности отсчитывания из-за параллакса при «косом» направлении взгляда оператора. Для уменьшения погрешностей от параллакса используют методы сближения указателя со шкалой (скошенные кромки нониуса штангенциркуля и барабана микрометра, расположенный в плоскости шкалы световой указатель), а также искусственные приемы получения нормального угла зрения (специальные наглазники и налобники в оптических приборах, зеркальная полоска под шкалой электроизмерительных приборов и др.).

Очевидно, что погрешности отсчитывания в рассмотренной интерпретации (погрешности округления или интерполирования и погрешности из-за параллакса) не возникают при использовании приборов с дискретной выдачей информации на цифровых табло.

Принятое некоторыми авторами деление субъективных погрешностей на «погрешности присутствия», «погрешности отсчитывания», «погрешности действия» и «профессиональные погрешности» представляется неудачным. Поскольку под «погрешностями присутствия» понимают те, которые вызваны температурным (и другими) полями оператора, представляется более правильным в данном контексте рассматривать оператора всего лишь как один из источников возмущения, вызывающий искажение условий измерения. К «погрешностям действия» в подобной классификации почему-то не относят погрешности отсчитывания. Что касается «профессиональных погрешностей», то их связывают с квалификацией оператора. Очевидно, что не стоит выделять эти погрешности в особую классификационную группу: высокая квалификация оператора позволяет свести к минимуму как «погрешности действия» (погрешности манипулирования средствами и объектами измерений), так и погрешности отсчитывания. Особенностью высококвалифицированных операторов является преобладание в личностных погрешностях систематической составляющей, в то время как у операторов с малым опытом доминируют случайные погрешности. Аналогичное явление наблюдается при рассеянии результатов попадания в мишень у опытных и начинающих стрелков.

Распределение источников погрешностей можно проиллюстрировать на схеме измерения физической величины (рисунок 5.3).

В трактовке данной схемы взаимодействие средства измерений с измеряемым объектом определяет «метод измерения», следовательно, и методические погрешности. «Условия измерений» на схеме взяты в широком смысле и включают в себя не только влияющие величины, но и факторы, оказывающие отрицательное воздействие на оператора (недостаточная освещенность, шумовое загрязнение среды и др.). Тем не менее, оценивать «погрешность условий» все-таки предлагается только как результат действия влияющих величин (величина А воздействует только на измеряемый объект, В – на измеряемый объект и на средство измерений, С – только на средство измерений).

В метрологической литературе встречаются и другие классификации погрешностей измерений по источникам возникновения. Абсолютно строгой классификации источников погрешностей быть не может, поскольку воздействия источников переплетаются. Так методические погрешности в некоторой степени определяются выбранным средством измерений, условия измерений (если они связаны с теми влияющими величинами, которые оказывают воздействие на средства измерений) можно рассматривать как источник дополнительных инструментальных погрешностей, дискомфортные условия измерений приводят к увеличению субъективных погрешностей и т.д. Следует помнить, что классификации погрешностей в метрологии имеют четко определенное целевое назначение – использование при анализе методик выполнения измерений для выявления погрешностей и оценки их значений.

Погрешность измерения , которая всегда является интегральной погрешностью, образуется в результате объединения составляющих погрешностей от разных источников:

 = си* м *у *оп ,

где * – знак объединения (комплексирования а не алгебраического сложения), поскольку погрешности разного характера объединяют с использованием разных математических операций.

Каждый из источников может дать одну, либо несколько (в том числе и значительное число) элементарных составляющих. В последнем случае составляющая погрешность интегральной погрешности измерения сама является интегральной. В качестве примеров, иллюстрирующих множество составляющих в одном источнике, можно представить представленные выше результаты рассмотрения субъективной и инструментальной погрешностей.

В метрологической литературе встречаются разные классификации погрешностей измерений по характеру их проявления (изменения). Традиционным является деление погрешностей на случайные, систематические и грубые, и этот же подход принят в стандартах.

Тем не менее, однозначно распределить погрешности в соответствии с принятым в стандарте делением на систематические, случайные и грубые в ряде случаев не удается из-за неудачных определений и возможности произвольной их трактовки. Результаты нечеткого деления погрешностей приводят к явно нелепым ситуациям. Например, в некоторых источниках, включая РМГ 29 – 99, погрешности методические, «условий» и субъективные относят к систематическим. Такая позиция способствует образованию неправильного стереотипа, увязывающего характер составляющей погрешности с источником ее появления.

