Лекция: 15 сағ СӨЖ: 15 сағ обсөЖ: 15 сағ Барлық сағат саны: 45 сағ
жүктеу/скачать 0.55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Ежелгі Шығыс ғылымы
- Мысыр математикасы
- Пифагордың негiзгi еңбектерi
- 9. СӨЖ тақырыптары
- 10. ОБСӨЖ тақырыптары
Жетісай-2005 жЛекция №1 Математика бастамалары. Математика және оның тарихы. Қазiргi ғылым оның iргетасы-математика заманының аса мәдени құбылысы, жалпы өркениетiмiздiң бөлiнбес маңызды бiр бөлiгi болып отыр. Сондықтан да тек болашақ математика пәнiнiң мұғалiмдерi ғана емес, бiлiм парасатқа ұмтылған әрбiр азаматтың ғылым тарихынан, әсiресе ғылым патшасы математика тарихынан белгiлi бiр дәрежеде хабардар болуы тиiс. Алайда, мәдениет тарихын баяндауға арналған еңбеутерде математика тарихына осы кезге дейiн жеткiлiктi көңiл бөлiнбей жүр. Ғылым тарихын зерттеп бiлудiң ғылымның өзi үшiн де маңызы зор. Көрнектi математика тарихшысы Поль Таннедiң сөзiмен айтсақ, тарихтың бiрден-бiр түпкi мақсаты оны зерттеп бiлу, болашақты нұрландыру деген. Мысалы тарихи тұрғыдан алып қарасақ, Ньютон 17 ғасырдағы физика-математика ғылымдарының ең көрнектiсi. Оның еңбектерiне қазiргi кездегi жаратылыстану ғылымдарының көп саласы негiзделедi. Ньютонның механикасы осы замандағы физикаға iргетасы қаланды. Ол қазiргi астрономияның да негiзiн салушылардың бiрi. Ньютон – жоғарғы математиканы жасаушылардың бiрi. Алайда ежелгi грек оқымыстылары – Архимед, Аполлогий, Птоломей еңбектерi болмасы, одан кейiн шыққан Галилей, Коперник болмаса, Ньютон болмас едi. “Мен жұрттан алысырақ көремiн, өйткенi мен алыптардың иығында тұрмын” – деп Ньютонның өзi айтқан екен. Ал Ньютон болмаса, ұлы Энштейннiң физикасы дүниеге келмес едi. Осындай сабақтастықтың заңдылықтарын зерттеп ашып, ғылыми жұртшылық пен қалың бұхараға жеткiзiп отыру – ғылым тарихы мен ғылым тарихшыларының негiзгi мiндетi.
ХІХ ғасырға дейін математика тарихы жөнінде қалам тартушы авторлардың көбісі сандар мен сандарға амалдар қолдану әрекетін құдайлар немесе кемеңгер философтар шығарған деп түсіндіріп келді. Өткен ғасырдағы ең мықты алгебрашылардың бірі Кронекер “бүтін сандарды құдай жасады, қалған дүниені адам жасады”, - дегені мәлім. Ескі аңыздарда сандарды біресе Пифагор, біресе Прометей немесе басқа бір пайғамбар шығарыпты-мыс деген тұжырымдар көпұшырасады. Бұлардың барлығы, әрине, ғылыми шындыққа келмейтін жалаң қорытындылар. Шындығында арифметиканың өзі айрықша ғылым бертінде қалыптасқанмен, оның басты ұғымы- сан ұғымы өте ертеде, адамзат жазу, сызуды білмеген заманда пайда болған. Адам баласының ең бірінші қолдана білген математикалық амалы санау болды. Тіпті аз ғана санды білетін жабайы тайпалардың өзі көп нәрседен тұратын жиындарды санауға дейін әрекет жасаған . Бұл жағынан қарағанда адам саннан бұрын-ақ “санауды”, “түгендеуді” деуге болады. Қайта осы санау, түгендеу әрекеттері негізінде сан ұғымы туады, біртіндеп кеңейеді. Ежелгі қазақтар төрт түлік малдарын санамай түгендеуі осының нақты мысалы. Ел аузындағы “түгендеймін санамай” деген сөз тіркесі осыны аңғартады. Осы сияқты олар кейде бір қора қойдың өзін жасына қарай бөліп, әрбір төлді бөлек-бөлек түстеп түгендейтін болған. Бұл әрине, өте ерте кездегі санау тәртібінен қалған сарқыншақтар. Түстеп түгендеу жас балалар әрекетінде де ұшырасады. Мәселен, 2-3 жастағы жас сәби ойыншықтарының түгел, түгел еместігін түсіне қарай біле алады. Осылай түстеп түгендеу кезінде санауға тиісті нәрселер жиынының (иттер тобы түйелер келесі немесе бір қора қой, ойыншықтар т.б.) ерекше бір қасиеті ретінде танылады. Ол қасиет біріншіден, осы жиынның бүтіндігін, тұтастығын екіншіден, сол нәрселерден құралған басқа жиындармен салыстырғанда аз-көптігін білдіреді. Алайда, көз мөлшермен санау практикасы адам баласының мұқтаждығын аса қанағаттандыра алмаған. Түстеп санау арқылы түгенделетін заттың көп-аздығы, бары-жоғы ажыратылғанмен, санмен келтірілген басқа негізгі міндеттерді (мәселен, “мен 20 қоян әкелдім” дегенді білдіру сияқты) орындау мүмкін болмады. Мұндай жағдайда адамдар саусақпен санауға ұмтылған. Торрес бұғазының батыс жағалауын мекендейтін кейбір (австриялық) австралиялық жабайы тайпалар дене мүшелері арқылы 33-ке дейінгі санды өрнектей алады екен. Егер саналатын заттар 33-тен асып кетсе, олар таяқшаларды пайдаланады. Ертеде қойшылар таяқтарына баққан қойының санына сай келетін кертікшелер белгілеу арқылы қойының есеп қисабын алып отырған. Бұл қарсаңдада сан тең мөлшерлі жиындардың бәріне ортақ, тұрақты қасиетін көрсететін ерекше математикалық ұғым болып қалыптаса қоймайды. Мұнда тек бір жиындағы нәрселер сондай мөлшерлі басқа бір жиынмен ауыстырылды. Мысалы, қорадағы қой саны мен таяқтағы кертік саны мөлшерлес. Санмен санаудың дамуында тағыда бір нәрсе-тең мөлшерлі жиындар, топтар ішінен айрықша біреуін сайлап алу. Мәселен, белгілі бір топты бес нәрсенің барын білдіру үшін бір қолдың саусақтарын