Очевидно, что одни и те же погрешности в некоторых случаях могут проявляться либо как систематические, либо как случайные. В литературе встречается и такой подход, который трактует распределение погрешностей на систематические и случайные только как один из приемов анализа. Принятие такой концепции равноценно признанию приписывания погрешностям любого произвольно выбранного характера проявления.

Реальное положение характеризуется фактическим наличием как детерминированных, так и случайных (стохастических) явлений, которые вызывают появление соответствующих погрешностей. Например, наряду с закономерным изменением длины стержня при повышении или понижении температуры широко известно броуновское движение, которое следует рассматривать как проявление стохастических (случайных) явлений, проходящих на молекулярном уровне. Надо признать также возможность объединенного воздействия множества явлений, которые по отдельности имеют функциональную природу, но в итоге комплексирования при измерениях приводят к появлению случайных результатов из-за неопределенности действующих факторов, малости воздействия каждого из них и неоднозначности объединения воздействий отдельных факторов. При большом числе действующих факторов такой механизм приводит к стохастическому характеру комплексных воздействий. Подобные механизмы действуют при бросании игральных костей, остановке запущенной рулетки, выбрасывании «лототроном» шара с определенным номером. Все описанные системы используют как генераторы случайных чисел.

Поскольку механизмы образования значительной части составляющих погрешности измерений сходны с механизмами формирования случайных величин, можно ожидать наличия в результатах измерений случайных погрешностей. Если это допущение оправдано, оно дает возможность использовать для обработки результатов измерений со случайными погрешностями аппарат теории вероятностей и математической статистики.

С другой стороны, очевидно наличие погрешностей с детерминированным механизмом образования. И средства измерений, и измеряемые объекты, и окружающая среда подчиняются физическим законам. Поэтому при взвешивании объекта на пружинных весах приходится считаться с широтой места взвешивания и его высотой над уровнем моря. В прецизионных измерениях по необходимости учитывают увеличение объема тел при нагревании, изменение диэлектрических свойств воздуха при использовании емкостных преобразователей или его оптических свойств при измерении длины лазерным интерферометром.

Анализ стандартных определений погрешностей измерения позволяет выявить их недостатки и откорректировать содержание широко применяемых терминов. Так определение систематической погрешности измерения страдает избыточностью и неоправданными ограничениями. По РМГ 29 – 99 систематическая погрешность измерения (систематическая погрешность) – составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Здесь акцентирующие слова «остающаяся постоянной» явно избыточны, поскольку постоянство является вырожденным случаем закономерных изменений. Упоминание повторных измерений одной и той же величины некорректно, так как систематика погрешностей может проявляться и при измерениях физических величин разных размеров. Так неправильная настройка прибора («сбитый ноль») приводит к появлению постоянной составляющей погрешности при любых измерениях, проводимых до изменения настройки.

К систематическим погрешностям измерений можно отнести те составляющие, для которых можно считать доказанным наличие функциональных связей с вызывающими их аргументами. Для них можно предложить следующее определение: систематическая погрешность – закономерно изменяющаяся составляющая погрешности измерений.

Формально это записывается в виде

_s = F (, ...),

где ,  – аргументы, вызывающие систематическую погрешность.

Главной особенностью систематической погрешности является принципиальная возможность ее выявления, прогнозирования и однозначной оценки, если удается узнать вид функции и значения аргументов.

В зависимости от характера измерения систематические погрешности подразделяют на элементарные и изменяющиеся по сложному закону. Элементарные погрешности можно условно разделить на постоянные, прогрессирующие (прогрессивные) и периодические. Прогрессирующими называют монотонно возрастающие или монотонно убывающие погрешности. Периодические погрешности – погрешности, изменение которых можно описать периодической функцией. Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, образуются при объединении нескольких систематических погрешностей.

Систематические погрешности представлены в графической форме на рисунке 4, постоянные – на рисунке 5.4а (_s = с, или _s = const), а переменные – на рисунках 5.4 б – е.

Ъ

Простейшие переменные систематические погрешности, которые аппроксимируют графиками без перегибов (фактически это монотонно изменяющиеся или прогрессирующие погрешности) показаны на рисунках 5.4 б – г, а периодические или гармонические погрешности – на рисунке 5.4е.

Всем известны «спешащие» и «отстающие» часы, погрешности которых прогрессируют во времени, но мало кто анализирует показания часов за полный оборот стрелки. Если оценивать погрешности за один оборот, то можно утверждать, что в результате многократного повторения вращения стрелки часов должны проявляться периодические погрешности, обусловленные эксцентриситетом, которые дважды достигают максимального значения (по модулю) и превращающиеся в нуль при завершении полного оборота.

Обычно для описания и для аппроксимации систематической погрешности подбирают наиболее простую функцию, например линейную для прогрессирующей погрешности. Такой же упрощенный подход применяют и для аппроксимации гармонической систематической погрешности, которая может быть описана как синусоида, косинусоида, пилообразная либо другая периодическая функция.

Систематическая погрешность может иметь не только элементарный, но и более сложный характер, который можно аппроксимировать функцией, включающей приведенные простые составляющие.

Сложная систематическая погрешность, включающая постоянную, прогрессирующую и периодическую составляющие, в общем виде может быть описана выражением

_s = a + b + dsin,

где a – постоянная составляющая сложной систематической погрешности;

,  – соответственно аргументы прогрессирующей и периодической составляющих сложной систематической погрешности.

Стандартное определение случайной погрешности измерения в строгом смысле не является определением, поскольку содержит «порочный круг»: составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины. Здесь опять использовано некорректное упоминание измерений одной и той же величины, а, кроме того, содержится бессмысленная характеристика качества выполнения измерений («проведенных с одинаковой тщательностью»).

Погрешности, которые нельзя отнести ни к случайным, ни к систематическим из-за совершенно иного механизма образования и принципиально отличного значения, называют грубыми погрешностями измерений или промахами. Промах – погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.

«Определение» промаха сформулировано весьма неудачно, поскольку понятие «резкого отличия» не является критерием и оставляет значительные возможности для произвола. Некорректным является упоминание «данных условий». Ссылка на «условия измерения» создает впечатление связи грубой погрешности с единственным источником – нарушением нормальности условий измерения. Очевидно, что причинами возникновения грубой погрешности могут быть промах оператора при снятии отсчета или его записи, ошибка в реализации методики измерений, сбой в измерительной цепи прибора или незамеченное импульсное изменение влияющей физической величины. Причины появления результатов с грубыми погрешностями резко выпадают из ряда механизмов, формирующих систематические или случайные составляющие погрешности измерений.

«Результат измерения с грубой погрешностью» фактически вызван ошибкой, допущенной при измерении, поэтому результаты с грубыми погрешностями следует признать ошибочными и подлежащими устранению.

В некоторых метрологических источниках грубые погрешности измерений относят к случайным, что соответствует вульгарной трактовке понятия случайности и маскирует различия механизмов возникновения собственно случайных и грубых погрешностей. Грубые погрешности в принципе непредсказуемы, а их значения невозможно прогнозировать с учетом вероятности как это делают для случайных погрешностей. Фактически к результатам с грубыми погрешностями относят либо такие, которые явно не соответствуют ожидаемому результату измерений (нелепые результаты), либо экстремальные значения, отличия которых от средних значений массива выражены не столь откровенно, но принадлежность которых к данному массиву результатов имеет весьма малую вероятность.

Отбрасывание (элиминация) результатов с грубыми погрешностями предупреждает возможность значительного искажения оценки результатов измерений. Исключение результатов может осуществляться либо цензурированием явно нелепых значений, либо статистическим отбраковыванием отдельных экстремальных результатов (подозрительных на наличие грубых погрешностей), которое основано на принципе практической уверенности. Применение этого принципа позволяет отбрасывать те значения, вероятность появления которых в исследуемом массиве данных меньше некоторого заранее выбранного значения.

По значимости все погрешности (составляющие и интегральные) можно делить на значимые и пренебрежимо малые. К пренебрежимо малым составляющим погрешностям относят погрешности, которые значительно меньше доминирующих составляющих. Формальное соотношение между пренебрежимо малой _min и доминирующей _max составляющими можно записать в виде

min << max.