көрсету жеткілікті болған. Бұл жерде қол саусақтарының жиыны ерекше жиын түріне қарастырылып, осыған тең мөлшердегі басқа жиындар мөлшерін анықтау негізге алынған. Бір топтың сан мөлшерін екінші топтың сан мөлшерімен салыстырып, санау практикасы сан ұғымының қалыптасуындағы басты факторлардың біріне айналады. Санау әрекеттеріндегі осы беталыстың, бағыттың біртіндеп натурал сандар ұғымы қалыптаса бастады. Сан ұғымы баяу дамыды, сандар шекерасы біртіндеп кеңіді. Тілінде тек бір мен екі сандары ғана бар, жабайы тайпалар қәзірдің өзінде ішінара кездесіп қалады. Әлігінде айтылған, Торрес бұғазының тайпалары 1-ді уратун, 2-ні оказа,-уратун, 4-оказа-оказа-оказа, 5-оказа-оказа-уратун, 6-оказа оказа-оказа деп санаған, одан артық сандарды “көп” “сан жетпес” дейді екен. Осындай сандардың белгілі бір шекарасы баяғыда әр халықта да болған. Мысалы, біраз елдерде жеті саны ең үлкен сан болғандықтан көрсететін көптеген сөз тіркестері бар. Жеті өлшеп, бір кес, “жетеу жалғыздығы” күтпес, “соқа айдаған біреу, қасық ұстаған жетеу”, “жеті су” т.с.с. Осы сияқты қазақ тілінде де 40 саны бір кезде сандар шекарасы болғанын сипаттайтын сөздер көп кездеседі, “40 шілтен”, “40 уәзір”, “30 күн ойын”, “40 күн тойы”, “Қырық құрақ”, “қырық жамау”, “40 жыл қырғын болса да, ажалды өледі” т. б. Қоғамдық өндірістің өркендеуі, өндірілген өнімнің молаюы, тайпалар, қауымдар арасындағы саяси-шаруашылық қарым-қатынастардың ұлғаюы санның, оған әр түрлі амалдар қолданудың дамуына әсер етті, сандардың жоғары шекарасы біртіндеп кеңейе келіп, натурал сандар қатары түзілді. Бертін келе натурал сандардың әрқайсысын белгілі бір жүйемен атау, таңбалау күн тәртібіне қойылды. Міне, осылай түрліше санау жүйесі немесе нөмірлеу қалыптасты. Санау жүйелерінің ішіндегі тарихи жағынан ең алғашқысы және ең қарапайымы-екілік жүйе. Қәзір жаппай қолданылып жүрген санаудың позициялық ондық жүйесі, яғни он цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 арқылы кез-келген сандық өрнек жүйесі бізге көне үнді жұртынан мирас болып қалған. Сан ұғымының қалыптасуымен қатар сандарға төрт амал қолдану әрекеті туып жетілді. Сан ұғымы ендігі жерде бөлшек сан түрінде дамыды. Бөлшектер бүтін оң сандар сияқты күнделікті тұрмыс қажеттілігінен шыққан. Түрліше ұзындық, аудан, көлем, уақыт т.б. сондай шамаларды өлшеу барысында олар есептеу практикасында қолданыс тапты. Лекция №3 Ежелгі Шығыс ғылымыАдам баласының әлем сырларын терең түсініп, бірте-бірте білімді және өнерлі болуына ертедегі шығыс елдерінің қосқан үлестері ерекше Ғалым мен мәдениеттің барша саласында мәңгі өшпес мұра қалдырған ежелгі грек ғалымдары( бізден 200-250 жыл бұрын өмір сүрген ) өздерін ежелгі Шығыс ғұламаларының шәкірттері санаған . Олар әсіресе Мысыр және Воьилон сияқты Шығыстың көне елдерінде жасалған ғылыми Мирастардан “Үлгілі, тәлім алып отырған ” тарихшылар атасы аталған грек оқымыстысы Герадоттың “ Мысырда Ніл өзеннінің дүркін-дүркін тасуы салдарынан су басқан егістік жерлерді үнемі дәл өлшеп, қайта бөлісу мұқтаждығы геометрияны туғызады. ” деп айтқандары дәлел болады. Гректердің астраномиялық білімдерінің де бастауы ежелгі Вавилон астраномдарының еңбектерінде жатыр. Гректің ұлы астраномдары Гиппарх, Птоломейдің өздері ескі Вавилондарда жүргізілген астраномиялық бақылаулардың нәтижесін еске алып отырған. Мысырлықтардан бізге ғылыми тарихи т. б. Мағлұматтар жазылған көптеген пипирустар келіп жетті. Папирус дегеніміз ежелгі Мысыр жерінде көп өсетін папирус деп аталатын өсімдіктен жасалған аса берік те төзімді жазу матиралы ежелгі Мысыр оқымыстары өздерінің ғылыми еңбектерін осындай папирустарға жазып қалдырған. Ал Вавилондықтардан біздерге мыңдаған сына жазулар (Клинописьтер ) қалды. Олар жазулармен есептерді арнайы дайын балшық сына арқылы жазып, ұзақ сақталуы үшін оларды отқа күйдіретін болған. Осы кезде мысыр құрылысы аса күшті қарқымен жүреді , жер өлшеу қажетті күшейді теңізде жүріп, жан-жақпен кеңінен экономикалық – саяси байланыс жасау мүддесі туады. Осы айтылғандардың бәріғылыми білімдерді көптен қажет етіп, ғылымның шығуына, дамуына қолайлы әсер етеді. Сондықтанда мысырлықтар жаратылыстан, математика жөніндегі білімдері тинақтап меңгеруде көрнекті табыстарға жетеді. МЫСАЛЫ: Сүмбіле жұлдызының орнын батып тууын зеріттей келіп, олар бір жылда 365 күн бар екенін аңғарады. Осы негізде Мысыр күн парағы жасалады Мысырлықтар күн сағатын, кейіннен су сағатын жасайды, олар математикалық фактілердің, әдістерінің жиналып қалуына айта қаларлықтай еңбек сіңіреді. Вавилондықтар жұлдыздар мен планеталарды ажырата білген. Өздеріне белгілі бес планетаға ат қойып, айдар таққан Меиінен гректер ол планеталардың атауларын олардан аударып өз тілінде аталған. Алайда олардан қалған бай білім мен өнер дәстүрі кейіннен Батыс пен Шығыс елдерінде шын мәнінде ғылымның тууыныс, өрнектеуіне игі әсер етті, бастапқы ірге тас болыпқаланады.