Пожалуй, любую отдельную случайную или систематическую составляющую гарантированно можно отнести к пренебрежимо малым погрешностям, если она на порядок меньше доминирующей составляющей одной и той же интегральной погрешности. Пренебрежимо малые погрешности при объединении всех составляющих i в комплексную оценку интегральной погрешности  практически не оказывают влияния на окончательный результат, что формально можно записать как

 = ₁* ₂ *… *_i *… *n  ₂ *…*_i *… *_n,

где ₁ = min << max.

Пренебрежимо малой интегральной погрешностью измерения можно считать такую, которая не является препятствием для замены истинного значения физической величины полученным результатом. В соответствии с требованием РМГ 29 – 99 за действительное значение физической величины принимают такое значение, которое получено экспериментально (в результате измерений) и настолько близко к истинному, что для данной задачи измерений может заменить истинное ввиду несущественности различия между ними

где X _дQ – действительное значение физической величины;

Если различие между истинным значением физической величины Q и результатом ее измерения X_дQ мы считаем пренебрежимо малым, можно записать

где _дQ – погрешность измерения действительного значения физической величины.

Для одной и той же физической величины могут рассматриваться разные действительные значения. Близость их к истинному значению зависит от задачи, которая поставлена при измерении. Очевидно, что для установления годности объекта по заданному параметру точность измерения физической величины может быть значительно ниже, чем при исследовании точности технологического процесса обработки того же объекта или при сортировке однородных объектов на группы для последующей селективной сборки. Установление действительного значения измеряемой физической величины должно предваряться выбором допустимой погрешности измерений, которая и будет представлять собой предел пренебрежимо малого значения погрешности результата измерений.

В зависимости от режима измерения погрешности принято делить на статические и динамические. Статическая погрешность измерений (статическая погрешность) – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения. Динамическая погрешность измерений (динамическая погрешность) – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения. При этом под статическим понимают измерение не изменяющейся, а под динамическим – изменяющейся по размеру физической величины.

Стандартные «определения» фактически только именуют, но не определяют статическую и динамическую погрешности измерений. Непригодны для идентификации динамической погрешности и определения статической и динамической погрешностей средств измерений.

• 
  Динамическая погрешность средства измерений – погрешность средства измерений, возникающая при измерении изменяющейся (в процессе измерений) физической величины.
  
• 
  Статическая погрешность средства измерений – погрешность средства измерений, применяемого при измерении физической величины, принимаемой за неизменную.
  

В соответствии с ранее действовавшим стандартом динамической погрешностью средства измерений называлась составляющая погрешности, дополнительная к статической, и возникающая при измерении в динамическом режиме. В соответствии с определением

_дин = _д.р – _ст.р ,

где _дин – динамическая погрешность средства измерения;

_д.р – погрешность средства измерения при использовании его в динамическом режиме;

_ст.р – статическая погрешность средства измерения (погрешность при использовании средства измерений в статическом режиме).

Динамический режим измерений встречается не только при измерении изменяющейся величины, но и при измерении величины постоянной. И в том и в другом случаях (рисунок 5.5) возможна слишком высокая скорость «подачи информации» на средство измерений V_Q (скорость изменения сигнала измерительной информации на входе средства измерений), которая оказывается соизмерима со скоростью преобразования измерительной информации V_{Q X} и/или даже выше ее.

Например, в контрольно-сортировочных автоматах для измерения диаметров тел качения подшипников измеряется постоянная физическая величина – длина. Но из-за необходимости обеспечить высокую производительность автомата скорость изменения входного сигнала измерительной информации может оказаться выше скорости преобразования измерительной информации средством измерения. В таком случае из-за «запаздывания» с преобразованием сигнала возникают динамические погрешности (рисунок 5.6).

Поскольку речь идет не столько о средствах измерений, сколько об их работе в специфическим режиме, динамическую погрешность не следует считать инструментальной. Эту погрешность нужно рассматривать более широко – как составляющую итоговой (интегральной) погрешности, обусловленную динамическим режимом измерений.

Логически обоснованной представляется следующая укрупненная классификация погрешностей измерений по степени полноты информации об их характере и значениях:

• 
  определенные погрешности,
  
• 
  неопределенные погрешности.
  