Ежелгі мысырлықтардың математикалық білім дәрежесін айқындауға мүмкіндік берерліктей екі папирус сақталған. Олардың бірнешесі – Гинус папирусы- Лондонда Вритан музейінде, ал екіншісі- Москва папирусы Мрсквада А.С. Пушкин атындағы музейде сақталулы Біріншісінің ұзындығы 5,5 м ені 32см, мұнда 85 есеп бар, ал екіншісінің ұзындығы сондай бірақ енсіз8см онда бас аяғы 25 есеп келтірілген Бұл папирустардың жазылу негізі біздің заманымыздан 200 жылдай бұрын деп шамалауға болады. Папирустарда келтірілген есептер қысқа, догматикалық түрде берілген, яғни есептің шарты мен талабы беріледі де шешу жолы көрсетіледі. Ешқандай дәлелдеу, тексеру жоқ, айрыфқша симвошка жоқ, барлық иорлогиф арқылы өрнектелген сөздермен сөйлемдерден тұрады. Жоғарыдағы айтылғандай папирустарды мұқият зеріттеу тек өткен ғасырдан басталған . Бұл тұрғында матиматика тарихын зеріттеушілер елеулі жұмыстар тындырады Осының арқасында Мысыр матиматикасының негізгі ерекшеліктері мен сипатын деңгей-дәрежесін бағалауға мүмкіндік туып отыр. Мысырлықтар төрт амалды бүтін сандарға бірдей қолдана білген. Олардың қосу , азайтуы қазіргі біздің қосу азайтуымызға өте ұқсас келеді. Ал көбейтуі мен бөлінуде үлкен айырмашылық бар. Олардың көбейтуі екі сатыдан тұрады екі еселеу және қосу. Мәселен 15-ке 13-ті көбейтуді мынандай кестемен келтірген. / 1 15 / 2 30
/14 60 /18 120
Барлығы 195 Бұл кестеде әр бір келесі жолдағы сандар алдынғы жолдағы сандарды екі еселеуден шығады. Сол бағанадағы қосындысы 13 болатын сандар іріктеліп алынып, оң бағанадағы осы сандарға сай келетін 15-тің еселіктері өзара қосылып сонда 195 шығады. Бөлу амалы да осы схема бойынша орындалады. Айта кететін бір нәрсе екі еселеумен екіге бөлінеді XVIII ғасырға дейін көп матиматиктер айрықша арифметикалық амалдар ретінде қарастырып келеді, қазір олар көбейту және бөлу амалдарының дербес жағдайлары болып саналады. Мысырлықтар кейбір арифметикалық есептерді шешу жолын қарастыра келіп , Математика тарихшылар бір белгісіз бар теңдеулерді шеше берген деген қортындыға келіп отыр . Мысырлықтар белгісізді “Үймек” – “Аха” деп аталған. Мысырлықтар үшбұрыштың , тік төрт бұрыштың және трапетцяның аудандарын дұрыс формулалар арқылы табады, Мәселен, үшбұрыштың ауданын табу үшін паральел қабырғаларының қосындысының жартысын екіге бөліп, биіктігіне көбейтеді, олар кез-келген төртбұрыштың ауданын табу үшін қарама-қарсы қабырғалар қосындысының жартысын басқа екі қабырғасы қосындысының жартысынан көбейтеді. Алайда бұл формула тек төрт бұрыштар болғандығы да дұрыс. Мысырлықтар дөңгелектің ауданын жуық түрде диометірінің тоғыздан сегізінің квадратына тең деп алады , олай болса шеңбер ұзындығының оның диометіріне қатынасын көрсететін П саны үшін мынандай жуық мән табылады. П =4( 8) ----- = 3,1605 (9) Бұл сөз уақытымен салыстырғанда үлкен жетістік еді. Мысырлықтар қабырғалары 3,4,5. өлшем болып келген үшбұрыштың тік бұрышты екенін білген (Пифорор теоремасы) Олар үшбұрыш арқылы жер бетінде тік бұрыш салатын болған. Бұл үшбұрыш қазір “Мысыр үшбұрышы” деп аталып жүр. Мысырлықтар куптың , паралелпипеттің және дөңгелек цилиндірдің көлемін таба білген. Ежелгі Мысыр математикасының аса көрнекті табысы дұрыс төртбұрышты қиық пирамиданың көлемін дәл табатын ережені (формуланы) ашуы болды: V= h ( a+ ab +b ) мұнда h пирамида биіктігі , а және в төменгі және жоғарғы табандарының қабырғалары, олар бұл формуланы дедуктивтік әдіспен немесе ең ықтимал тәжрибелер жасап, эмприкалық жолмен қатып шығарулары мүмкін, Бұл жөнінде тарихшылар белгілі бір тоқтамға әлі келе қойған жоқ. Лекция №5 Вавилон математикасы Вавилон математикасы жөнiндегi негiзгi деректердi бiз олардан мирас болып қалған сына жазуларды талдау арқылы бiлемiз. Өткен ғасырда ежелгi ассирия патшасы Ашшурбаниполдың кiтапханасынан табылды. Бұл кiтапхана вавилондықтардың мәдени өмiрiнiң түйiндi буыны болғандығын көрсетедi. Мұнда бiздiң заманымыздан бұрын 2000-3000 жылдар шамасында күйдiрiлген қыш табақшаларындағы жұмбақ белгiлер, яғни бүкiл жазудың шығуына негiз болған жиырма мың сына жазуы қалған. Олардың бiр сыпырасы математикаға арналған. Ертедегi Мысыр елiндегi сияқты Вавилон мемлекетiнде де “жазғыштар” немесе “көшiрмешiлер” дайындайтын оқу орындары көптеп ашылған. Вавилонда “Кесте үйi” деп аталатын осындай мектептерде оқу, жау, есептеу өнерлерiн үйретуге үлкен мән берiлген. Мұнда сабақ әтудiң негiзгi әдiсi – жаттау әдiсi болған. Бiзге жеткен сына жазулардағы математика сол кездегi оқушыларға арналса керек. Математика тарихшылары ғылым, әсiресе, математика тарихы үшiн осы бiр аса маңызды бұл құжаттарды аударып, жарыққа шығарды. Вавилондықтар санаудың алпыстық жүйесiн қолданған. Бұл жүйе бойынша барлық оң бүтiн және бөлшек сандар сына тәрiздес екi таңбаның жәрдемiмен өрнектелетiн боған, бiр үшiн ▲, ал он үшiн ◄ таңбасы қолданған. Вавилондықтардың таңбалау жүйесiнiң ерекшелiгi – ол бiр таңба арқылы көптеген сандарды өрнектеуге мүмкiндiк бередi. Сан алпысқа дейiн негізгі ондық принцип жазылады да, алпыстан бастап күрт өзгеретін болван. Атап айтқанда 60, 602, ..., 60n үшін қайтадан бірдің таңбасы алынады. Вавилондықтардың позициялық санау жүйесін жасауы жалпы мәдениет тарихы үшін баға жетпес зор еңбек болды. Осыдан бастап, әрбір сан үшін арнайы таңбалау қажет болмай, кез-келген санды белгілі бір таңдап алынған таңбалардың орнын ауыстыру арқылы өрнектеуге мүмкіндік туди. Бұл мысырлықтардың сандарды иероглиф таңбалау тәсілінен әлдеқайда да тиімді болды. Сондықтан да Вавилон математиктері алгебралық-арифметикалық есептеулер жөнінде өздерініңғ мысырлық әріптестерінен көш ілгері. Лекция №6 Натурфиласофиялық мемлекеттердегі математика Грецияда теориялық ғылымның шығып дамуына әр түрлі натурфиласофиялық мектептер үлкен роль атқарады. Олардың бастылары: иондық мектеп (б.з.д. VII-VI ғ.) Пифагор мектебі (б.з.д. VI-V ғ.) және афиндік мектеп (б.