Определенные погрешности при достаточной полноте информации могут быть исключены из результатов измерений. Теоретическая определенность систематических погрешностей делает возможным исключение этих погрешностей до измерений, в процессе измерений, а также при математической обработке результатов измерительного эксперимента после выполнения измерений.

В тех случаях, когда погрешность становится определенной, в результат измерений может быть внесена поправка – значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности. Знак поправки противоположен знаку погрешности. Иногда поправки вносят, используя поправочный множитель (например, в случаях, когда систематическая погрешность пропорциональна значению величины)

Исключение систематических погрешностей измерения не только из отдельных результатов измерений, но из целых серий, полученных при многократных измерениях одной и той же физической величины, в метрологии принято называть «исправлением результатов», а полученные при этом результаты – исправленными. Статистическая обработка массивов результатов измерений, образующих серии, недопустима без предварительного «исправления результатов», т.е. без исключения по крайней мере, переменных систематических составляющих погрешностей.

К неопределенным погрешностям следует отнести невыявленные систематические погрешности, а также погрешности случайные (собственно случайные) и грубые, значения которых не были определены экспериментально. При исключении определенных погрешностей абсолютная точность невозможна, поэтому приходится относить к неопределенным неисключенные остатки погрешностей.

Неисключенная систематическая погрешность – составляющая погрешности результата измерений, обусловленная погрешностями вычисления и введения поправок на влияние систематических погрешностей или систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие ее малости. (Иногда этот вид погрешности называют неисключенный остаток систематической погрешности).

Наиболее интересна здесь возможность анализа ансамбля неисключенных остатков систематических погрешностей как массива случайно распределенных величин. Парадоксальность ситуации заключается в том, что массив случайно распределенных величин состоит из погрешностей, каждая из которых является систематической. Однако, для того, чтобы получить такой ансамбль, в ряде случаев приходится прибегать к его специальной организации. Такой прием называют рандомизацией систематических погрешностей. Иногда рандомизация получается самопроизвольно, но для того, чтобы использовать для оценки таких погрешностей математический аппарат теории вероятностей и математической статистики, необходимо убедиться, что мы в действительности имеем дело со случайным распределением исследуемых величин.

Как и все другие погрешности, неопределенные систематические погрешности могут быть либо значимыми, либо пренебрежимо малыми. К значимым неопределенным систематическим погрешностям относятся те невыявленные систематические погрешности и неисключенные остатки систематических погрешностей, которые соизмеримы со случайными составляющими погрешности измерений.

Невыявленные систематические погрешности, существенно превосходящие случайные составляющие, могут возникать из-за ошибок, допущенных разработчиками методики измерений вследствие недостаточной метрологической квалификации, либо из-за низкой квалификации операторов, стабильно повторяющих неправильные операции при выполнении измерительной процедуры. Причинами таких погрешностей могут быть также значительные отличия условий измерений от нормальных, не замеченные из-за невнимательного отношения оператора. Невыявленные систематические погрешности, превосходящие случайные составляющие, могут привести к существенному искажению результатов измерений, что особенно опасно при выполнении прецизионных измерений со сравнительно малыми случайными составляющими погрешностей. В грамотно организованных измерениях значимые невыявленные систематические погрешности не имеют права на существование, они подлежат обязательному выявлению (переводу в определенные погрешности) и оценке либо исключению.

В принципе эти погрешности могут быть выявлены и исключены (как систематические), однако иногда они остаются невыявленными из-за сложности технического решения такой задачи (малые значения погрешностей, сложные закономерности их изменения и ограниченность информации). В подобных случаях необходимо оценивать предельные значения этих погрешностей или их порядок. Если измерения характеризуются наличием нескольких неисключенных остатков систематических погрешностей, для расчета результирующего («суммарного») значения неисключенных систематических погрешностей применяют аппарат теории вероятностей и математической статистики, в силу сходства механизмов формирования ансамбля этих погрешностей и случайных величин (допущение о самопроизвольной рандомизации).

Применение этого математического аппарата тем более оправдано в случаях, когда систематическая погрешность отдельной реализации является случайной величиной в ансамбле однородных событий. Например, систематическая погрешность конкретной меры массы (гири) является случайной для партии мер одного номинала и одного класса точности. Предельное значение (граница) такой погрешности может быть определена как граница поля допуска меры.

Проведенный анализ позволяет оценить правомочность применения стохастического подхода к таким детерминированным величинам, как неисключенные систематические погрешности. Статистическая обработка ансамбля неисключенных систематических составляющих приводит к появлению таких парадоксальных оценок, как значение среднего квадратического отклонения систематической составляющей погрешности и связанные с ним предельные значения или доверительные границы неисключенных остатков систематической погрешности с указанием доверительной вероятности, а также качественные оценки (принятая аппроксимация) закона распределения. Методы выявления и оценки таких погрешностей описаны в соответствующем модуле. Если полученные оценки значений неисключенных систематических погрешностей соизмеримы со случайными составляющими, расчет «суммарного» значения неисключенных остатков систематических погрешностей и учет их совместного со случайными составляющими влияния на результаты измерений должен осуществляться с применением специального аппарата математической обработки, который приведен в ГОСТ 8.207.

Неисключенными систематическими составляющими, значения которых существенно меньше случайных погрешностей (_s < 0,8), пренебрегают. Такие погрешности относят к пренебрежимо малым составляющим погрешности измерения (правомерно не исключенным остаткам систематических погрешностей). Принято считать, что их наличие не вносит существенных искажений в результаты статистической обработки экспериментальных данных. В подобных случаях результаты измерений, содержащие наряду со случайными составляющими неисключенные остатки систематических погрешностей, часто подвергают обычной статистической обработке, не отделяя погрешности друг от друга.

Общеприняты и практически непротиворечивы классификации погрешностей измерений по используемым формам выражения (рисунок 5.7). Фактически это классификация не самих погрешностей измерений, а именно форм их выражения.

_отн = /Q,

а при использовании именованной относительной погрешности, выраженной в процентах

_отн = (/Q)  100 %.

где  – абсолютная погрешность измерения;

Q – истинное значение физической величины.

Либо, принимая во внимание незначительное для данного выражения различие между истинным значением физической величины Q и результатом ее измерения X, можно записать

_отн  /X,

а также

Для характеристики средств измерений иногда используют такой специфический класс относительных погрешностей, как приведенные погрешности средств измерений (_прив), то есть отношение абсолютной погрешности к некоторой нормирующей величине (Q_норм)

_прив =  /Q_норм,

В качестве нормирующей величины могут использоваться верхний предел измерений, либо больший из модулей пределов измерений, если нулевое значение находится внутри диапазона измерений, а верхний и нижний пределы не одинаковы по модулю, и другие величины, оговоренные ГОСТ 8.401.

Формы оценок погрешностей, используемые в метрологии и в технических измерениях, весьма разнообразны. Они включают качественные характеристики и количественные оценки погрешностей измерений.

Качественные характеристики погрешностей в простейшем случае ограничиваются указанием их детерминированного или стохастического характера. Для систематических погрешностей дополнительно может быть указан характер зависимости (постоянная, прогрессирующая, периодическая), а при более полной информации – функция, описывающая изменение погрешности.

Для случайных погрешностей качественной характеристикой может быть аппроксимация функции плотностей распределения вероятностей. В метрологии приняты и наиболее часто применяются для аппроксимации нормальное распределение (распределение Гаусса), равновероятное, трапециевидное и распределение Релея. При необходимости используют и другие аппроксимации.

Случайная составляющая погрешности вызывает рассеяние результатов измерений, которое обычно обусловлено проявлением множества случайных причин и носит вероятностный характер. Рассеяние результатов в ряду измерений – несовпадение результатов измерений одной и той же величины в ряду равноточных измерений, как правило, обусловленное действием случайных погрешностей. Количественными оценками рассеяния результатов в ряду измерений могут быть:

• 
  размах результатов,
  
• 
  средняя арифметическая погрешность (по модулю),
  
• 
  средняя квадратическая погрешность или стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение, экспериментальное среднее квадратическое отклонение),
  
• 
  доверительные границы погрешности (доверительная граница или доверительная погрешность).
  

где X_max и X_min – наибольшее и наименьшее значения результатов измерений в серии.