з.д. V-IV ғ.) Бұл мектептерде математика мәселелеріне көп көңіл бөлінген. Иондық натурфиласофиялық мектеп кіші Азияның батыс жағалауының орта тұсы Ионияда қалыптасады. Біздің заманымыздан бұрынғы VII ғ Ионияда мысырлық және вавилондық ғылыми дәстүрлер негізінде біртұтас, әлі салаларға бөліне қоймаған ғылымдардың филасофиялық төркіні, табиғаты сарапқа салына бастайды. Бұл істе, әсіресе, Ионияның басты Шакары Милетте ұйымдасқан. Натурфиласофиялық мектептің көрнекті өкілдері Аноклесо Фанес Анаксимандр Анаксимен және Гераклиттердің атқарған жұмыстары ерекше. Бұлардың барлығы дүниенің негізгі, тегі табиғаттың өзінен туындайды деген ортақ көзқарасты басшылыққа алады. Бұлар қандайда бір құбылыс (нәрсе) болмасын оның түп себебін білуге ұмтылады. Бұл қатаң принсп математикаға да ауысады, егер бұрынғы Мысыр және Вавилон математиктері «неге», «неліктен» деген сауалға мүлде жауап бермей, тек қана «қалай?», «қалай істеледі?» деген сұрақтарға жауап берумен шектелсе, енді күн тәртібіне «неге» деген ғылыми мәселе қойылады, яғни әрбір қағиданың дұрыс-бұрыстығы логиқалық қатал ақыл-таразысына салу талап етіледі. Осы филасофиялық мектептің негізін салушы ежелгі Греция топырағынан шыққан тұңғыш философ, математик, астроном яшлеттіп Фалес (б.э.д.624-548жылдар шамасында) ол кіші Азияның аса ірі сауда орталықтарының бірі Милет қаласында туып, сонда өмір сүрген. Фалес «Барма дүние судан жаралған, ал жер ұшы-қиыры жоқ Мұхитта жүзіп жүрген үлкен «дөңгелек диск» дейді. Фалесті «грек ғылымының атасы», ежелгі Грециядағы кемеңгердің бірі» деп санайды. Бізде жеткен деректерге қарағанда Фалес вавилондықтардың астраномиялық бақылау тәжірибелеріне сүйеніп және өз тарапынан дәл есептеулер жүргізе отырып біздің заманымызға дейінгі 585-жылғы 23-мамырда болған күннің тұтылуын алдын ала болжап білген. Тарихи мағлұматтарға қарағанда геолотриялық шындықтарды дәлелдеу дәстүрін тұңғыш енгізуші, «диаметр дөңгелекті» қақ бөледі; тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштарды өзара тең болады; екі түзу қиылысқанда тең бұрыштар пайда болады; екі бұрышты және бір қабырғасы тең екі үшбұрыш тең болады; деген теоремаларды дәлелдеген де Фалес болса керек. Осы теоремаға сүйеніп, Фалес көлеңкесі бойынша дененің биіктігін және теңіздегі кеменің жағадан қашықтығын табу (керек) және тағы басқа есептерді шешкен. Алайда бұл теоремаларды оның қалай дәлелдегені туралы анық мағлұмат жоқ.. Сірә, фигураларды беттестіру әдісін қолданған болуы керек. Теңсіздігі кеменің қашықтығын табуда Фалес өзі дәлелдеген үшбұрыштар теңдігінің белгісіне сүйенген сияқты. Мәселен, А нүктесінен екінші бір В нүктесіне дейінгі аралықта тікелей өлшемей-ақ табу үшін АВ түзуіне ұзындығы белгілі АС перпендикулярын тұрғызу керек. АС перпендикуляры Д нүктесінде қақ бөлінеді дейік. Бұдан соң С нүктесінде ВД түзуінің созындысына қиылысқанша СЕ перпендикуляры тұрғызылады. Сонда Фалесь дәлелдеген теоремалар бойынша ABД= СЕД, ендеше АВ=СЕ болады. Лекция №7 Пифагор және математика Грецияда теориялық математикалық туып, өркендеуіне екінші бір ғылыми-филасофиялық мектептің,-Пифагор мектебінің орны ерекше. Бұл мектептің негізін салушы Пифагор біздің заманымызға дейінгі 570-500 жылдары шамасында өмір сүрген. Пифагордың өмірі деректерге аса бай емес, бірлігі жарышы бізге ел аузынан аңыз түрінде жеткен. Ол Самос аралында туып, жас шағында мысыр мен вавилон елдерін көп аралайды. Он екі жыл ішінде астраномия мен астрологияны зерттеп, оларды жақсы меңгеріп шығады.Пифагор сапардан қайтып келгеннен кейін Оңтүстік Италияға қоныс аударып, өзінің әйгілі ғылыми мектебінің іргетасын сонда қаласа керек. Пифагорды біз тек ғылым, математик деп білеміз. Алайда замандастары оның «әулие», «Пайғамбар» тұтқан. Ал қайсыбіреулері оның сиқыршы болғанын мәселен, «ол бір мезгілде екі жерде жүре алады-мыс» десе, енді біреулер «Пифагор кемеңгер ұстаз балған», «Шәкірттеріне»,тіпті өлгенді тірілту өнерін үйретіпті-мыс» деп аңыз еткен. Пифагор туралы мынадай әсіл-есеп бар. Одан замандастарының бірі қанша шәкірттің бар деп сұрапты, сонда Пифагор; «Шәкірттерімнің жартысы математиканы оқиды,ширегі музыка үйреніп жүр, жетіден бірі үндемей отыру парызын өтеуде,тағы да үш қыз бар» деп жауап беріпті. Бұл айтылған аңыз әңгімелер Пифагордың білім парасаты жөнінен замандастарынан әлдеқайда озық болғанын дәлелдейді. Гераклит: «Пифагорда шамадан тыс білгіштіктен басқа ешбір әулиелік жоқ еді» деген екен. Шынында, Пифагордың діни одақ құруы ақиқат сол тұстағы басқа да талып жатқан діни одақтардан Пифагор мектебінің ұстаған дінінің өзгешелігі-олар адам жанының тазаруы, күнәдан пәк болуының «бірден бір жолы бүтін сандар сырын ұғыну деп білген. Пифагор дүние дегенді үйлесімділік (гармония) деп түсіндірген. Бұл үйлесімділікті, дүниедегі заңдылықтарды ұғыну үшін бүтін сандарды, олардың қатынастарын мейлінше жақсы білу (керек) адамды мәңгілік етеді деп уағыздаған. Пифагордың ілімінде ғылым мен дін астасып жатыр. Бұл жөнінде оның ежелгі мысыр және Вавилон оқымысты обыздарына көп еліктегені байқалады. Бірақ Пифагор оған өзінше түбегейлі өзгерістер енгізді. Пифагор және оның жолын қуушылардан (пифагоршылардан) қалған ғылыми мұраларды діни-мистикалық қабыршықтан аршып алсақ , олардың қазіргі жаратыластану, математика ғылымдарын жасауда баға жетпес үлес қосқанын көреміз. Ғылымға «математика» деген терминді енгізуші Пифагор болады. Грек тілінде «математика» -ғылым, білім деген мағынаны білдіреді. Арабтар бұл терминді «тәһлім» деп алып, математикалық ғылымдарды «тәһмми ғылымдар» деп атаған; осыдан қазақ тіліндегі «білім» дегенді білдіретін «тәлім» сөзі шыққан. Пифагор математиканы дербес төрт салаға бөледі. Олар: сан туралы ғылым (арифметика), фигуралар туралы ғылым (геометрия), аспан жөніндегі ғылым (астраномия) және пифагоршылар геометрияны тек қана практикалық қажеттіліктен туған есептерді шешу әдістерін баяндайтын практикалық геометриядан бүтіндей бөліп қарап, оны үшбұрыш, төртбұрыш, көпжақтар сияқты абстракциялық (дерексіз) фигуралардың қасиеттерін жан-жақты да жүйелі түрде зерттейтін ғылым дәрежесіне көтереді. Олар геометриялық теоремалардың шындығына тікелей өлшеу арқылы ғана емес, логикалық , дедуктивтік дәлелдеу арқылы көз жеткізіп отырған. Пифагор және оның жолын қуушыларға түзу сызықты фигуралардың пиониметриясы түгелдей дерлік белгілі болған. Олар үшбұрыштардың параллело-грамдардың, шеңберлердің негізгі қасиеттерін тең шамалы фигуралар туралы теоремаларды және басқа көптеген фактыларды білген.