Размах отклонений R_e от среднего или произвольно выбранного значения, который равен размаху результатов измерений определяют из зависимости

R_e = e_max – e_min,

где e_max и e_min – наибольшее и наименьшее отклонения результатов от некоторого фиксированного значения.

Более строгими в математическом смысле оценками погрешностей можно считать среднее арифметическое значение погрешности в серии результатов, значение средней квадратической погрешности (среднее квадратическое отклонение результата измерения от фиксированного значения точечной оценки), границы погрешности.




Средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду измерений (средняя квадратическая погрешность измерений; средняя квадратическая погрешность; СКП) – оценка рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения. В метрологической практике широко распространен термин среднее квадратическое отклонение (СКО) единичных результатов в ряду измерений от их среднего арифметического значения. Это отклонение иногда называют стандартной погрешностью измерений. Если в результаты измерений введены поправки для устранения систематических погрешностей, то отклонения от среднего арифметического значения можно рассматривать как случайные погрешности. В РМГ 29 – 99 предлагается для упорядочения совокупности терминов, родовым среди которых является термин «погрешность измерения», применять термин «средняя квадратическая погрешность». При обработке ряда результатов измерений, свободных от систематических погрешностей, СКП и СКО представляют собой одну и ту же оценку рассеяния результатов единичных измерений.

Границы погрешности могут быть определены как предельные значения или как доверительные границы с указанием вероятности попадания погрешности в указанный интервал. В качестве предельных значений или границ могут рассматриваться нижняя и верхняя границы (н и в либо – и +), значение модуля погрешности  (в случае если – = +) или значение модуля погрешности, равное большему из абсолютных значений – и +.

Доверительные границы результата измерений при симметричном распределении вычисляются как , , где , – средние квадратические погрешности, соответственно, единичного и среднего арифметического результатов измерений; t – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и числа измерений п. При симметричных границах термин может применяться в единственном числе – доверительная граница. Иногда вместо термина доверительная граница применяют термин доверительная погрешность или погрешность при данной доверительной вероятности.

Термин средняя квадратическая погрешность результата измерений среднего арифметического (средняя квадратическая погрешность среднего арифметического; средняя квадратическая погрешность; СКП) введен вместо ранее применявшегося термина среднее квадратическое отклонение результата измерений. Значение этой оценки погрешности рассчитывается как СКО случайной погрешности среднего арифметического значения результата измерений одной и той же величины в данном ряду измерений по формуле

где S — средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений, полученная из ряда равноточных измерений; п — число единичных измерений в ряду.

Для оценки погрешности с учетом неисключенных систематических составляющих погрешностей их оценки объединяют с оценками случайных составляющих. Комплексную оценку называют суммарная средняя квадратическая погрешность результата измерений (суммарная погрешность результата; суммарная погрешность) – погрешность результата измерений, состоящая из суммы случайных и неисключенных систематических погрешностей, принимаемых за случайные.

Комплексную оценку вычисляют по формуле

где – средняя квадратическая погрешность суммы неисключенных систематических погрешностей при равновероятном распределении (принимаемых за случайные).

Доверительные границы суммарной погрешности (x)_ могут быть вычислены по формуле

где ;

 – граница суммы неисключенных систематических погрешностей результата измерений, вычисляемая по формулам

при числе неисключенных систематических погрешностей слагаемых N ≤ 3, или, при числе слагаемых погрешностей N ≥4

где К – коэффициент зависимости отдельных неисключенных систематических погрешностей от выбранной доверительной вероятности Р при их равновероятном распределении.

Одной из современных характеристик точности измерений является неопределенность измерений (неопределенность) – параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые можно приписать измеряемой величине. К определению по РМГ 99, которое взято из VIM—93, приведены примечания, из которых следует, что параметром может быть стандартное отклонение (или число, кратное ему) или половина интервала, имеющего указанный доверительный уровень. Неопределенность, по мнению авторов документа, состоит (в основном) из многих составляющих. Некоторые из этих составляющих могут быть оценены экспериментальными стандартными отклонениями в статистически распределенной серии результатов измерений. Другие составляющие, которые также могут быть оценены стандартными отклонениями, базируются, на данных эксперимента или другой информации. Проблемы неопределенности измерений рассмотрены в отдельном модуле.