Бұл саладағы үлкен жетістік атақты «Пифагор теоремасының» дәлелі болып табылады. Пифагор бұл теореманы былай тұжырымдайды; «Тік бұрышты ұшбұрыштың катеттеріне салынған квадраттар оның гипотенузасына салынған квадратқа тең шамалас болады». Мұның дәлелдемесі Евклидтің «негіздеп» деп аталатын шығармасында берілген. Лекция №8 Пифагордың негiзгi еңбектерiПифагоршылар стереометрия жөнінде де елеулі табыстарға жеткен. Олар төрт дұрыс көпжақтарды, яғни куб, тетраэдр, додекаэдр және октоэдрді білген. Бесінші көпжақ-икосэдрды кейінірек математик Теэтет ашқан.Додекаэдр жақтарының диагональдары «бесжұлдыз» фигурасын түзеді. Осы фигура-пифагоршылардың эмблемасы-ауыру таңбасы ретінде қабылданған.Бұл туралы мынандай аңыз бар: егер бір пифагоршы шет жерде жүріп біреуге қарыздар болып қалса, ол соның үйінің маңына бесжұлдыз таңбасын салып кетеді екен. Кейіннен басқа бір пифагоршы жазатайым сол үйдің қаласынан өтіп әлгі таңбаны көре қалса, қолма-қол үй иесіне әлгі қарызды қайтарады екен. Пифагор және оның шәкірттерінің еңбектерінде арифметика ғылымының негізі салынады. Олардың арифметикасы тек натурал сандардың қасиеттерін қарастырды. Математиканың бұл саласы қазір «сандар теориясы» немесе «теориялық арифметика» деп аталады. Пифагоршылар сандарды белгілі бір геометриялық фигура түрінде, жинақталған нүктелер арқылы кескіндейтін болған.Сөйтіп, математикада «фигуралық сандар» ұғымы қалыптасады.Олар арифметикалық прагрессия құрайтын сандар қосындысын табуды жақсы білген. Мысалы: 1+2+3+ …+n= n(n+1) - үш бұрышты сан,
1+3+3+...+ 2(n-1) = n2 – квадрат сан, 2+4+6+...+ 2 n = n (n+1) – тік бұрышты сан, 1+4+7+...+ (3n-2) = n(3n+1) – бес бұрышты сан. 2 Пифагор а2+у2=z2 анықталмаған теңдеуінің бүтін шешуін, яғни қазіргіше айтқанда: «Пифагор сандарын табу ережесін» қалдырған. Олар мынадай формулалармен анықталады: х = 1 (m2-1), y = m, z = 1 (m2+1) мұнда m – тақ сан.
Пифагоршылар сандардың бөлінгіштік қасиеттерін пайдаланып, екіге бөлінушілік, яғни егер екі санның біреуі екіге бөлінсе, онда сол екі саннан көбейтіндісі де екіге бөлінеді деген теорияны табады. Олар арифметикалық , геометриялық және гармониялық пропорциялар мен орталарды көп қарастырады. с
«Екі санның гармониялық ортасын табу мәселесін» пифагоршылар «музыканың математикалық теориясымен» тығыз байланыстырған. Бұл теория бойынша музыкалық дыбыстардың сапалық айырымы дыбыс шығаратын шектің ұзындықтарының айырымы арқылы түсіндіріледі. Бұл айырым сандардың қатынастарын қарастыруға келтіреді. Мысалы, егер шекті екі есе ұзартсақ (немесе қысқартсақ), онда оқтава деп аталатын музыкалық иетервал шығады (1:2).Ал осы екі шекпен де үндес (гармониялық) шектің ұзындық қатынасын табу үшін 1мен 2-нің гармониялық ортасын есептеу керек, яғни C = 2 = 4
интервалы шығады. Бұл музыкалық интервал «квадрат» деп аталады. Сөйтіп, жалпы музыка ғылымын математиканың бір саласы ретінде қарастыру Пифагордан басталған. Ол негізгі музыкалық интервалдарды- октаваны, квинтаны және квартаны тағайындайды. Қазіргі музыка теориясында «таза түзілім» немесе «Пифагор түзілімі» деген музыкалық шкала бар. Пифагор музыкалық дыбыстарды сандар арқылы, ал музыкалық интервалдарды сандардың қатынастарына жүгінеді. Геометриялық , астраномиялық және музыкалық заңдылықтардың үнемі бүтін сандар немесе олардың қатынастары арқылы өрнектелуі пифагоршылардың сандарды асыра бағалап, сандарға табынуға, яғни кесе тұтуға әкеледі. Геометрия, астраномия, музыка-барлығы да арифметикаға бағынышты болды. Пифагор бүкіл дүниенің заңдылықтары бүтін немесе бөлшек сандардың заңдылықтарына бағынады, «барлығы да сан» деген қағиданы ұсынады, бұл бір жағынан, діниместикалық теріс, иекінші жағынан, дүниені математикалық жолмен зарттеп, тану мүмкіндігі жайлы ғылыми мәні зор метадологиялық қағида еді. Ф.Энгельс Пифагордың философиясының паидалы жағы туралы былай деп жазды. «Сандар белгілі бір заңдылыққабағынатыны сияқты әлемде де белгілі бір заңдылыққа бағынады. Міне, осылай, әлем заңдылығы жөнінде тұңғыш пікір айтылды». Лекция №9 Декарттың аналитикалық геометриясы Ұлы ойшыл, энциклопедист ғалым Рене Декарт (1596-1650) Францияда шағын дварян семьясында дүниеге келді. Ол сегіз жасында иезуиттік оқуға түседі. Мектепте 9 жыл оқып грек, латын сияқты ескі тілдерді меңгереді. Ол, әсіресе математика мен философияны жете үйренеді. Математикалық шындықтардың шүбәсіз дұрыс, айқын, ақиқат болатынына ерте назар аударады. Декарт геометрия мен алгебра арасындағы ғасырлар бойы орын алып келген алшақтықты жойып батыл ұсынып, оны еңбектерінде жүзеге асырады. Бұл үшін ол алгебраны, алгебралық символиканы барынша жетілдіруді мақсат етеді. Декарттің ғылыми философиялық еңбектерінің ең биік шоқтығы – оның 1637 жыл. Жарық көрген еңбегі «Әдіс туралы ой пікірлер» деп аталады. Бұл шығармада жаратылыстануда ғылыми-зерттеу әдістеріне жалпы мінездеме беріп қана қоймай, ол әдістің қоланылу жолдары нақты баяндалады. Бұл еңбектің «Геометрия» деп аталынған төртінші бөлімі математика тарихында өшпес із қалдырады. Мұнда Декарт ашқан математикалық жаңа пән анолитикалық геометрияныңнегіздері баяндалады. Мұнда есеп ретінде ол ежелгі грек математигі Паптың есебін алады: Жазықтықта бірнеше (n) түзу берілсін. Ізделініп отырған нүктеден осы мүдделердің жартысына бірдей бұрышытар жасай жүргізілген кесінділер көбейтіндісі осындай тәсілмен түзулердің екінші жартысына жүргізілген кесінділер көбейтіндісіне осындай тәсілмен түзулердің екінші жартысына жүргізілген кесінділер көбейтіндісіне белгілі бір қатынаста болсын. Мысалы:MN, NK, Ml және HA түзулері берілген және де бұлар ізделінді С нүктесінен осы шартты қанағатанарлықтай етіп жүргізілген. СВ, CD, CF және CH кесінділері
Осы еңбекте жасалған геометрия жүйесі барлық мектептерде әлі күнге дейін сол қалпында, тек сәл-пәл өзгертіліп оқытылып келеді, және адам баласының бүкіл дерлік практикалық іс әрекеттерінің негізі болып отыр. “Бастамалар” мазмұны тек элементар геометрияны баяндаумен шектелмейді. Бұл еңбекте Евклидке дейінгі Фалес, Пифагор, Демокрит, Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс, Аристотель сияқты ежелгі грек математиктері ойлап тапқан басты-басты математикалық жетістіктер жинақталған. Оның өзі ашқан жай сандар туралы Евклид теоремасы, Евклид алгоритімі т.б. жаңалықтары да аз емес. Евклидтің “Бастамалары” 15 кітаптан тұрады. Оның 13 кітабын Евклидтің өзі жазған, қалған екеуі кейінгі грек математиктерінен қосылған. Евклидтің “Бастамаларында” қамтылған мәселелер мыналар: түзу сызықты фигуралар (үш бұрыш, төрт бұрыш, көп бұрыш т.б.) планиметриясы: дөңгелектер және олардың хордалары мен жанамалары туралы ілім, дұрыс көпбұрыштардың салуы; квадрат ирроционалдықтарды талдау; қатынастар теориясы және сарқу әдісі; бүтін сандар және олардың қатынастары туралы ілім; стерометрия және дұрыс көпжақтарды салу әдістері. Бұл еңбек математикалық энциклопедия емес. Мұнда сол кездегі математиканың біразы енбей қалған. Мысалы: конустың қималар циркуль мен сызғыш арқылы салуға келмейтін есептер т.б. Евклид мұнда таза теориялық математиканы және басқа ғылым тауарына негіз боларлықтай материалдарды сұрыптап алса керек. Еңбектің “Бастамалары” деп атауларының өзі осыған саяды. Евклидке дейін де математикалық білімдегі ой елегінен өткізген, оны бір жүйеге келтіруге ұмтылған математиктер болған. Солардың бірі – Гиппократ. Евклид “Бастамаларын” жазғанда осылардың іс нәтижелері мен дәстүрлеріне сүйенуі мүмкін. Евкид “Бастамаларының” бірінші кітабын анықтамалар мен оксиомалардан бастайды. Мысалы: Бірінші кітаптың басында 23 анықтама, содан кейін бес постулат және бес оксиома келтіріледі. Сонан соң математикалық сөйлемдер – теоремалар мен салу есептері беріледі. Анықтамалары “Нүкте дегеніміз бөлігі жоқ нәрсе”, “Сызық дегеніміз ұзындық” сияқты өте қысқа да нұсқа келеді. Постулатты геометриялық оксиомалар деп түсінуге болады. Евкидтің бес посулатын келтірейік
Соңғы постулаттың, яғни бесінші постулаттың төңірегінде үлкен дау-даламайлар туады. 200 ж. бойы математиктер оны басқа постулаттар мен оксиомаларға сүйеніп дәлелдемекші болып көп әрекеттенді. Осы әрекеттер барысында, ХІХ ғасырда орыстың ұлы математигі Н.И.Лобачевский Евкидтік геометриядан басқа Евклидтің “Бастамаларының” бұжан басқада күмәнді әлсіз жерлері толассыз талқыға түсіп келеді. Соған қарамастан “Бастамалар” күні бүгінге дейін, математика және басқа ғылымдарды Оксиомалық, дедуктивтік тәсілмен баяндаудың тамаша үлгісі болып отыр. Қорыта айтқанда, Евклидтің “Бастамаларының” теориялық математиканы дамытуда баға жетпес маңызы болды. Бұл еңбектен ірілі-ұсақты математиктің тәлім-тәрбие алмағаны жоқ деп айтсаң артық болмайды. “Бастамалар” орыс тілінде тұңғыш рет 1739 жылдың аударылып басылымы 1948-1950 жылдары жарық көрді. Бұл еңбек математикаға құштар талапкерлер үшін баға жетпес қазына деп айтуымызға толық болады. Лекция №11 Архимед және математика Москва мемлекеттік университетінің физика-математика факультетінде жыл сайын дәстүрлі Архимед күні атап өтіледі. Архимед есімін алып жүрген ұрпақтарымыз қаншама. Ежелгі грек оқымыстысына көрсетілген бұл құрмет-қошамет оның физика мен математикадағы сан алуан жаңалықтарының айғағы болса керек. Архимед (б.з.д. 287-212ж.) Социлия аралының Оңтүстік жағалауына орналасқан Сиракуз қаласында туған. Сондықтан да кейде оны Сиракуздық Архимед деп атайды. Әкесі Фидий астроном әрі математик болған. Архимедтің біраз еңбегі өз әріптестеріне жазған хат түрінде сақталған. Ол өмірінің соңғы кезін туған қаласын Римдіктерден қорғауға жұмсады, күрделі техникалық құрылыстарға, қару-жарақ жұмсауға басшылық етеді. Осы соғыста Архимед өледі, кітапханасы мен аспап құралдары талан-таражға түседі. Архимед ел аузында, тарихи жазбаларда аңыз болып қалады. Мынадай аңыздар әлі күнге дейін ел аузында сақталған. Мәселен, ол атықты Архимед заңын моншада ойлап тауып, қуанғанынан “Эврика! Эврика!” (таптым, таптым) деп айқайлап көшеге жүгіріп шығыпты. Архимедтің бізге жеткен негзгі еңбектері: “Параболаны квадраттау”, “Шар және цилиндр туралы”, “Спиралдар туралы”, “Каноидтар мен сфероидтар туралы”, “Жазық фигуралардың теңбе-теңдігі”, “Дөңгелікті өлшеу” т.б. Архимедтің біраз еңбектері арифметика, сандар теориясына арналған, “Псаммит немесе құм қиыршықтарын санау” деп аталтын шығармасында ол кез-келген үлкен санды атаудың тәсілін келтіреді. Архимед әлем сферасын түгелімен құм қиыршықтарына толтырып қойғанның өзінде, ол қиыршықтарды санауға сан табылатынын көрсетеді. Бұл сан 1063-тен кем болады екен. Архимедтің математикалық мұрасы 2000 жыл бойы ұмысылмай жаратылыстану мен техника талабына сай дамытылып келеді. Осының нәтижесінде XVII ғасырда жоғары математиканың басты тараулары болып саналатын дифференциалдық және интегралдық есептеулер пайда болды. Жоғары математиканың іргетасын қалаушылардың бірі көрнекті математик және философ Лейбниц Архимедтің ұлылығын бір ауыз сөзбен бейнелейді: “Архимедтің еңбектерін байыптап оқысаң, жаңа заманғы математиктердің ашқан жаңалықтарына таң қалуды қоясың”. Осы айтылғандардан Архимедтің өз заманының озық ойлы математигі болғанын көреміз.
Геронның математикалық шығармалары негізінен ежелгі практикалық математиканың энциклопедиясы болып табылады. Мұнда математиканың қолданылуы Евкидтің, Архимедтің тағы басқа ғалымдардың зерттеулеріндегі сияқты күңгірттенбей, айқын да анық сипатта көрінеді. Бізге Геронның “Метрика” және “Геометрия” деп аталатын трактаттары келіп жетті. “Метрика”-өлшеулер туралы ілім-үш кітаптан тұрады. Бірінші кітапқа аудандар мен беттердегі өлшеу ережелері келтірілген. Мұнда әр түрлі қабырғалы үшбұрыштың ауданын табуға арналған Герон формуласы: Герон бұл формуланы қолданудың сандық мысалдармен түсіндіреді. Бұл тұрғыда айта кететін бір жайт, ол тек бүтін рационал сандармен ғана шектелмей, түбір астындағы иррационал сандарды да қарастырады, мына бір мысал есепті қарастырайық. Үшбұрышты сен былай өлшейсің. Мысалы, үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары 13,14 және 15 өлшем жіп болсын. Ауданды табу үшін сен былай істе, 13,14 және 15-ті өзара қос, 42 шығады. Мұның жартысы 21 болады. Бұдан үш қабырғаны біртіндеп ал; ең әуелі 13-ті ал, сонда 8 қалады, сонан соң 14-ті ал, 7 қалады; ең соңынан 15-ті алсаң, 6 қалады. Енді бұларды өзара көбейт, 21-ді 8-ге көбейтсең, 168 болады, мұны 7-ге көбейтсең, 1176 шығады; ал мұны 6-ға көбейтсең 7056 шығады. Мұның квадрат түбірі 84 болады. Міне үшбұрыштың ауданы осынша өлшемге тең болады. Герон бұл шығармасында квадрат түбірді жуықтап табудың вавилондық әдісін, мысырлықтардың бөлшекті жазу және ережелерді баяндау тәсілдерін келтіреді. Осымен қатар, ол жуық куб түбірді табу жолдарын көрсетеді. Радиусы дөңгелекке іштей сызылған дұрыс жеті бұрыштың қабырғасын Герон жуықтап Геронның екінші бір шығармасы – “Геометрияның” да мазмұны “Метрикаға” ұқсайды. Мұндағы негізгі бір өзгешелік ережелер мен формулалар дәлелденбейді, тіпті айрықша тұжырымдалмай, бірден мысалдар шығаруға көшеді. Мысыр математикасындағы сияқты мұнда да бір типті бірнеше сан мысалдар келтіріліп, олардан жалпы қорытынды шығару оқушылырдың өздеріне тапсырылады. “Геометрияда” квадрат теңдеулер, анықталмаған теңдеулер қарастырылады. Мұнда мысалы, екіншісінің периметрі біріншісінің үш еселенген периметріне, ал біріншісінің ауданы үш еселенген екіншісінің ауданына тең болатындай екі тік төртбұрышты табу немесе рационал қабырғаны және ауданы берілген тік бұрышты үшбұрыш табу деген сияқты есептер беріледі. Геронның “Стерометрия” деп аталатын шығармасында геометриялық денелердің көлемдерінен басқа үйдің театрдың, амфитетрдың, кеменің, құдықтың, шарап бөшкесінің т.б. көлемдерін табу қарастырылды. “Геометрияның” бір бөлігі болып саналатын “Геодезия” атты трактатында Герон үшбұрыштарды өлшеуді өз алдына бөліп баяндайды.
Қытай математикасы да ежлегі Мысыр және Вавилон математикасы сияқты басқа ғылым-білімдерден, дағды тәрбиелерден өз алдына бөлінбеген, салаланбаған қалпында тұтас кездеседі. Дәлелдеуі жоқ, баяндауы дүдәмал, яғни есепті шешу үшін қалай жасау керектігі нұсқаланғанымен, дұрыс-бұрыстығы сарапқа салынбаған күйде беріледі. Дегенмен шығарылған есептердің мазмұнына, шешу жолына қарай отырып, ондағы қазіргі салаларға жататын мағлұматтарды шартты түрде ажыратуға болады. Арифметика. “Тоғыз кітаптағы математика” көне Қатайлықтарда негізінен еуі түрлі санау жүйесі болған: иероглифтік таңбалар және таяқша цифрлар. Иероглифтік жүйе сандарға амалдар қолдану үшінемес, көбінесе сандарды жазу үшін қолданған. Есептеулер таяқша цифрлар арқылы жүргізілген. Бұл санау жүйесі қазіргі біз қолданып жүрген позициялық жүйеге жақын келеді. Мұнда көп таңбалы бастапқы кезде атымен болмаған, оны Қытайлықтар біздің заманынымздың VIII ғасырында сырттан алған; бірлік цифрлар – жүздік, он мыңдық т.б. сандардың орнына, ал ондық цифрлар мыңдық, жүз мыңдық т.б. сандардың орнына қолданылатын болған. Арифметикалық есептеулер жүргізу, теңдеулер шешу алгоритмдерін жасау барысында Қытай математиктері математика тарихында тұңғыш рет теріссандар ұғымын енгізгі. Олар теңдеудің оң және теріс коэффициенттерін және сандардың оң, терісін ажыратуүшін әртүрлі таяқшалар мен таңбалар пайдаланған. Қытай математиктері теріс сандарды қосу, азайтудың қарапайым ережелерін тағайындаған. Лекция №14 Үнділердің арифметиксы мен алгебрасы Үнді математиктерінің шығармаларында математика қазіргідегідей арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия салаларына бөлінбей аралас бөлімдер негізінен нақты есептерді шешугек байланысты баяндалады. Бұл тұрғыда ол ежелгі Мысыр, Вавилон, Қытай математикасына көп ұқсайды. Бірақ олардың математикалық қорытулары мен пайымдауларында дәлелдеу дұрыстығына көз жеткізу әрекеттері кездеседі. Бұдан гректерден ауысқан теориялық математика дәстүрлерінің нышанын аңғарамыз. Үнді математикасының негізі арифметикада жатыр. Біздің орта мектепте оқып үйренетіән геометриямыздың негізі ежелгі грек математикасынан, Евклидтің “Бастамаларынан” басталса, арифметикамыздың түп төркіні Үнді математиктерінің еңбектерінде жатыр. Үнділердің осы ондық позициялық санау жүйексіне негізделген арифметикасын орта ғасырда араб математиктері қабылдайды. Олардың еңбектері арқылы Үнді санау жүйесі Таяу және орта Шығыс елдеріне, кейіннен Европаға тарайды. Кейде үнді цифрларын “араб цифрлары” деп жаңсақ атайды, шындығына келсек түп-төркіні – Үндістан. Үнді математиктері қосу, азайту, көбейту, бөлу, дәрежелеу және түбір табу амалдарын қарастырады. Амалдарды орындау тәртібі, ережесі қазіргіден біраз ғана өзгешелеу. Олар жай және күрделі үштік ережені, процентті есептеуді, пропорционалдық әдістерін білген. Қазір теңдеу құру арқылы шешілетін көп есептерді арифметикалық жолмен шешу тәсілдерін ұсынады. Үнді математиктері, мәселен, “жалған жору” деп аталатын әдісті пайдаланып, бірсіпыра арифметикалық есептерді оп-оңай шығара білген. Ондай есептер көбінесе өлең түрінде беретін болған. Математика тарихшылары алгебралық білімдердің дамуында Үнді математиктерінің үлкен үлесі болғанын атап көрсетеді. Үнділіктер тек бүтін, бөлшек сандар ғана емес, теріс және иррационал сандарға да амалдар қоодана білген. Бұл математика тарихындағы үлкен жетістік болды, өйткені гректер теріс, иррационал сандарды сандар санатына қоспаған. Үнді математиктері иррационалдықтарды емін-еркін қолдана білген. Оларға, мәселен, формулалары белгілі болған.
ХVІІ ғасырда математиканың даму түрі де өзгеріске ұшырайды. Жеке дара университеттердегі оқымысты математиктер немесе дарынды таланттардың орнына ғылыми ұйымдар мен қоғамдар пайда болады. 1662 жылы Англияда қазір ғылым академиясы атағын алған Лондондық королдік қоғам, 1666 жыл. Париж ғылым академиясы ұйымдасады. Міне осылай біртіндеп мемлекет қамқорлығына алынған, ,ылымның қиын проблемаларын шешуге мұрат еткен ғалымдардың коллективтік жемісті еңбек түрі болып табылатын ғылыми мекемелер мен қоғамдар дәуірі басталады. Оқымыстылардың өзара хат арқылы пікір алысуы, там-тұмдаған аз дана мен шығарылған кітаптар ғылыми қарым-қатынасты қанағаттандыра алмай, енді мезгілдік ғылыми басылымдар пайда бола бастайды. 1965 жылы Лонданда «Философиялық еңбектер», 1682 жыл. Лейпцигте «Ғалымдар еңбектері» («Acta Erudotorun») журналдары шыға бастады. ХVІІ ғасырдың аяғындағы математика арифметикамен алгебрадан, геометриямен тригонометриядан тұрды. Олар негізінен тұрақты шамаларды қарастырды; дегенмен, алгебралық есептеулерде айнымалы параметрлерде кездесетін қарапайым функциялар ұшырасатын сарқу әдісіндегі текке көшу идеяларында осыған қосуға болады, бірақ олар жөнді дамытылмай қалтарыс қалып отырған. ХVІІ ғасырда математикалық зерттеулер кеңінен қанат жайып бірнеше математикалық, жаңа ғылымдар пайда болады. Олар: анолитикалық геометрия, проективтік геометрия, ықтималдық теориясы, ең негізгісі, шексіз аздар анализі еді. Ал кейінгі шексіз аздар есептеу ғылымының бір өзінің дербес пәндер дәрежесіне дейін көтерілген шексіз қатарлар, жай дифференциялдық теңдеулер теорияларының бастамалары өсіп, өркен жайды. Осылар мен қатар алгебра мен тригонометрия бойынша да зерттеу жұмыстары толамастамады, лоорифмдер пайда болды, жуық есептеулердің сан түрлі әдістері дүриеге келді: Сан теориясының кейбір қиын есептері шешілді. Қазіргі машиналық математиканың түп төркіні болып саналатын арифмометрлер және осыған қатысы бар логорифімдік сызғыш осы ХVІІ ғасырда пайда болды. Сонымен, бір ғасырдың өзінде-ақ математикаға бұрын өткен ХV ғасырға бергісіз көптеген жаңа ұғымдар мен әдістер келіп қосылады. Ол тек кейін ХVІІ ғасырда ғана Эйлер мен Логранж зерттеулерінің арқасында нағыз ғылымға айналды. Ол ықтималдық теориясы мен Я.Бернулин еңбектерінде жемістерін бере бастаған еді. Осы ғылымдар шоғының ішінде арасы бүкіл математикалық жаратылыстану берісі таза математиканың болашақ дамуына революциялық өзгеріс енгізген екі саланы айрықша айтпасқа болмайды. Олар: анолитикалық геометрия мен шексіз аздарды есептеу. Декарт мен Ферма еңдектерінде негізгі қаланған анолитикалық геометрия мен Ньютен мен Лейбниц кемеліне келтірілген. Математикалық анализ математика ғылымында шын мәнінде революция жасады. Қолданылған әдебиеттер тізімі: Негiзгi:
Қосымша:
9. СӨЖ тақырыптары
Қолданылған әдебиеттер тізімі: Негiзгi:
Қосымша:
10. ОБСӨЖ тақырыптары
Қолданылған әдебиеттер тізімі: Негiзгi:
Қосымша:
11. Бақылау тапсырмалары Тест тапсырмалары
жүктеу/скачать 0.55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
= а+b –арифметикалық орта, с= V ab – геометриялық орта, с = 2ав - гармониялық орта.
берілген. Герон бұл формуланы үшбұрышқа іштей сызылған дөңгелек арқылы дәлелдейді. Араб жазбаларында, бұл формуланың Героннан көп бұрын Архимедке мәлім болғаны жайында дерек бар. 
деп алады және а жуық түрде дөңгелек центрінен оған іштей сызылған дұрыс алты бұрыштың қабырғасының қашықтығына, яғни 
болатынын табады. Герон 
саны үшін Архимед тапқан 
мәнін алады. Геронның бұл еңбегінде дұрыс емес жазық фигуралардың беттердің аудандарын және әр түрлі көлем табу әдістері және басқа бірсыпыра практикалық геометрия мәселелері қамтылған.
